2.2.2事件的相互独事件的相互独立性（一）立性（一）高二数学高二数学 选修选修2-3什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？两个互斥事件两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是有一个发生的概率公式是什么？什么？若若A与与A为对立事件，则为对立事件，则P（A）与）与P（A）关系）关系如何？如何？不可能同时发生的两个事件不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；叫做互斥事件；如果两个互斥如果两个互斥事件有一个发生时另一个必不发生事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件，这样的两个互斥事件叫对立事件叫对立事件.P(A+B)=P(A)+(B)P(A)+P()=1复习回顾复习回顾问题探究：问题探究：下面看一例下面看一例 在大小均匀的在大小均匀的5个鸡蛋中有个鸡蛋中有3个红皮蛋，个红皮蛋，2个白皮个白皮蛋，每次取一个，有放回地取两次，求在已知第一次蛋，每次取一个，有放回地取两次，求在已知第一次取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率。取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率。 我们知道，当事件我们知道，当事件A的发生对事件的发生对事件B的发生有影的发生有影响时，条件概率响时，条件概率P(B|A)和概率和概率P(B)一般是不相等的，一般是不相等的，但有时事件但有时事件A的发生，看上去对事件的发生，看上去对事件B的发生没有影的发生没有影响，响，比如依次抛掷两枚硬币的结果（事件比如依次抛掷两枚硬币的结果（事件A）对抛掷第二枚）对抛掷第二枚硬币的结果（事件硬币的结果（事件B）没有影响，这时）没有影响，这时P(B|A)与与P(B)相等吗相等吗？1、事件的相互独立性、事件的相互独立性相互独立事件及其同时发生的概率相互独立事件及其同时发生的概率设设A，B为两个事件，如果为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事则称事件件A与事件与事件B相互独立相互独立。即事件即事件A（或（或B）是否发生）是否发生,对事件对事件B（或（或A）发生的）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。如果事件如果事件A与与B相互独立，那么相互独立，那么A与与B，A与与B，A与与B是不是是不是相互独立的相互独立的注：注：区别：区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：两个事件互斥两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生是指这两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。发生的概率没有影响。相互独立相互独立2、相互独立事件同时发生的概率公式：、相互独立事件同时发生的概率公式：“第一、第二次都取到红皮蛋第一、第二次都取到红皮蛋”是一个事件，是一个事件，它的发生就是事件它的发生就是事件A,B同时发生，将它记作同时发生，将它记作AB 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件的概率的积。等于每个事件的概率的积。一般地，如果事件一般地，如果事件A1，A2，An相互独立，那么这相互独立，那么这n个个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P（A1A2An）=P（A1）P（A2）P（An）两个相互独立事件两个相互独立事件A,B同时发生同时发生,即事件即事件AB发生的概生的概率率为： 例例2 甲、乙二人各进行甲、乙二人各进行1 1次射击比赛，如果次射击比赛，如果2 2人人 击中目标的概率都是击中目标的概率都是0.60.6，计算：，计算：（1）两人都击中目标的概率）两人都击中目标的概率；（2）其中恰由）其中恰由1人击中目标的概率人击中目标的概率（3）至少有一人击中目标的概率）至少有一人击中目标的概率解：解：(1) 记记“甲射击甲射击1次次,击中目标击中目标”为为事件事件A.“乙乙射射 击击1次次,击中目标击中目标”为为事件事件B.答：两人都击中目标的概率是答：两人都击中目标的概率是0.36且且A与与B相互独立，相互独立，又又A与与B各射击各射击1次次,都击中目标都击中目标,就是事件就是事件A,B同同时发生，时发生， 根据相互独立事件的概率的乘法公式根据相互独立事件的概率的乘法公式,得到得到P(AB)=P(A) P(B)=0.60.60.36例例2 甲、乙二人各进行甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果次射击比赛，如果2人击人击中目标的概率都是中目标的概率都是0.6，计算：，计算：(2) 其中恰有其中恰有1人击中目标的概率？人击中目标的概率？解：解：“二人各射击二人各射击1次，次，恰有恰有1人击中目标人击中目标”包括两种情包括两种情况况:一种是甲击中一种是甲击中, 乙未击中（事件乙未击中（事件 ）答：其中恰由答：其中恰由1人击中目标的概率为人击中目标的概率为0.48. 根据互斥事件的概率加法公式和相互独立根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率是事件的概率乘法公式，所求的概率是 另一种是另一种是甲未击中，乙击中（事件甲未击中，乙击中（事件B发生）。发生）。BA 根据题意，这两根据题意，这两种情况在各射击种情况在各射击1次时不可能同时发生，即事件次时不可能同时发生，即事件B与与 互斥，互斥，例例2 甲、乙二人各进行甲、乙二人各进行1 1次射击比赛，如果次射击比赛，如果2 2人击中人击中目标的概率都是目标的概率都是0.60.6，计算：，计算：（3）至少有一人击中目标的概率）至少有一人击中目标的概率.解法解法1:两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是解法解法2：两人都未击中的概率是两人都未击中的概率是答：至少有一人击中的概率是答：至少有一人击中的概率是0.84.巩固练习巩固练习生产一种零件，甲车间的合格率是生产一种零件，甲车间的合格率是96%,乙车间的合格率乙车间的合格率是是97,从它们生产的零件中各抽取从它们生产的零件中各抽取1件，都抽到合格品件，都抽到合格品的概率是多少？的概率是多少？ 解：解：设从甲车间生产的零件中抽取设从甲车间生产的零件中抽取1件得到合格品为件得到合格品为事件事件A，从乙车间抽取一件得到合格品为事件，从乙车间抽取一件得到合格品为事件B。那么，。那么，2件都是合格品就是事件件都是合格品就是事件AB发生，又事件生，又事件A与与B相互独相互独立，所以抽到合格品的概率立，所以抽到合格品的概率为答：抽到合格品的概率是答：抽到合格品的概率是例例3 在一段线路中并联着在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只个自动控制的常开开关，只要其中有要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时计算在这段时间内线路正常工作的概率间内线路正常工作的概率. 由题意，这段时间内由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相个开关是否能够闭合相互之间没有影响。互之间没有影响。所以这段事件内线路正常工作的概率是所以这段事件内线路正常工作的概率是答：在这段时间内线路正常工作的概率是答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973解：解：分别记这段时间内开关分别记这段时间内开关 能够闭合为事件能够闭合为事件A,B,C. 根据相互独立事件的概率乘法式这根据相互独立事件的概率乘法式这段时间内段时间内3个开关都不能闭合的概率是个开关都不能闭合的概率是 巩固练习巩固练习1、分别抛掷、分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设枚质地均匀的硬币，设A是事件是事件“第第1枚为正面枚为正面”，B是事件是事件“第第2枚为正面枚为正面”，C是事件是事件“2枚结果相同枚结果相同”。问：。问：A，B，C中哪两个相互独立中哪两个相互独立？巩固练习巩固练习 2、在一段时间内，甲地下雨的概率是、在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨，乙地下雨的概率是的概率是0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互，假定在这段时间内两地是否下雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：之间没有影响，计算在这段时间内：（1）甲、乙两地都下雨的概率；）甲、乙两地都下雨的概率；（2）甲、乙两地都不下雨的概率；）甲、乙两地都不下雨的概率；（3）其中至少有一方下雨的概率）其中至少有一方下雨的概率.P=0.20.30.06P=(1-0.2)(1-0.3)=0.56P=1-0.56=0.443.某战士射击中靶的概率为某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次若连续射击两次. 求求: (1) 两次都中靶的概率两次都中靶的概率;(2)至少有一次中靶的概率至少有一次中靶的概率: (3)至多有一次中靶的概率至多有一次中靶的概率;(4)目标被击中的概率目标被击中的概率.分析分析: 设事件设事件A为为“第第1次射击中靶次射击中靶”. B为为“第第2次射击中次射击中靶靶”. 又又 A与与B是互斥事件是互斥事件. “两次都中靶两次都中靶” 是指是指 “事件事件A发生且事件发生且事件B发生发生” 即即AB P( AB）= P（A）P（B）= （2）“至少有一次中靶至少有一次中靶” 是指是指 (中中, 不中不中), (不中不中, 中中), (中中,中中) 即即 AB + AB+ AB. 求求 P(AB + AB+ AB) （3）“至多有一次中靶至多有一次中靶” 是指是指 (中中, 不中不中), (不中不中, 中中), (中中,中中) 即即 AB + AB+ AB. 求求 P(AB + AB+ AB) （4）“目标被击中目标被击中” 是指是指 (中中, 不中不中), (不中不中, 中中), (中中,中中) 即即 AB + AB+ AB. 求求 P(AB + AB+ AB) 解题步骤：解题步骤：1.用恰当的字母标记事件用恰当的字母标记事件,如如“XX”记为记为A, “YY”记为记为B.2.理清题意理清题意, 判断各事件之间的关系判断各事件之间的关系(等可能等可能;互斥互斥; 互独互独; 对立对立). 关键词关键词 如如“至多至多” “至少至少” “同时同时” “恰有恰有”. 求求“至多至多” “至少至少”事件概率时事件概率时,通常考虑它们的对立事件的通常考虑它们的对立事件的概率概率.3.寻找所求事件与已知事件之间的关系寻找所求事件与已知事件之间的关系. “所求事件所求事件” 分几类分几类 (考虑加法公式考虑加法公式, 转化为互斥事件转化为互斥事件) 还是分几步组成还是分几步组成(考虑乘法公式考虑乘法公式, 转化为互独事件转化为互独事件) 4.根据公式解答根据公式解答1.射击时射击时, 甲射甲射10次可射中次可射中8次次;乙射乙射10次可射中次可射中7次次. 则则甲甲,乙同时射中乙同时射中同一目标的概率为同一目标的概率为_2.甲袋中有甲袋中有5球球 (3红红,2白白), 乙袋中有乙袋中有3球球 (2红红,1白白). 从每袋中任取从每袋中任取1球球,则则至少取到至少取到1个白球个白球的概率是的概率是_1415353.甲甲,乙二人单独解一道题乙二人单独解一道题, 若甲若甲,乙能解对该题的概率乙能解对该题的概率 分别是分别是m, n . 则则此题被解对此题被解对的概率是的概率是_m+n- mn4.有一谜语有一谜语, 甲甲,乙乙,丙猜对的概率分别是丙猜对的概率分别是1/5, 1/3 , 1/4 . 则三人中则三人中恰有一人猜对恰有一人猜对该谜语的概率是该谜语的概率是_1330P(A+B)=P(AB)+P(AB) +P(AB)=1- P(AB) 7.在在100件产品中有件产品中有4件次品件次品. 从中抽从中抽2件件, 则则2件都是次品概率为件都是次品概率为_ 从中抽两次从中抽两次,每次每次1件则两次都抽出次品的概率是件则两次都抽出次品的概率是_ (不放回抽取不放回抽取) 从中抽两次从中抽两次,每次每次1件则两次都抽出次品的概率是件则两次都抽出次品的概率是_ (放回抽取放回抽取) C42C1002 C41C31C1001C991 C41C41C1001C10015.加工某产品须经两道工序加工某产品须经两道工序, 这两道工序的次品率分别这两道工序的次品率分别为为a, b. 且这两道工序互相独立且这两道工序互相独立.产品的合格的概率产品的合格的概率是是_.(1-a)(1-b)6.某系统由某系统由A,B,C三个元件组成三个元件组成, 每个元件正常工作概率为每个元件正常工作概率为P. 则系统正常工作的概率为则系统正常工作的概率为_ABCP+P2- P3求求较较复复杂杂事事件件概概率率正向正向反向反向对立事件的概率对立事件的概率分类分类分步分步P(A+B)= P(A) + P (B)P(AB)= P(A) P (B)( 互斥事件互斥事件)( 互独事件互独事件)独立事件一定不互斥独立事件一定不互斥.互斥事件一定不独立互斥事件一定不独立.