2.3抛物线抛物线进入抛物线的内部世界进入抛物线的内部世界yxo探探究究？画图观察画图观察再次观察再次观察问题探究：问题探究： 可以发现可以发现, ,点点M随着随着H H运动的过程中运动的过程中, ,始终有始终有| |MF|=|=|MH|,|,即点即点M与点与点F和定直线和定直线l的距离相等的距离相等. .点点M生成的轨迹是曲线生成的轨迹是曲线C的形状的形状.( (如图如图) ) 我们把这样的一条曲线叫做我们把这样的一条曲线叫做抛物线抛物线. .MFl观察发现观察发现MFl 在平面内在平面内,与一个定点与一个定点F和一条定直线和一条定直线l(l不经过点不经过点F)的的距离相等距离相等的点的轨迹叫的点的轨迹叫抛抛物线物线.点点F叫抛物线的叫抛物线的焦点焦点,直线直线l 叫抛物线的叫抛物线的准线准线d 为为 M 到到 l 的距离的距离准线准线焦焦点点d一、抛物线的定义一、抛物线的定义:知识点一：抛物线的定义及其标准方程知识点一：抛物线的定义及其标准方程MFl二、标准方程的推导二、标准方程的推导如何建立坐标系呢如何建立坐标系呢？ 思考思考：抛物线是抛物线是轴对称图形吗轴对称图形吗？怎怎样建立坐标系样建立坐标系,才能才能使焦点坐标和准线使焦点坐标和准线方程更简捷方程更简捷?1.1.建立坐标系建立坐标系2.2.设动点坐标设动点坐标, ,相关点的坐标相关点的坐标. .3.3.列方程列方程4.4.化简化简, ,整理整理l 解：以过解：以过F且垂直于且垂直于 l 的直的直线为线为x轴轴, ,垂足为垂足为K. .以以F, ,K的中点的中点O O为坐标原点建立直角坐标系为坐标原点建立直角坐标系xoy.两边平方两边平方, ,整理得整理得xKyoM(x,y)F依题意得依题意得这就是所求的轨迹方程这就是所求的轨迹方程. .三、标准方程三、标准方程 把方程把方程 y2 = 2 2px (p0)叫做抛物线的叫做抛物线的标准方标准方程程.其中其中 p 为正常数为正常数,表示焦点在表示焦点在 x 轴正半轴上轴正半轴上.且且 p的几何意义是的几何意义是: : 焦焦 点点 到到 准准 线线 的的 距距 离离焦点坐标是焦点坐标是准线方程为准线方程为: : 一一条条抛抛物物线线，由由于于它它在在坐坐标标平平面面内内的的位位置置不不同同，方方程程也也不不同同，所所以以抛抛物物线线的标准方程有四种形式的标准方程有四种形式.图形图形图形图形标准方程标准方程标准方程标准方程焦点坐标焦点坐标焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程准线方程准线方程四种抛物线的标准方程对比第第一一: :一一次次项项的的变变量量如如为为x( (或或y),),则则x轴轴( (或或y轴轴) )为为抛物线的对称轴抛物线的对称轴, ,焦点就在对称轴上焦点就在对称轴上. .第二第二:一次项的系数的正负决定了开口方向一次项的系数的正负决定了开口方向.例例1(1)1(1)已知抛物线的标准方程是已知抛物线的标准方程是y2 2 = 6 = 6x，求它的，求它的焦点坐标和准线方程焦点坐标和准线方程; ;(2)(2)已知抛物线的焦点坐标是已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),(0,-2),求它的标准方求它的标准方程程. . 根据标准方程的知识根据标准方程的知识,我们可以确定抛物我们可以确定抛物线的焦点位置及准线方程线的焦点位置及准线方程.解解:(1)因为因为p=3，所以焦点坐标是所以焦点坐标是 , , 准准线方程是线方程是,所以所求抛物线的标准方程是所以所求抛物线的标准方程是(2)因为焦点在因为焦点在y轴的负半轴上，且轴的负半轴上，且例例2.求过点求过点A(- -3,2)的抛物线的标准方程的抛物线的标准方程.AOyx解解:(1)当抛物线的焦点在当抛物线的焦点在 y 轴轴的正半轴上时，把的正半轴上时，把A(- -3,2)代入代入x2 =2py，得，得p= (2)当焦点在当焦点在 x 轴的负半轴上时，轴的负半轴上时，把把A(- -3,2)代入代入y2 = - -2px，得得p= 抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为x2 = y 或或y2 = x 。 思考思考: :M是抛物线是抛物线y2 = 2px（p0）上一点，若点）上一点，若点 M 的横坐标为的横坐标为x0，则点，则点M到焦点的距离是到焦点的距离是 x0 + 2pOyxFM这就是抛这就是抛物线的焦物线的焦半径公式半径公式! !1.1.抛物线的定义抛物线的定义: :抛物线的定义反映了抛物线的本质，抛物线的定义反映了抛物线的本质，灵活应用定义往往可以化繁为简、化难为易，且思灵活应用定义往往可以化繁为简、化难为易，且思路清晰，解法简捷，巧妙解法常常来源于对定义的路清晰，解法简捷，巧妙解法常常来源于对定义的恰当运用恰当运用.2.2.抛物线的标准方程有四种不同的形式抛物线的标准方程有四种不同的形式: :每一对每一对焦点和准线对应一种形式焦点和准线对应一种形式. .抓住标准方程的特点抓住标准方程的特点,注意与焦点位置注意与焦点位置,开口方向的对应关系开口方向的对应关系;3、注重数形结合和分类讨论的思想。注重数形结合和分类讨论的思想。准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程焦点位置焦点位置 图图 形形 不同位置的抛物线不同位置的抛物线 x轴的轴的正方向正方向 x轴的轴的负方向负方向 y轴的轴的正方向正方向 y轴的轴的负方向负方向y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pyF(-结合抛物线结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形的标准方程和图形,探索探索其的几何性质其的几何性质:(1)范围范围(2)对称性对称性(3)顶点顶点x0,yR关于关于x轴对称轴对称,对称轴对称轴又叫抛物线的轴又叫抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点抛物线和它的轴的交点.yxoF知识点二：抛物线的简单几何性质知识点二：抛物线的简单几何性质(4)离心率离心率(5)焦半径焦半径(6)通径通径e=1通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度：2P特点：特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无虽然它可以无限延伸限延伸,但它没有渐近线但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的抛物线的离心率是确定的e=1;5.抛物线标准方程中的抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响对抛物线开口的影响.P越大越大,开口越开阔开口越开阔-本质是成比例地放大！本质是成比例地放大！方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度 y2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0xRlFyxO关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）例例1. 顶点在坐标原点顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴对称轴是坐标轴,并且过点并且过点M(2, )的抛物线有几条的抛物线有几条,求它的标准方程求它的标准方程. 当焦点在当焦点在x或或y轴上轴上,开口方向不定时开口方向不定时,设为设为y2=mx(m 0) 或或x2=my (m0),可可避免讨论！避免讨论！(2)过抛物线的焦点做倾斜角为过抛物线的焦点做倾斜角为 的直线的直线L,设设L交抛物线于交抛物线于A,B两点两点,(1)求求|AB|;(2)求求|AB|的最小值的最小值.例例2、(1)过抛物线过抛物线 的焦点的焦点,作倾斜角为作倾斜角为的直线的直线,则被抛物线截得的弦长为则被抛物线截得的弦长为 .思考思考：通径是抛物线的通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗焦点弦中最短的弦吗？FAxyByOxBAFM一、抛物线的几何性质：一、抛物线的几何性质：lFAxyBB1pp1A1二、抛物线的焦点弦：二、抛物线的焦点弦：lFAxyBB1pp1A1通径就是过焦点且垂直于x轴的线段长为2p即为 的最小值.F.F.F.F.F.F6 6、已知直线、已知直线l l：x=2px=2p与抛物线与抛物线 =2px(p0)=2px(p0)交于交于A A、B B两点，两点，求证：求证：OAOB.OAOB.证明：由题意得，证明：由题意得，A(2p,2p),B(2p,-A(2p,2p),B(2p,-2p)2p)所以所以 =1=1， =-1=-1因此因此OAOBOAOBxyOy y2 2=2px=2pxA AB BL:x=2pC(2p,0)C(2p,0)变变式式1: 1: 若若直直线线l l过过定定点点(2p,0)(2p,0)且且与与抛抛物物线线 =2px(p0)=2px(p0)交交于于A A、B B两点，求证：两点，求证：OAOB.OAOB.xyOy2=2pxABlP(2p,0)变式变式2 2： 若直线若直线l l与抛物线与抛物线 =2px(p0)=2px(p0)交于交于A A、B B两点，两点，且且OAOB OAOB ，则，则_ _ _. . 直线直线l l过定点过定点(2p,0)(2p,0)xyOy2=2pxABlP二讲授新课二讲授新课1 直线和抛物线的位置关系有哪几种直线和抛物线的位置关系有哪几种?(1)有一个公共点 (2) 两个公共交点 (3)没有公共点例1：判断直线 y = 6与抛 物线 y2 =4x的位置关系及求交点坐标？xyO相交相交(9,6)问题:直线与抛物线的对称轴直线与抛物线的对称轴平行时都有一个交点吗？平行时都有一个交点吗？注意注意,当直线与抛物线的对称当直线与抛物线的对称轴平行时有一个交点轴平行时有一个交点 Fx知识点三：直线与抛物线的位置关系知识点三：直线与抛物线的位置关系例1当k为何值时,直线y=kx+2与抛物线(1)两个交点两个交点(2)一个交点一个交点,(3)没有交点没有交点解：由方程组解：由方程组 消去消去 y ，并整理得，并整理得此时直线与抛物线有一个交点此时直线与抛物线有一个交点 当当k=0时时，（，（1）是关于）是关于x的一元一次方程。的一元一次方程。判断直线与抛物线位置关系的操作程序：判断直线与抛物线位置关系的操作程序：把直线方程代入抛物线方程把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与抛物线的直线与抛物线的对称轴平行对称轴平行相交（一个交点）相交（一个交点） 计计 算算 判判 别别 式式0=00相交相交相切相切相离相离总结：总结： 例例2 求过定点求过定点P（0，1）且与抛物线）且与抛物线 只有一个公共点只有一个公共点的直线的方程的直线的方程.故直线故直线 x=0与抛物线只有一个交点与抛物线只有一个交点. 解解: (1)若直线斜率不存在若直线斜率不存在,则过点则过点P的直线方程是的直线方程是 (2)若直线斜率存在若直线斜率存在,设为设为k,则过则过P点的点的直线方程是直线方程是y=kx+1x=0.故直线故直线 y=1 与抛物线只有一个交点与抛物线只有一个交点 .当当k0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则时，若直线与抛物线只有一个公共点，则y2=2xOyxP(0,1)例3 倾斜角为1350 的直线，经过抛物线y2 = 8x的焦点，则截得的弦长是多少？OxyABF解 （法1）由y2 = 8x的焦点F（2，0）K=-1直线方程为y=-x+2X2-12x+4=0法法2 焦半径焦半径法法3，弦长公式，弦长公式例例4、已知抛物线、已知抛物线C：y24x，设直线与抛物线两交点为，设直线与抛物线两交点为A、B，且线段，且线段AB中点为中点为M（2，1），求直线），求直线l的方程的方程.例例4、已知抛物线、已知抛物线C：y24x，设直线与抛物线两交点为，设直线与抛物线两交点为A、B，且线段，且线段AB中点为中点为M（2，1），求直线），求直线l的方程的方程.说明：说明：中点弦问题中点弦问题的解决方法：的解决方法：联立直线方程与曲线方程，用韦达定理联立直线方程与曲线方程，用韦达定理点差法点差法. .1、抛物线 y2 = 2x中，一条过焦点的弦长为16，求此焦点弦所在的直线方程？2、过、过Q（4，1）点作抛物线点作抛物线y2 =8x的弦的弦AB恰恰被被Q点所平分，求点所平分，求AB所在直线方程所在直线方程?课堂练习课堂练习例例6.6.解法二：xoyFABMCND练习练习: :已知抛物已知抛物线x2=4y,动弦弦AB的的长为4，求，求AB中点中点纵坐坐标的最小的最小值.例例7.7.解法1：. .解法2：变式变式1 1：解：. . .小结小结 直线和抛物线方程联立的方程组解的个数与位置关系直线和抛物线方程联立的方程组解的个数与位置关系方程组两组解方程组两组解两个交点两个交点方程组没有解方程组没有解没有交点没有交点方程组一组解方程组一组解一个交点一个交点 (2)若消元得到若消元得到一次方程一次方程，则方程组只有一组解，直线和，则方程组只有一组解，直线和抛物线的对称轴平行或重合抛物线的对称轴平行或重合,为相交关系为相交关系.(1)若消元得到若消元得到二次方程二次方程,则则课堂练习课堂练习 2.抛物线的一条弦所在直线是 ,且弦的中点的横坐标为 -3,则此抛物线的方程为 . 3.过抛物线 的焦点 ,作互相垂直的两条焦点弦 和 则 的最小值为 .编者语要如何做到上课认真听讲？我们都知道一个人的注意力集中时间是有限的，一节课45分钟如何保持时时刻刻都能认真听讲不走神呢？1、往前坐坐的位置越靠后，注意力就越难集中。老师不会注意到你的事实可以让你不再紧张，放心去做别的事情。坐在后面，视线分散，哪怕你是在看老师，如果有人移动，你的视线就会飘到那个同学的后脑勺上去，也就无法集中注意力。而且，坐在后面很难读到老师的表情。认真听讲不单纯是指听老师说的话，把握老师的表情和语调之类的小细节也是很有必要的。说话比平时更用力，或者表情严肃地强调的那个部分几乎百分之百地会出现在考试中。但是如果坐在后面，那种重要的提示就全都错过了。与此相反，如果坐在前面，首先心情就很不同，自己比别人靠前的感觉让你听课时的态度变得更积极。与老师眼神交会的机会增多，感觉就好像是老师在做一对一个人辅导。有的学生恰恰就是因为这一点，讨厌坐在前面。和老师眼神交会非常有负担，稍微做点儿小动作就会被老师发现，非常不方便。而且坐在前面说不定还会被问到一些难以回答的问题。但是，那却是提升成绩最快的方法。学习要带有一定程度的紧张感，坐在前面，自然而然就会紧张起来。没有必要自己费心思集中精神，那种环境就能帮助你做到。虽然看上去好像不太方便，但其实那才是最便于学习的位置。2、不要看书，要看老师的眼睛只要老师不是在一味地读教材，那老师的“话”就不可能和你低头看着的教材上的“文字”一致。头脑聪明的学生，也许能做到既集中精神听老师的话，又集中精神看眼前书上的内容。可是实际上大部分的学生都做不到这一点。认真听讲的第一个阶段就是上课时间无条件地“往前看”，上课的时候看书往往很容易开小差。摒除杂念，将视线从摊在眼前的书上移开。老师讲课的时候只看前面，集中注意力听老师嘴里说出来的话，那才是认真听讲的态度。低着头，心情就放松了，但那种放松对学习一点好处也没有，之所以会放松，就是因为觉得即便是自己开小差，老师也不知道。如果你往前看，不时地和老师眼神交会一下，注意力必然会集中起来。和老师眼神交汇的那种紧张感会让你注意力集中，并充实地听完整堂课。3、课前预习课前预习新课内容，找出不理解的地方标记下来。预习后尝试做课后练习题，不要怕出错，因为老师还没有讲，出错也是正常的。关键是，出错了你就知道上课时应该重点听哪里，注意力自然就能集中了。4、即便上课时不理解也不要放弃有些同学觉得老师讲的听不懂，就干脆不再听讲，按照自己的方法去学习。其实这样做真的很傻，因为不听讲就非常容易和同学们的学习进度脱节，这就会直接导致考试时成绩下降。原因是，老师讲的内容不一定都在教材中体现，有相当一部分重点内容是老师在上课时补充讲解的，如果不听讲很可能就会错过这些重点。所以，上课的时间一定要专注于课堂，决不能打开别的习题集去学习，这样才是高效率的学习，才是提高成绩最快的方法。因此，困难也要先听课，那对你将来的自学一定会很有帮助，哪怕你只是记住了一些经常出现的术语，上课的内容好像马上就忘光了，但等到你日后自己学习的时候，也能让你回想起很多内容。2024/7/24教学资料精选65谢谢欣赏！2024/7/24教学资料精选66