第第2节函数的单调性与最值节函数的单调性与最值.理理解解函函数数的的单单调调性性、最最大大值值、最最小小值值及及其其几几何何意意义义.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质会运用基本初等函数的图象分析函数的性质整合主干知识1函数的单调性函数的单调性(1)单调函数的定义单调函数的定义增函数增函数减函数减函数定定义义一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I，如果对于定义域，如果对于定义域I内内某个区间某个区间D上的任意两个自变量的值上的任意两个自变量的值x1，x2当当x1x2时，都有时，都有_，那么，那么就说函数就说函数f(x)在区间在区间D上是增函数上是增函数当当x1f(x2)f(x1)f(x2)图象图象描述描述自左向右看图象自左向右看图象_自左向右看图象自左向右看图象_是上升的是上升的是下降的是下降的质质疑疑探探究究1：若若函函数数f(x)在在区区间间C和和区区间间D上上都都是是增增(减减)函函数数，则函数则函数f(x)在区间在区间CD上是增上是增(减减)函数吗？函数吗？(2)单调区间的定义单调区间的定义如如果果函函数数yf(x)在在区区间间D上上是是_或或_，那那么么就就说说函函数数yf(x)在在这这一一区区间间具具有有(严严格格的的)单单调调性性，_叫叫做做函数函数yf(x)的单调区间的单调区间质质疑疑探探究究2：当当一一个个函函数数的的增增区区间间(减减区区间间)有有多多个个时时，能能否否用用“”将函数的单调增区间将函数的单调增区间(减区间减区间)连接起来？连接起来？提提示示：不不能能直直接接用用“”将将它它们们连连接接起起来来例例如如，函函数数yx23x的的单单调调增增区区间间有有两两个个：(，1)和和(1，)，不不能能写写成成(，1)(1，)增函数增函数减函数减函数区间区间D2函数的最值函数的最值前提前提设函数设函数yf(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实数，如果存在实数M满足满足条件条件对于任意对于任意xI，都有，都有_ ；存在存在x0I，使得，使得_对于任意对于任意xI，都有，都有_ ；存在存在x0I，使得，使得_结论结论M为最大值为最大值M为最小值为最小值f(x)Mf(x)Mf(x0)Mf(x0)M1给出下列命题：给出下列命题：函函数数f(x)的的图图象象如如图图所所示示，则则函函数数f(x)的单调增区间是的单调增区间是(，0(0，)；若若定定义义在在R上上的的函函数数f(x)，有有f(1)0，则函数，则函数f(x)在在D上是增函数；上是增函数；在闭区间上单调的函数，其最值一定在区间端点取到在闭区间上单调的函数，其最值一定在区间端点取到其中正确的是其中正确的是()ABC D解解析析：错错误误函函数数的的单单调调递递增增区区间间应应为为(，0和和(0，)错错误误对对R上上的的特特殊殊的的13，有有f(1)0，则则x1x2时，时，f(x1)f(x2)；x1x2时，时，f(x1)(1,0)(0,1)聚集热点题型典例赏析典例赏析1 (2015天天津津模模拟拟)函函数数yf(x)(xR)的的 图图 象象 如如 图图 所所 示示 ， 则则 函函 数数 g(x)f(logax)(0a1)的单调减区间是的单调减区间是()确定函数的单调性确定函数的单调性(区间区间) 名名师师讲讲坛坛1.求求复复合合函函数数yf(g(x)的的单单调区间的步骤：调区间的步骤：(1)确定函数的定义域确定函数的定义域(2)将复合函数分解成基本初等函数将复合函数分解成基本初等函数yf(u)，ug(x)(3)分别确定这两个函数的单调区间分别确定这两个函数的单调区间(4)若若这这两两个个函函数数同同增增同同减减，则则yf(g(x)为为增增函函数数；若若一一增一减，则增一减，则yf(g(x)为减函数，即为减函数，即“同增异减同增异减” 提提醒醒函函数数的的单单调调区区间间是是指指函函数数在在定定义义域域内内的的某某个个区区间间上上单单调调递递增增或或单单调调递递减减单单调调区区间间要要分分开开写写，即即使使在在两两个个区区间间上的单调性相同，也不能用并集表示上的单调性相同，也不能用并集表示2利用定义法证明或判断函数单调性的步骤：利用定义法证明或判断函数单调性的步骤：思思考考若若将将本本例例题题中中的的“0a1”，则则函函数数g(x)的单调递减区间如何？的单调递减区间如何？典典例例赏赏析析2 (1)如如果果函函数数f(x)ax22x3在在区区间间(，4)上是单调递增的，则实数上是单调递增的，则实数a的取值范围是的取值范围是()利用函数的单调性求参数利用函数的单调性求参数 答案答案(1)D(2)C名名师师讲讲坛坛已已知知函函数数的的单单调调性性确确定定参参数数的的值值域域范范围围要要注注意意以以下下两两点点：若若函函数数在在区区间间a，b上上单单调调，则则该该函函数数在在此此区区间间的的任任意意子子区区间间上上也也是是单单调调的的；分分段段函函数数的的单单调调性性，除除注注意意各各段段的的单单调性外，还要注意衔接点的取值调性外，还要注意衔接点的取值 确定函数的最值确定函数的最值( (值域值域) ) 名名师师讲讲坛坛求求函函数数最最值值(值值域域)的的常常用用方方法法及及适适用类型用类型(1)单单调调性性法法：易易确确定定单单调调性性的的函函数数，一一般般用用单单调性法在区间端点处取得调性法在区间端点处取得(2)图图象象法法：能能作作出出图图象象的的函函数数，用用图图象象法法，观观察察其其图图象象最最高点、最低点，求出最值高点、最低点，求出最值(3)换换元元法法：对对解解析析式式较较复复杂杂的的函函数数，可可通通过过换换元元转转化化为为以以上上四四种种类类型型中中的的某某种种，再再求求解解用用换换元元法法时时，一一定定要要注注意意新新“元元”的范围的范围. (4)基基本本不不等等式式法法：分分子子、分分母母其其中中一一个个为为一一次次，一一个个为为二二次次函函数数结结构构以以及及两两个个变变量量(如如x，y)的的函函数数，一一般般通通过过变变形形使使之之具具备备“一一正正、二二定定、三三相相等等”的的条条件件，用用基基本本不不等等式式法法求求最最值值(值域值域)(5)导导数数法法：对对于于f(x)可可求求，f(x)0可可解解的的三三次次、分分式式以以及及含含ex，ln x，sin x，cos x结结构构的的函函数数，用用导导数数法法，先先求求出出给给定定区间上的极值，再结合端点值求得区间上的极值，再结合端点值求得备课札记_提升学科素养转化与化归思想在求解函数不等式中的应用转化与化归思想在求解函数不等式中的应用 (2015西安模拟西安模拟)已知定义在已知定义在R上的函数上的函数f(x)满足：满足：f(xy)f(x)f(y)1，当当x0时，时，f(x)1.(1)求求f(0)的值，并证明的值，并证明f(x)在在R上是单调增函数；上是单调增函数；(2)若若f(1)1，解关于，解关于x的不等式的不等式f(x22x)f(1x)4.审审题题视视角角(1)对对于于抽抽象象函函数数的的单单调调性性的的证证明明，只只能能用用定定义义借借助助于于赋赋值值法法比比较较出出f(x2) 与与f(x1)的的大大小小(2)将将函函数数不不等等式式中中的的抽抽象象函函数数符符号号“f”运运用用单单调调性性“去去掉掉”是是本本小小题题的的切切入入点点要要构造出构造出f(M)f(N)的形式的形式解解析析(1)令令xy0得得f(0)1.在在R上上任任取取x1x2，则则x1x20，f(x1x2)1.又又f(x1)f(x1x2)x2)f(x1x2)f(x2)1f(x2)，所以，函数所以，函数f(x)在在R上是单调增函数上是单调增函数(2)由由f(1)1，得，得f(2)3，f(3)5.由由f(x22x)f(1x)4得得f(x2x1)f(3)，又函数又函数f(x)在在R上是增函数，故上是增函数，故x2x13，解之，得解之，得x1，故原不等式的解集为故原不等式的解集为x|x1方方法法点点睛睛(1)在在利利用用定定义义法法证证明明抽抽象象函函数数的的单单调调性性时时，应应根根据据所所给给抽抽象象关关系系式式的的特特点点，对对x1或或x2进进行行适适当当变变形形，进进而而将将f(x1)与与f(x2)比较出大小比较出大小(2)求求解解含含“f”的的不不等等式式问问题题，应应先先利利用用已已知知条条件件将将不不等等式式转转化化为为f(x1)f(x2)的的形形式式，然然后后再再根根据据其其单单调调性性脱脱掉掉“f”，转转化化为关于为关于x1与与x2的不等式问题求解的不等式问题求解 (2015合合肥肥模模拟拟)函函数数f(x)对对任任意意的的m，nR，都都有有f(mn)f(m)f(n)1，并且，并且x0时，恒有时，恒有f(x)1.(1)求证：求证：f(x)在在R上是增函数；上是增函数；(2)若若f(3)4，解不等式，解不等式f(a2a5)2.解析：解析：(1)证明：设证明：设x10.因为当因为当x0时，时，f(x)1，所所以以f(x2x1)1.f(x2)f(x2x1)x1)f(x2x1)f(x1)1，所以所以f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)f(x2)，所以所以f(x)在在R上为增函数上为增函数(2)因为因为m，nR，不妨设，不妨设mn1，所所以以f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，所以所以f(1)2，所以，所以f(a2a5)2f(1)， 因为因为f(x)在在R上为增函数，上为增函数，所以所以a2a513a2，即原不等式的解集为即原不等式的解集为a|3a2 1一个防范一个防范函数单调区间的表示函数单调区间的表示单单调调区区间间只只能能用用区区间间表表示示，不不能能用用集集合合或或不不等等式式表表示示；如如有有多多个个单单调调区区间间应应分分别别写写，不能用符号不能用符号“”联结，也不能用联结，也不能用“或或”联结联结3二条结论二条结论函数最值的有关结论函数最值的有关结论(1)闭闭区区间间上上的的连连续续函函数数一一定定存存在在最最大大值值和和最最小小值值当当函函数数在闭区间上单调时最值一定在端点取到在闭区间上单调时最值一定在端点取到(2)开区间上的开区间上的“单峰单峰”函数一定存在最大值函数一定存在最大值(最小值最小值)4三种方法三种方法函数单调性的判断方法函数单调性的判断方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论定义法：取值、作差、变形、定号、下结论(2)复复合合法法：同同增增异异减减，即即内内外外函函数数的的单单调调性性相相同同时时，为为增增函数，不同时为减函数函数，不同时为减函数(3)图象法：利用图象研究函数的单调性图象法：利用图象研究函数的单调性