小结与复习要点梳理考点讲练当堂练习课堂小结第17章 函数及其图象要点梳理要点梳理1.常量与变量叫变量，叫常量.2.函数定义：取值发生变化的量取值固定不变的量在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.一、函数3.函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.列表法解析法图象法.5.函数的三种表示方法：4.描点法画图象的步骤：列表、描点、连线一次函数一般地，如果yk xb (k、b是常数，k0)，那么y叫做x的一次函数.正比例函数特别地，当b_时，一次函数yk xb变为y _(k为常数，k0)，这时y叫做x的正比例函数.0kx二、一次函数1.一次函数与正比例函数的概念2.分段函数当自变量的取值范围不同时，函数的解析式也不同，这样的函数称为分段函数.函数字母系数取值（k0）图象经过的象限函数性质ykx+b(k0) b0y随x增大而增大 b=0 b0第一、三象限第一、二、三象限第一、三、四象限3.一次函数的图象与性质函数字母系数取值（k0y随x增大而减小b0b0第一、二、四象限第二、四象限第二、三、四象限求一次函数解析式的一般步骤：（1）先设出函数解析式；（2）根据条件列关于待定系数的方程（组）；（3）解方程（组）求出解析式中未知的系数；（4）把求出的系数代入设的解析式，从而具体写出这个解析式.这种求解析式的方法叫待定系数法.4.用待定系数法求一次函数的解析式求ax+b=0(a，b是常数，a0)的解 x为何值时，函数y= ax+b的值为0？ 从“数”的角度看求ax+b=0(a, b是常数，a0)的解 求直线y= ax+b与x 轴交点的横坐标 从“形”的角度看(1)一次函数与一元一次方程5.一次函数与方程 一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线(2)一次函数与二元一次方程方程的解 对应直线点的坐标.1. 反比例函数的概念定义：形如_(k为常数，k0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数三种表示方法：或xyk 或ykx1(k0)防错提醒：(1)k0；(2)自变量x0；(3)函数y0.三、反比例函数2. 反比例函数的图象和性质(1)反比例函数的图象：反比例函数(k0)的图象是，它既是轴对称图形又是中心对称图形.反比例函数的两条对称轴为直线和；对称中心是：.双曲线原点y=xy=x(2)反比例函数的性质 图象所在象限性质(k0)k0第一、三象限(x，y同号)在每个象限内，y 随x 的增大而减小k0第二、四象限(x，y异号)在每个象限内，y 随x 的增大而增大xyoxyo(3)反比例函数比例系数k 的几何意义 k 的几何意义：反比例函数图象上的点(x，y)具有两坐标之积(xyk)为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数|k|.规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数3. 反比例函数的应用利用待定系数法确定反比例函数：根据两变量之间的反比例关系，设；代入图象上一个点的坐标，即x、y 的一对对应值，求出k 的值；写出解析式.考点讲练考点讲练考点一函数的有关概念及图象例1王大爷饭后出去散步，从家中走20分钟到离家900米的公园，与朋友聊天10分钟后，用15分钟返回家中下面图形表示王大爷离家时间x（分）与离家距离y（米）之间的关系是（）ABCDDOOOO针对训练1.下列变量间的关系不是函数关系的是（）A.长方形的宽一定，其长与面积B.正方形的周长与面积C.等腰三角形的底边长与面积D.圆的周长与半径C2.函数中，自变量x的取值范围是（）A.x3B.x3C.x3D.x-3B3.星期天下午，小强和小明相约在某公交车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小明到后两人一起乘公共汽车回到学校图中折线表示小强离开家的路程y（千米）和所用的时间x（分）之间的函数关系图象下列说法错误的是（）A小强从家到公共汽车站步行了2千米B小强在公共汽车站等小明用了10分钟C公交车的平均速度是34千米/时D小强乘公交车用了30分钟Cx(分)y(千米)考点二一次函数的图象与性质例2已知函数y=（2m+1）x+m3；(1)若该函数是正比例函数，求m的值；(2)若函数的图象平行于直线y=3x3，求m的值；(3)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围；(4)若这个函数图象过点（1，4），求这个函数的解析式.【分析】(1)由函数是正比例函数得m-3=0且2m+10；(2)由两直线平行得2m+1=3；(3)一次函数中y随着x的增大而减小，即2m+10；(4)代入该点坐标即可求解.解：(1)函数是正比例函数，m3=0，且2m+10，解得m=3；(2)函数的图象平行于直线y=3x3，2m+1=3，解得m=1；(3)y随着x的增大而减小，2m+10，解得m(4)该函数图象过点（1,4），代入得2m+1+m-3=4,解得m=2，该函数的解析式为y=5x-1.一次函数y=kx+b中b=0时，该函数为正比例函数；两条直线平行，其函数解析式中的自变量系数k相等；当k0时，y随x的增大而增大，当k0时，y随x的增大而减小.方法总结针对训练4.一次函数y=-5x+2的图象不经过第_象限.5.点（-1，y1），（2，y2）是直线y=2x+1上两点，则y1_y2.三6.填空题：有下列函数：,.其中函数图象过原点的是_；函数y随x的增大而增大的是_；函数y随x的增大而减小的是_；图象在第一、二、三象限的是_.xy2=考点三一次函数与一次方程例3如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的方程x+b=kx+4的解是（）yxOy1=x+by2=kx+4PAx=2Bx=0Cx=1Dx=-1【分析】观察图象，两图象交点为P(1，3),当x=1时，y1=y2，据此解题即可.13C针对训练7.方程x+2=0的解就是函数y=x+2的图象与（）A.x轴交点的横坐标B.y轴交点的横坐标C.y轴交点的纵坐标D.以上都不对8.两个一次函数y=-x+5和y=-2x+8的图象的交点坐标是_.A(3，2)(1)问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；(2)若搭配一个A 种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明(1)中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？例4为美化深圳市景，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆考点四一次函数的应用解：设搭配A 种造型x 个，则B 种造型为(50x)个，依题意，得31x33.x是整数，x可取31,32,33，可设计三种搭配方案：A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；A 种园艺造型33个，B种园艺造型17个方案需成本：318001996043040(元)；方案需成本：328001896042880(元)；方案需成本：338001796042720(元)（2）方法一：方法二：成本为y800x960(50x)160x48000(31x33)根据一次函数的性质，y 随x 的增大而减小，故当x33时，y 取得最小值为338001796042720(元)即最低成本是42720元用一次函数解决实际问题，先理解清楚题意，把文字语言转化为数学语言，列出相应的不等式（方程），若是方案选择问题，则要求出自变量在取不同值时所对应的函数值，判断其大小关系，结合实际需求，选择最佳方案.方法总结9.李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y(升)与行驶里程x(千米)之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是多少升？针对训练解：设一次函数的解析式为ykx35，将(160,25)代入，得160k3525，解得k，所以一次函数的解析式为yx35.再将x240代入yx35，得y2403520，即到达乙地时油箱剩余油量是20升10.小星以2米/秒的速度起跑后，先匀速跑5秒，然后突然把速度提高4米/秒，又匀速跑5秒.试写出这段时间里他的跑步路程s（单位：米）随跑步时间x（单位：秒）变化的函数关系式，并画出函数图象.解:依题意得s=2x(0x5)6x-20(5x10)100s(米)50x(秒)4010s(米)105x(秒)x(秒）s(米)O5101040s=2x(0x5)s=6x-20(5x10)例5已知点A(1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()A.y3y1y2B.y1y2y3C.y2y1y3D.y3y2y1解析：方法分别把各点代入反比例函数求出y1，y2，y3的值，再比较出其大小即可方法：根据反比例函数的图象和性质比较考点五反比例函数的图象和性质D11.已知点A (x1，y1)，B (x2，y2)(x10x2)都在反比例函数(k2时，y与x的函数解析式；解：当x 2时，y 与x 成反比例关系，所以设解得k 8.由于点(2，4)在反比例函数的图象上，所以即Oy/毫克x/小时24(3)若每毫升血液中的含药量不低于2毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？解：当0x2时，含药量不低于2毫克，即2x2，解得x1，1x2；当x2时，含药量不低于2毫克，即2，解得x4.2x 4.所以服药一次，治疗疾病的有效时间是123(小时)Oy/毫克x/小时2412.如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y，从加热开始计算的时间为x分钟据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系已知该材料在加热前的温度为4，加热一段时间使材料温度达到28时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x 成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是14针对训练Oy()x(min)1241428(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y 与x 的函数关系式（写出x的取值范围）；Oy()x(min)1241428答案：y =4x +4 (0x 6)， (x6).(2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于12的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟?解：当y =12时，y =4x+4，解得x=2由，解得x =14.所以对该材料进行特殊处理所用的时间为142=12(分钟)Oy()x(min)1241428课堂小结课堂小结实际问题函数建立函数模型定义自变量取值范围表示法一次函数 y=kx+b(k0)应用图象：一条直线性质： k0，y 随x 的增大而增大 k0，y 随x 的增大而减小数形结合一次函数与一次方程之间的关系课堂小结课堂小结反比例函数定义图象性质x，y 的取值范围增减性对称性k 的几何意义应用在实际生活中的应用在物理学科中的应用