数量关系数量关系 第七章第一部分第一部分 向量代数向量代数第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中在三维空间中: :空间形式空间形式 点点, , 线线, , 面面基本方法基本方法 坐标法坐标法; ; 向量法向量法坐标坐标, , 方程（组）方程（组）空间解析几何与向量代数 四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 第一节一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量及其线性运算 第七七章 表示法:向量的模 : 向量的大小,一、向量的概念一、向量的概念向量:(又称矢量). 既有大小, 又有方向的量称为向量向径 (矢径):自由向量: 与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量: 模为 1 的向量,零向量:模为 0 的向量,有向线段 M1 M2 ,或 a ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 规定: 零向量与任何向量平行 ;若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,记作 ab ;若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, ab ;与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .记作a ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、向量的线性运算二、向量的线性运算1. 向量的加法向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律 : 交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 向量的减法向量的减法三角不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 向量与数的乘法向量与数的乘法 是一个数 ,规定 :可见 与 a 的乘积是一个新向量, 记作总之:运算律 :结合律分配律因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1. 设 a 为非零向量 , 则( 为唯一实数)证证: “ ”., 取 且再证数 的唯一性 .则ab设 ab取正号, 反向时取负号, a , b 同向时则 b 与 a 同向,设又有 b a ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 “ ”则例例1. 设 M 为解解:ABCD 对角线的交点,已知 b a ,b0a , b 同向a , b 反向ab 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 o , 坐标面 卦限(八个)zox面1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 向径在直角坐标系下坐标轴上的点 P, Q , R ;坐标面上的点 A , B , C点点 M特殊点的坐标 :有序数组(称为点 M 的坐标坐标)原点 O(0,0,0) ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 坐标轴 : 坐标面 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点 M 则沿三个坐标轴方向的分向量分向量.的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式坐标分解式 ,任意向量 r 可用向径 OM 表示.机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求解以向量为未知元的线性方程组解解: 2 3 , 得代入得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 已知两点在AB直线上求一点 M , 使解解: 设 M 的坐标为如图所示及实数得即机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 由得定比分点公式定比分点公式:点 M 为 AB 的中点 ,于是得中点公式中点公式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求证以证证:即为等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 为顶点机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 在 z 轴上求与两点等距解解: 设该点为解得故所求点为及思考思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?离的点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示提示:(1) 设动点为利用得(2) 设动点为利用得且例例6. 已知两点和解解:求机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量 任取空间一点 O ,称 =AOB (0 ) 为向量 的夹角. 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 , , 为其方向角方向角.方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. 记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 方向余弦的性质:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 已知两点和的模 、方向余弦和方向角 . 解解:计算向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 设点 A 位于第一卦限,解解: 已知角依次为求点 A 的坐标 . 则因点 A 在第一卦限 , 故于是故点 A 的坐标为 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题解解: 因因1. 设设求向量求向量在在 x 轴上的投影及在轴上的投影及在 y轴上的分向量轴上的分向量.在在 y 轴上的分向量为轴上的分向量为故在故在 x 轴上的投影为轴上的投影为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 设设求以向量求以向量行四边形的对角线的长度行四边形的对角线的长度 . 该平行四边形的对角线的长度各为该平行四边形的对角线的长度各为 对角线的长为对角线的长为解：解：为边的平为边的平机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束