复复 习习 回回 顾顾数列的定义，通项公式，递推公式数列的定义，通项公式，递推公式按一定次序排成的一列数叫做按一定次序排成的一列数叫做数列数列。一般写成一般写成a1,a2,a3,an,，简记为，简记为an。如果数列如果数列 an 的第的第n项项an与与n的关系可以用一个公式来表示，的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的那么这个公式就叫做这个数列的通项公式通项公式。 如果已知数列如果已知数列an的第的第1项项( (或前几项），且任一项或前几项），且任一项an与它的前一项与它的前一项a n-1( (或前几项）间的关系可以用一或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推递推公式公式。 我们经常这样数数，从我们经常这样数数，从0 0开始，每隔开始，每隔5 5数一次，可以得到数列：数一次，可以得到数列： 0 0，5 5， 1010 ，1515 ，2020 ， 2000 2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了赛项目。该项目共设置了7 7个级别，其中较轻的个级别，其中较轻的4 4个级别体重组成数列个级别体重组成数列（单位：（单位：kgkg）：）： 4848 ，5353，5858，6363. . 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为18m18m，自然放水每天，自然放水每天水位降低水位降低2.5m2.5m，最低降至，最低降至5m5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m m）：）： 1818，15.515.5，1313，10.510.5，8 8，5.55.5. . 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和= =本金本金(1+(1+利率利率存期存期) )。例如，按活期存入。例如，按活期存入1000010000元钱，年利率是元钱，年利率是0.72%0.72%，那么按照单利，那么按照单利，5 5年内各年末的本利和（单位：元）组成一个数列：年内各年末的本利和（单位：元）组成一个数列： 1007210072，1014410144，1021610216，1028810288，10360. 10360. 四四 个个 实实 例例从第二项起，后一项与前一项的差是从第二项起，后一项与前一项的差是5 5。从第二项起，后一项与从第二项起，后一项与前一项的差是前一项的差是5 5。从第二项起，后一项与从第二项起，后一项与前一项的差是前一项的差是-2.5-2.5。从第二项起，后一项从第二项起，后一项与前一项的差是与前一项的差是7272。请同学们思请同学们思考，这四个考，这四个数列有何共数列有何共同特点同特点? ?等等 差差 数数 列列 的的 定定 义义一般地，如果一个数列一般地，如果一个数列an,从第从第2 2项起每一项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母差数列的公差。公差通常用字母 d d 表示。表示。定义的符号表示是：定义的符号表示是：an - - an-1= =d( (n2,2,nNN* *),),这就是数列的递推公式。这就是数列的递推公式。数列数列 a an n 为等差数列为等差数列an+1-an=d或或an+1=an+d那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。 是是不是不是不是不是 练练 习习 一一 判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项是？如果是，写出首项a1 1和公差和公差d, , 如果不是，说如果不是，说明理由。明理由。（1）1，3，5，7，（2）9，6，3，0，-3（3）-8，-6，-4，-2，0，（4）3，3，3，3，（6）15，12，10，8，6，思考：在数列思考：在数列（1 1），），a100= =？我我们该如何求解呢？们该如何求解呢？是是是是是是a1=1,d=2a1=9,d=-3a1=-8,d=2a1=3,d=0通通 项项 公公 式式 的的 推推 导导设一个等差数列设一个等差数列 an n 的首项是的首项是a1 1, ,公差是公差是d,d,则有：则有： a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,所以有：所以有：a2=a1+d,a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2da4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3dan=a1+(n-1)d 当当当当n=1n=1n=1n=1时，上式也成立。时，上式也成立。时，上式也成立。时，上式也成立。所以等差数列的通项公式是：所以等差数列的通项公式是：an=a1+(n-1)d问问an=?=?通过观察：通过观察：a2， a3，a4都可都可以用以用a1与与d 表示出来表示出来；a1与与d的系数有什么特点？的系数有什么特点？(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(an-an-1)=(n-1)dan-a1=(n-1)d即即an=a1+(n-1)da2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,an-an-1=da1 1 、an n、n、d知知三求一三求一例例 题题例例1 1 （1 1）求等差数列）求等差数列8 8，5 5，2 2，的第的第2020项；项；（2 2）判断）判断-401-401是不是等差数列是不是等差数列 5,-9 ,-135,-9 ,-13的项的项? ?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。如果是，是第几项，如果不是，说明理由。分析分析（1 1）由给出的等由给出的等差数列前三项，先找差数列前三项，先找到首项到首项a1 1, ,求出公差求出公差d,d,写出通项公式，就可写出通项公式，就可以求出第以求出第2020项项a2020. .解：解：(1)(1)由题意得：由题意得： a1 1=8,d=5-8=-3,n=20=8,d=5-8=-3,n=20 这个数列的通项公式是：这个数列的通项公式是： an n= =a1 1+(n-1)d=-3n+11 +(n-1)d=-3n+11 a2020=11-320=-49=11-320=-49分析分析（2 2）要想判断要想判断 -401-401是否为这个数列是否为这个数列中的项，关键是要求中的项，关键是要求出通项公式，看是否出通项公式，看是否存在正整数存在正整数n,n,使得使得an n=-401=-401。(2)(2)由题意得：由题意得： a1 1=-5,=-5,d d=-9-(-5)=-4=-9-(-5)=-4这个数列的通项公式是：这个数列的通项公式是：an=-5+ (n - 1) (-4)=-4n-1 令令-401=-4-401=-4n-1,n-1,得得 n=100n=100-401-401是这个数列的第是这个数列的第100100项。项。练练 习习 二二（1 1）求等差数列）求等差数列3,7,113,7,11的第的第4 4项与第项与第1010项；项；（2 2）判）判断断102102是是不是等差数不是等差数列列2 2，9 9，1616，的项？如果是，的项？如果是，是第几项，如果不是，说明理由。是第几项，如果不是，说明理由。解：（解：（1 1）根据题意得：）根据题意得： a a1 1=3,d=7-3=4, =3,d=7-3=4, 这个数列的通项公式是：这个数列的通项公式是：这个数列的通项公式是：这个数列的通项公式是： a an n n n= = = =a a1 1 1 1+(n-1)d=4n-1+(n-1)d=4n-1+(n-1)d=4n-1+(n-1)d=4n-1 a a4 4 4 4=44-1=15,=44-1=15,=44-1=15,=44-1=15, a a10101010=410-1=39.=410-1=39.=410-1=39.=410-1=39.（2）由题意得：由题意得：由题意得：由题意得： a a1 1 1 1=2,d=9-2=7=2,d=9-2=7=2,d=9-2=7=2,d=9-2=7这个数列的通项公式是：这个数列的通项公式是：这个数列的通项公式是：这个数列的通项公式是：a an n n n=2+ (n-1) 7=2+ (n-1) 7=2+ (n-1) 7=2+ (n-1) 7=7n-5(n1)=7n-5(n1)=7n-5(n1)=7n-5(n1)令令令令101010102 2 2 2=7=7=7=7n-5,n-5,n-5,n-5,得得得得 n=107/7 N n=107/7 N n=107/7 N n=107/7 N 102102102102不不不不是这个数列的项。是这个数列的项。是这个数列的项。是这个数列的项。例例2 2在等差数列在等差数列 an n 中，已知中，已知a5 5=10,=10,a1212=31,=31,求首项求首项a1 1与公差与公差d .d .这是一个以这是一个以a1和和d 为未知数的二元一次方程组，为未知数的二元一次方程组，解之得：解之得：解：由题意得：解：由题意得：这个数列的首项这个数列的首项a1是是-2，公差，公差d =3.小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。要是联立二元一次方程组。请同学们做以下练习。请同学们做以下练习。例例 题题从该例题中可以看出，等差数列的通项公从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于、式其实就是一个关于、d d、n n（独立的量（独立的量有有3 3个）的方程；另外，要懂得利用通项个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项。它就不是数列中的项。 练练 习习 三三已知等差数列已知等差数列an中，中，a4=10,a7=19,求求a1和和d.这个数列的首项是这个数列的首项是1，公差是，公差是3。解：依题意得：解：依题意得：解之得：有些数列若通过取倒数代数变形方法，有些数列若通过取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决可由复杂变为简单，使问题得以解决. . 课时小结课时小结通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式：及数学表达式： an+1-an=d(n1且且n N*); ;其次要会推导等差数列的通项公式其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d( n1) . .本课时的重点是通项公式的灵活应用本课时的重点是通项公式的灵活应用, ,知道知道an,a1,d,n中中任意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个。任意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个。已知等差数列已知等差数列an中，中，am、公差、公差d 是常数，试求出是常数，试求出an的值。的值。分析：本题是一个含有字母的计算题，做题时必须分析：本题是一个含有字母的计算题，做题时必须将将am m ,d ,d 看成是常数看成是常数. .解：设等差数列an的首项是a1，依题意可得： am=a1+(m-1)d an=a1+(n-1)d - 得：an-am=a1+ ( n 1 )d-a1+(m-1)d=(n-m)d an=am +(n-m)d思考题：思考题：变形变形等差数列的通项公式：等差数列的通项公式：等差数列等差数列如果一个等差数列如果一个等差数列an的首项为的首项为a1 ，公差为，公差为d，那么我们可以根据等差数列的概念得到：那么我们可以根据等差数列的概念得到：an-a1=(n-1)da4-a3=da2-a1=da3-a2=dan-1-an-2=dan-an-1=d+等差数列的通项公式：等差数列的通项公式：an=a1 +(n-1)d等价变形：等价变形：a1=an- (n-1)dd=(an-a1)/ (n-1)n=(an-a1)/d+1等差数列等差数列思考思考:an=a1 +(n-1)dam=a1 +(m-1)dam-an =(m-n) dd=am-an /(m-n) am=?am-an =?am=an +(m-n) d