5-5 5-5 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图第五章第五章 梁的内力梁的内力5-1 5-1 平面弯曲的概念及工程实例平面弯曲的概念及工程实例5-2 5-2 静定梁的分类（三种基本形式）静定梁的分类（三种基本形式）5-3 5-3 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程5-4 5-4 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用1构件构件 Component, Structural member 杆杆 bar 梁梁 beam拉压杆：承受轴向拉、压力拉压杆：承受轴向拉、压力扭扭 杆：承受扭矩杆：承受扭矩 梁：承受横向力梁：承受横向力为什么梁特别重要？为什么梁特别重要？ 地球引力场方向地球引力场方向 + 人类需要空间人类需要空间 墙墙楼板楼板桥板桥板2一、弯曲实例一、弯曲实例工厂厂房的天车大梁：工厂厂房的天车大梁：5-1 5-1 平面弯曲的概念及工程实例平面弯曲的概念及工程实例3火车的轮轴：火车的轮轴：FFFF4楼房的横梁：楼房的横梁：阳台的挑梁：阳台的挑梁：5 屋顶大梁上的孔为什么开在中间？上、下两屋顶大梁上的孔为什么开在中间？上、下两屋顶大梁上的孔为什么开在中间？上、下两屋顶大梁上的孔为什么开在中间？上、下两边各开一个半圆孔可以吗？边各开一个半圆孔可以吗？边各开一个半圆孔可以吗？边各开一个半圆孔可以吗？6梁为什么做成变截面的？梁为什么做成变截面的？梁为什么做成变截面的？梁为什么做成变截面的？ 孔开在哪里最合理孔开在哪里最合理孔开在哪里最合理孔开在哪里最合理? ?梁为什么可以开孔？梁为什么可以开孔？梁为什么可以开孔？梁为什么可以开孔？ 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 7二、弯曲的概念：二、弯曲的概念：受力特点受力特点作用于杆件上的作用于杆件上的外力外力都都垂直垂直于杆的于杆的轴线轴线。变形特点变形特点杆轴线由杆轴线由直线直线变为一条平面的变为一条平面的曲线曲线。 主要产生弯曲变形的杆主要产生弯曲变形的杆- - 梁梁。8常见弯曲构件截面常见弯曲构件截面目录9平面弯曲平面弯曲具有纵向对称面具有纵向对称面外力都作用在此面内外力都作用在此面内弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线目录10静定梁的分类（三种基本形式）静定梁的分类（三种基本形式）M 集中力偶集中力偶q(x) 分布力分布力1 1、悬臂梁：、悬臂梁：2 2、简支梁：、简支梁：3 3、外伸梁：、外伸梁： 集中力集中力Fq 均布力均布力LLLL（L称为梁的跨长）称为梁的跨长）1112FNFSM F FS S剪力剪力，平行于横，平行于横截面的内力合力截面的内力合力 M M 弯矩弯矩，垂直于，垂直于横截面的内力系的横截面的内力系的合力偶矩合力偶矩FByFNFSMn5-2 剪力和弯矩及其方程3FAy13FAyFNFSMFByFNFSM 截面上的剪力对梁上任意一点的矩为截面上的剪力对梁上任意一点的矩为顺时针顺时针转转向时，向时，剪力为正；剪力为正；反之反之为负。为负。n5-2 剪力和弯矩及其方程Fs(+)Fs(+)Fs()Fs() 左上右下左上右下为正；为正；反之反之为负为负14FAyFNFSMFByFNFSM 截面上的弯矩使得梁呈截面上的弯矩使得梁呈凹形凹形为为正；正；反之反之为负。为负。n5-2 剪力和弯矩及其方程 左顺右逆左顺右逆为正；为正；反之反之为负为负M(+)M(+)M()M()15FNFNFQFQ内力方向规定内力方向规定16解：解：1. 确定支反力确定支反力FAyFBy2. 用截面法研究内力用截面法研究内力FAyFSEMEn5-2 剪力和弯矩及其方程例题例题5-15-1 求图示简支梁求图示简支梁E E 截面的内力截面的内力FAy17FByFByFAyFSEMEO分析右段得到：分析右段得到：FSEMEOn5-2 剪力和弯矩及其方程18FAyFBy 截面上的剪力等于截截面上的剪力等于截面任一侧外力的代数和。面任一侧外力的代数和。n5-2 剪力和弯矩及其方程FSEFAy2FFSE 左上右下左上右下为正；为正；反之反之为负为负19FAyFBy 截面上的弯矩等于截面任截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面形心力矩的代一侧外力对截面形心力矩的代数和。数和。n5-2 剪力和弯矩及其方程MEFAy2FME 左顺右逆左顺右逆为正；为正；反之反之为负为负20计算任意截面的剪力和弯矩计算任意截面的剪力和弯矩法则法则横向力：载荷和约束反力横向力：载荷和约束反力 分布力和集中力分布力和集中力方向：左上右下为正，方向：左上右下为正， 反之为负反之为负外力：载荷和约束反力外力：载荷和约束反力 分布力、集中力和集中力偶分布力、集中力和集中力偶方向：左顺右逆为正，方向：左顺右逆为正， 反之为负反之为负21三、剪力方程、弯矩方程三、剪力方程、弯矩方程： 注意注意： 不能用一个函数表不能用一个函数表达的要分段，分段点为：达的要分段，分段点为：集中力集中力作用点、集中力偶作用点、分布作用点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点。力的起点、终点。剪力方程剪力方程弯矩方程弯矩方程反映梁的横截面上的剪力和弯反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式矩随截面位置变化的函数式 显示剪力和弯矩随截面位移的显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则分别称为变化规律的图形则分别称为剪力剪力图图和和弯矩图弯矩图。LqAB( (- -) )22F(x)xF解解：求支反力求支反力写出内力方程写出内力方程根据方程画内力图根据方程画内力图 例例 列出梁内力方程并画出内力图。列出梁内力方程并画出内力图。FABFAYMAxM(x)-FL注意：弯矩图中正的弯矩值注意：弯矩图中正的弯矩值绘在绘在x x轴的下方轴的下方( (即弯矩值绘即弯矩值绘在弯曲时梁的受拉侧在弯曲时梁的受拉侧) )。23例例 图示简支梁受集度为图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图的满布荷载作用。试作梁的剪力图 和弯矩图。和弯矩图。解：解：1 1、求支反力、求支反力2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程xFBFABlAq24ql 2FS ql28l/2M 3 3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图BlAq* 载荷对称、结构对称则剪力图反对称，弯矩图对称* 剪力为零的截面弯矩有极值。25例例 图示简支梁受集中荷载图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图作用。试作梁的剪力图和弯矩图和弯矩图。解：解：1、求支反力求支反力2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程 需分两段列出需分两段列出BFBFAxlAF abC26AC段段CB段段FAxAM(x)FS(x)FBBFS(x)M(x)BFBFAxlAF abC273 3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图FS FblxFblMxFablBFBFAxlAF abC28FS FblxFblMxFabl* 在 集中力F 作用处，剪力图有突变，突变值为集中力的大小；弯矩图有转折xlAF abC29例例 图示简支梁在图示简支梁在C点受矩为点受矩为Me 的集中力偶作用。试的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。作梁的剪力图和弯矩图。解解: : 1、求支反力、求支反力Me FA FBBlACab302、 列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程剪力方程无需分段：剪力方程无需分段：弯矩方程弯矩方程两段：两段：AC段：段：CB段：段：FA FBxAFAM(x)FS(x)xFBBFS(x)M(x)BlACab313、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图ba时时发生在发生在C截面右侧截面右侧FslxMe lMxMealMeb* 集中力偶作用点处剪力图无影响，弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力偶的大小。BlACab32解解：1、支反力2、写出内力方程1kN/m2kNABC D1m1m2mx1x3x2FAYFBY 例例 画出梁的内力图。333、根据方程画内力图1kN/m2kNABC DFAYFBYxFs(x)x2kN2kN2kN.m2kN.mM(x)345-4 5-4 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用一、一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系剪力、弯矩与分布荷载间的关系1 1、支反力：、支反力：LqFAyFBy2 2、内力方程、内力方程3 3、讨论如下、讨论如下x35对对dx 段进行平衡分析，有：段进行平衡分析，有：dxxq(x)M(x)+d M(x)Fs(x)+dFs (x)Fs(x)M(x)q(x)dxAy 剪力图上某点处的切线斜率剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。等于该点处荷载集度的大小。 36q(x)M(x)+d M(x)Fs(x)M(x)dxAy 弯矩图上某点处的切弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的线斜率等于该点处剪力的大小。大小。Fs(x)+dFs (x)q、Fs和和M三者三者的微分关系的微分关系37载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：1.1.q q0 0，F Fs s= =常数，常数， 剪力图为直线剪力图为直线, ,弯弯矩图为斜直线。矩图为斜直线。2.q2.q常数，剪力图常数，剪力图为斜直线，弯矩为斜直线，弯矩图为抛物线。图为抛物线。3.3. 剪力剪力F FQ Q=0=0处，弯矩取极值或驻点。大小可用（无集中处，弯矩取极值或驻点。大小可用（无集中力偶）一侧力偶）一侧Q Q图面积的代数和计算。（左侧面积或右图面积的代数和计算。（左侧面积或右侧面积的相反数）侧面积的相反数）载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录下雨下雨池塘池塘Fs 图：图：M图：图：Fs图：图：M图：图：38 从左到右，向上集中力作用处，剪力图向上从左到右，向上集中力作用处，剪力图向上突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。反之亦然。为尖点。反之亦然。 从左到右，顺时针集中力偶作用处，弯从左到右，顺时针集中力偶作用处，弯矩图向矩图向M M正向突变，突变幅度为集中力偶的大正向突变，突变幅度为集中力偶的大小。剪力图在该点没有变化。反之亦然。小。剪力图在该点没有变化。反之亦然。 4 4、集中力、集中力 5、集中力偶、集中力偶u 剪力图按横向力走向可直接画剪力图按横向力走向可直接画u 弯矩图的段端值可用剪力图面积计算弯矩图的段端值可用剪力图面积计算39确定剪力、确定剪力、 弯矩图上各点处的数值。弯矩图上各点处的数值。 载荷集度、剪力和弯矩间的积分关系载荷集度、剪力和弯矩间的积分关系从左向右从左向右从右向左从右向左40利用剪力、弯矩与分布荷载间积分关系利用剪力、弯矩与分布荷载间积分关系定值定值 梁上任意两截面的剪力差等于两截面间载荷图梁上任意两截面的剪力差等于两截面间载荷图所包围的面积所包围的面积 梁上任意两截面的弯矩差等于两截面间剪力图所梁上任意两截面的弯矩差等于两截面间剪力图所包围的面积包围的面积积分关系积分关系: :41控制点控制点: :端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。三、简易法作内力图：三、简易法作内力图： 利用微分关系定形，利用特殊点的内力值来定值利用微分关系定形，利用特殊点的内力值来定值 利用积分关系定值利用积分关系定值 基本步骤： 1、确定梁上所有外力（求支座反力）； 2、分段 3、利用微分规律判断梁各段内力图的形状； 4、确定控制点内力的数值大小及正负； 5、画内力图。42左端点：剪力图有突变，突变值左端点：剪力图有突变，突变值 等于集中力的大小。等于集中力的大小。右端点：弯矩图有突变，突变值等于集中力偶的大小。右端点：弯矩图有突变，突变值等于集中力偶的大小。qaxaaqaq解解：1、确定支反力（可省略）、确定支反力（可省略）AB：BC：2、画内力图、画内力图Fym, ,；q 0,；Mqa2(Fs 0, 所以所以Fs图向正方向斜图向正方向斜)( 积分关系积分关系FsB=FsA+0)MC= MB+(-1/2qa a)=- -qa2 1/2 qa2MB= MA+(-qa a)=0-qa2 )43例例画组合梁的剪力与弯矩图画组合梁的剪力与弯矩图组合梁组合梁, ,需拆开需拆开, ,以分析梁的受力以分析梁的受力1. 受力分析受力分析44特特点点：铰铰链链传传力力不不传传力力偶偶矩矩，与与铰铰相相连连的两横截面上的两横截面上, M = 0 , FS 不一定为零不一定为零2. 画画 FS 图图水平直线水平直线3. 画画 M 图图直线直线MFa/2-Fa/23Fa/245aaqaa46解解 （一）求支座反力（一）求支座反力 由平衡条件得：由平衡条件得：RA=7KN ，R0=9KN 。 绘图示梁的剪力图和弯矩图。绘图示梁的剪力图和弯矩图。 例例5图图47485-5 5-5 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图二、叠加原理：二、叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个 载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。一、前提条件一、前提条件：小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参数（内小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参数（内 力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即 在弹性范围内满足虎克定律。在弹性范围内满足虎克定律。三、步骤：三、步骤：1、梁上的几个荷载分解为单独的荷载作用；梁上的几个荷载分解为单独的荷载作用； 2、分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；、分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； 3、将其相应的纵坐标叠加即可（、将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图注意：不是图 形的简单拼凑）。形的简单拼凑）。49 例例 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图( (AB=2a，力，力F作用在梁作用在梁AB的中点处）。的中点处）。qFABFq=+AABB=MxM1x +M2x50例例 作下列图示梁的内力图作下列图示梁的内力图。FLFFLLLLLLL0.5F0.5F0.5F0.5FF0FsxFs1xFs2x0.5F0.5F0.5F+F51F0.5FFLL0.5FFLLL0.5F0.5FFLLLF0M2x0.5FL0.5FLxM10.5FLxMFL52例例 绘制下列图示梁的弯矩图。2FaaF=2FF+M1x=+2Fax2FaM2xMFa53