1.1.3四种命题间的相互关系【自主预习自主预习】1.1.四种命题间的关系四种命题间的关系2.2.四种命题真假性间的关系四种命题真假性间的关系(1)(1)两个命题互为逆否命题两个命题互为逆否命题, ,则它们的真假性则它们的真假性_._.(2)(2)两个命题为互逆命题或互否命题两个命题为互逆命题或互否命题, ,它们的真假性它们的真假性_._.相同相同没有关系没有关系【即时小测【即时小测】1.1.一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这4 4个命个命题中题中( () )A.A.真命题与假命题的个数相同真命题与假命题的个数相同B.B.真命题的个数一定是奇数真命题的个数一定是奇数C.C.真命题的个数一定是偶数真命题的个数一定是偶数D.D.真命题的个数可能是奇数真命题的个数可能是奇数, ,也可能是偶数也可能是偶数【解析【解析】选选C.C.四种命题中原命题和逆否命题真假性相四种命题中原命题和逆否命题真假性相同同, ,逆命题和否命题真假性相同逆命题和否命题真假性相同, ,因此真命题的个数是因此真命题的个数是偶数个偶数个. .2.2.命题命题“若若p p不正确不正确, ,则则q q不正确不正确”的逆命题的等价命题的逆命题的等价命题是是( () )A.A.若若q q不正确不正确, ,则则p p不正确不正确B.B.若若q q不正确不正确, ,则则p p正确正确C.C.若若p p正确正确, ,则则q q不正确不正确D.D.若若p p正确正确, ,则则q q正确正确【解析【解析】选选D.D.原命题的逆命题和否命题互为逆否命题原命题的逆命题和否命题互为逆否命题, ,只需写出原命题的否命题即可只需写出原命题的否命题即可. .3.3.命题命题“若若a-3,a-3,则则a-6a-6”以及它的逆命题、否命题、以及它的逆命题、否命题、逆否命题中逆否命题中, ,真命题的个数为真命题的个数为( () )A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4【解析【解析】选选B.B.易知原命题为真命题易知原命题为真命题, ,从而逆否命题为真从而逆否命题为真命题命题. .因为逆命题为因为逆命题为“若若a-6,a-6,则则a-3a-3”, ,所以逆命题为所以逆命题为假命题假命题, ,所以否命题为假命题所以否命题为假命题. .从而真命题的个数是从而真命题的个数是2.2.【知识探究【知识探究】探究点探究点四种命题间的关系四种命题间的关系1.1.能不能说能不能说“若若p,p,则则q q”是逆命题或否命题是逆命题或否命题? ?为什么为什么? ?提示提示: :不能不能, ,逆命题或否命题都是相对于原命题而言的逆命题或否命题都是相对于原命题而言的, ,只有确定了原命题只有确定了原命题, ,才有逆命题、否命题的说法才有逆命题、否命题的说法, ,它们它们与原命题互为逆命题、互为否命题与原命题互为逆命题、互为否命题. .2.2.如何利用原命题的逆命题写出原命题的逆否命题如何利用原命题的逆命题写出原命题的逆否命题? ?提示提示: :原命题的逆命题与原命题的逆否命题互为否命题原命题的逆命题与原命题的逆否命题互为否命题, ,所以只需写出原命题的逆命题的否命题所以只需写出原命题的逆命题的否命题, ,即得原命题的即得原命题的逆否命题逆否命题. .3.3.互为逆否命题的两个命题同真同假有什么用处互为逆否命题的两个命题同真同假有什么用处? ?提示提示: :在判断一个命题的真假性时在判断一个命题的真假性时, ,若命题本身难以判若命题本身难以判断断, ,可以转为判断其逆否命题的真假来说明原命题的真可以转为判断其逆否命题的真假来说明原命题的真假假. .【归纳总结【归纳总结】对四种命题相互关系的三点认识对四种命题相互关系的三点认识(1)(1)四种命题中原命题具有相对性四种命题中原命题具有相对性, ,任意确定一个为原任意确定一个为原命题命题, ,其逆命题、否命题、逆否命题就确定了其逆命题、否命题、逆否命题就确定了, ,所以所以“互逆互逆”“”“互否互否”“”“互为逆否互为逆否”具有对称性具有对称性. .(2)(2)在原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题在原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题中中, ,有两对互逆命题有两对互逆命题, ,两对互否命题两对互否命题, ,两对互为逆否命题两对互为逆否命题. .它们分别为它们分别为: :两对互逆命题两对互逆命题: :原命题与逆命题原命题与逆命题, ,否命题与逆否命题否命题与逆否命题. .两对互否命题两对互否命题: :原命题与否命题原命题与否命题, ,逆命题与逆否命题逆命题与逆否命题. .两对互逆否命题两对互逆否命题: :原命题与逆否命题原命题与逆否命题, ,逆命题与否命逆命题与否命题题. .(3)(3)由于原命题与其逆否命题的真假性相同由于原命题与其逆否命题的真假性相同, ,所以原命所以原命题与其逆否命题是等价命题题与其逆否命题是等价命题, ,因此当直接证明或判断原因此当直接证明或判断原命题困难时命题困难时, ,可以转化成证明其逆否命题可以转化成证明其逆否命题. .特别提醒特别提醒:1.:1.利用四种命题间的关系利用四种命题间的关系, ,判断四种命题的判断四种命题的真假时真假时, ,只需判断两个命题的真假即可只需判断两个命题的真假即可. .2.2.若命题的叙述是否定性的语言或含有若命题的叙述是否定性的语言或含有“至多至多”“”“至至少少”等词语时等词语时, ,往往转化为判断其逆否命题的真假更方往往转化为判断其逆否命题的真假更方便便. .类型一类型一四种命题的相互关系及应用四种命题的相互关系及应用【典例【典例】1.1.若命题若命题P:P:“若若x+yx+y=0,=0,则则x,yx,y互为相反数互为相反数”的的否命题为否命题为Q,Q,命题命题Q Q的逆命题为的逆命题为R,R,则则R R与与P P的逆命题的关系的逆命题的关系是是( () )A.A.互为逆命题互为逆命题 B.B.互为否命题互为否命题C.C.互为逆否命题互为逆否命题 D.D.同一命题同一命题2.2.已知命题已知命题P P的逆命题是的逆命题是“若实数若实数a,ba,b满足满足a=1a=1且且b=2,b=2,则则a+ba+b44”, ,则命题则命题P P的否命题是的否命题是_【解题探究【解题探究】1.1.把命题把命题P P看作原命题如何探究与其有关的命题间的关看作原命题如何探究与其有关的命题间的关系系? ?提示提示: :利用四种命题间的关系逐一讨论利用四种命题间的关系逐一讨论. .2.2.原命题的逆命题和否命题间的关系是什么原命题的逆命题和否命题间的关系是什么? ?提示提示: :互为逆否命题互为逆否命题. .【解析【解析】1.1.选选B.B.根据四种命题间的关系可得根据四种命题间的关系可得:P:P与与Q Q互为互为否命题否命题, ,而而Q Q与与R R互为逆命题互为逆命题, ,所以所以P P与与R R互为逆否命题互为逆否命题, ,所所以以R R与与P P的逆命题互为否命题的逆命题互为否命题. .2.2.同一命题的逆命题与否命题互为逆否命题同一命题的逆命题与否命题互为逆否命题, ,故只需写故只需写出命题出命题P P的逆命题的逆否命题即可的逆命题的逆否命题即可, ,所以命题所以命题P P的否命题的否命题是是“若实数若实数a,ba,b满足满足a+b4,a+b4,则则a1a1或或b2b2”. .答案答案: :若实数若实数a,ba,b满足满足a+b4,a+b4,则则a1a1或或b2b2【延伸探究【延伸探究】1.1.本例本例1 1中若命题中若命题R R的逆否命题是的逆否命题是S,S,那么命题那么命题S S与命题与命题P P的关系是什么的关系是什么? ?【解析【解析】根据四种命题间的关系根据四种命题间的关系,S,S与与P P间的关系应是同间的关系应是同一命题一命题. .2.2.本例本例1 1中中, ,条件不变条件不变, ,改为判断改为判断R R的真假的真假? ?【解析【解析】原命题原命题P P为真命题为真命题, ,由例由例1.1.知知R R与与P P互为逆否命互为逆否命题题, ,所以命题所以命题R R为真命题为真命题. .【方法技巧【方法技巧】判断四种命题之间四种关系的两种方法判断四种命题之间四种关系的两种方法方法一方法一: :利用四种命题的定义判断利用四种命题的定义判断; ;方法二方法二: :可以巧用可以巧用“逆、否逆、否”两字进行判断两字进行判断, ,如如“逆命逆命题题”与与“逆否命题逆否命题”中不同有中不同有“否否”字字, ,是互否关系是互否关系; ;而而“逆命题逆命题”与与“否命题否命题”中不同有中不同有“逆、否逆、否”二字二字, ,其关系为逆否关系其关系为逆否关系. .【补偿训练【补偿训练】已知命题已知命题p:p:若若x=-1,x=-1,则向量则向量a=(-1,x)=(-1,x)与与b=(x+2,x)=(x+2,x)垂直垂直, ,则在命题则在命题p p的原命题、逆命题、否命题、的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中逆否命题中, ,真命题的个数为真命题的个数为_._.【解析【解析】当当x=-1x=-1时时, ,ab=-1=-11+(-1)1+(-1)2 2=0,=0,所以所以abab, ,所所以原命题和逆否命题是真命题以原命题和逆否命题是真命题, ,当当ab时有时有-(x+2)+ -(x+2)+ x x2 2=0,=0,所以所以x=-1,2,x=-1,2,所以逆命题和否命题为假命题所以逆命题和否命题为假命题. .答案答案: :2 2类型二类型二等价命题在证明中的应用等价命题在证明中的应用【典例【典例】判断命题判断命题“已知已知a,xa,x为实数为实数, ,若关于若关于x x的不等式的不等式x x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+20+20的解集是空集的解集是空集, ,则则a2a0,4a-70,即抛物线与即抛物线与x x轴有交点轴有交点, ,所以关于所以关于x x的不等式的不等式x x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+20+20的解集不是空集的解集不是空集, ,故原命题的逆否故原命题的逆否命题为真命题为真. .方法二方法二: :先判断原命题的真假如下先判断原命题的真假如下: :因为因为a,xa,x为实数为实数, ,关于关于x x的不等式的不等式x x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+20+20的的解集为空集解集为空集, ,所以所以=(2a+1)=(2a+1)2 2-4(a-4(a2 2+2)=4a-70.+2)=4a-70.所以所以a 2.a 2.所以原命题是真命题所以原命题是真命题. .因为互为逆否命题的两个命题同真同假因为互为逆否命题的两个命题同真同假, ,所以原命题的所以原命题的逆否命题为真命题逆否命题为真命题. .【延伸探究【延伸探究】1.1.判断命题判断命题“已知已知a,xa,x为实数为实数, ,若关于若关于x x的不等式的不等式x x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+20+20的解集是空集的解集是空集, ,则则a2a2”的逆命题的的逆命题的真假真假. .【解析【解析】原命题的逆命题为原命题的逆命题为“已知已知a,xa,x为实数为实数, ,若若a2,a2,则关于则关于x x的不等式的不等式x x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+20+20的解集是空集的解集是空集”. .判断真假如下判断真假如下: :抛物线抛物线y=xy=x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+2+2的开口向上的开口向上, ,判别式判别式=(2a+1)=(2a+1)2 2-4(a-4(a2 2+2)=4a-7,+2)=4a-7,因为因为a2,a2,所以所以4a-71,4a-71,当当0101时时, ,抛物线与抛物线与x x轴有交点轴有交点, ,当当00+20的解集是的解集是R,R,则则a a0+20的解的解集为集为R,R,且抛物线且抛物线y=xy=x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+2+2的开口向上的开口向上, ,所以所以=(2a+1)=(2a+1)2 2-4(a-4(a2 2+2)=4a-70.+2)=4a-70.所以所以a .a .所以原命题是真命题所以原命题是真命题. .因为互为逆否命题的两个命题同真同假因为互为逆否命题的两个命题同真同假, ,所以原命题的逆否命题为真命题所以原命题的逆否命题为真命题. .【方法技巧【方法技巧】“正难则反正难则反”的处理原则的处理原则(1)(1)当原命题的真假不易判断当原命题的真假不易判断, ,而逆否命题较容易判断而逆否命题较容易判断真假时真假时, ,可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假真假. .(2)(2)在证明某一个命题的真假性有困难时在证明某一个命题的真假性有困难时, ,可以证明它可以证明它的逆否命题为真的逆否命题为真( (假假) )命题命题, ,来间接地证明原命题为真来间接地证明原命题为真( (假假) )命题命题. .(3)(3)四种命题中四种命题中, ,原命题与其逆否命题是等价的原命题与其逆否命题是等价的, ,有相同有相同的真假性的真假性, ,否命题与其逆命题也是互为逆否命题否命题与其逆命题也是互为逆否命题, ,解题解题时不要忽视时不要忽视. .【拓展延伸【拓展延伸】反证法与逆否证法的异同反证法与逆否证法的异同相同点相同点: :(1)(1)依据相同依据相同, ,都是利用原命题与逆否命题的等价性都是利用原命题与逆否命题的等价性. .(2)(2)起步相同起步相同, ,都是从非都是从非q(q(即否定结论即否定结论) )出发出发. .(3)(3)思想相同思想相同, ,都是正难则反的数学思想都是正难则反的数学思想. .不同点不同点: :(1)(1)目的不同目的不同, ,反证法否定结论的目的是推出矛盾反证法否定结论的目的是推出矛盾, ,而逆而逆否证法否定结论的目的是推出否证法否定结论的目的是推出“非非p p”( (即否定条件即否定条件).).(2)(2)本质不同本质不同, ,逆否证法实质是证明一个新命题成立逆否证法实质是证明一个新命题成立, ,而而反证法是把否定的结论作为新的条件连同原有的条件反证法是把否定的结论作为新的条件连同原有的条件进行逻辑推理进行逻辑推理, ,直至推出矛盾直至推出矛盾, ,从而肯定原命题的结论从而肯定原命题的结论. .【补偿训练【补偿训练】1.(20161.(2016揭阳高二检测揭阳高二检测) )已知函数已知函数f(xf(x) )在在(-,+)(-,+)上是增函数上是增函数,a,bR,a,bR. .对于命题对于命题“若若a+b0,a+b0,则则f(a)+f(b)f(-a)+f(-bf(a)+f(b)f(-a)+f(-b) )”有如下结论有如下结论:其逆命题为真其逆命题为真;其否命题为真其否命题为真;其逆否命题为真其逆否命题为真;其逆命题和否命题有且只有一个为真其逆命题和否命题有且只有一个为真. .其中正确的命题其中正确的命题结论个数为结论个数为( () )A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4【解析【解析】选选C.C.先判断原命题先判断原命题: :因为因为a+b0,a+b0,所以所以a-b,ba-b,b-a,-a,由于由于f(xf(x) )为增函数为增函数, ,所以所以f(a)f(-b),f(b)f(-af(a)f(-b),f(b)f(-a),),所以所以f(a)+f(b)f(-a)+f(-bf(a)+f(b)f(-a)+f(-b).).故原命题为真故原命题为真, ,根据互根据互为逆否命题的两个命题真假性相同可知为逆否命题的两个命题真假性相同可知, ,其逆否命题为其逆否命题为真真. .下面判断否命题下面判断否命题: :若若a+ba+b0,0,则则f(a)+f(b)f(-a)+f(-bf(a)+f(b)f(-a)+f(-b),),由由a+ba+b00可得可得a-b,a-b,可得可得f(a)f(-bf(a)f(-b),),由由b-ab-a可得可得f(bf(b)f(-a),)f(-a),所以所以,f(a)+f(b)f(-a)+f(-b,f(a)+f(b)0,m0,则关于则关于x x的方程的方程x x2 2+x-m=0+x-m=0有实数有实数根根”, ,试写出它的否命题、逆命题和逆否命题试写出它的否命题、逆命题和逆否命题, ,并分别并分别判断它们的真假判断它们的真假. .【解析【解析】否命题为否命题为“若若m0,m0,则关于则关于x x的方程的方程x x2 2+x-m=0+x-m=0没有实数根没有实数根”; ;逆命题为逆命题为“若关于若关于x x的方程的方程x x2 2+x-m=0+x-m=0有实数根有实数根, ,则则m0m0”; ;逆否命题为逆否命题为“若关于若关于x x的方程的方程x x2 2+x-m=0+x-m=0没有实数根没有实数根, ,则则m0m0”. .由题意知由题意知=1+4m0,=1+4m0,即即m- m- 时时, ,方程有实数根方程有实数根. .所以所以m0m0使使1+4m0,1+4m0,方程方程x x2 2+x-m=0+x-m=0有实数根有实数根, ,所以原命题为真所以原命题为真, ,从而逆否命题为真从而逆否命题为真. .但方程但方程x x2 2+x-m=0+x-m=0有实根有实根, ,只需只需m- ,m- ,不能推出不能推出m0,m0,故逆故逆命题为假命题为假, ,否命题为假否命题为假. .自我纠错自我纠错对命题否定的理解对命题否定的理解【典例【典例】(2016(2016广州高二检测广州高二检测) )“a a2 2+b+b2 200”的含义是的含义是( )( )A.a,bA.a,b不全为不全为0 0B.a,bB.a,b全不为全不为0 0C.a,bC.a,b至少一个为至少一个为0 0D.aD.a不为不为0 0且且b b为为0,0,或或b b不为不为0 0且且a a为为0 0【失误案例【失误案例】分析解题过程分析解题过程, ,找出错误之处找出错误之处, ,并写出正确答案并写出正确答案. .提示提示: :错误的根本原因在于对错误的根本原因在于对a,ba,b全为全为0 0的否定理解偏差的否定理解偏差, ,考虑不全面考虑不全面. .正确解答过程如下正确解答过程如下: :【解析【解析】选选A.A.方法一方法一: :由由a a0 0或或b b0 0说明说明a,ba,b不全为不全为0.0.方法二方法二: :若若a=b=0,a=b=0,则则a a2 2+b+b2 2=0,=0,所以原命题为真所以原命题为真, ,则则a,ba,b不不全为全为0.0.