第第7章章 矩阵特征值问题矩阵特征值问题1. Householder1. Householder变换与矩阵的正交分解变换与矩阵的正交分解一、初等反射阵一、初等反射阵(Householder(Householder变换阵变换阵) )H阵的性质：阵的性质：WH阵的作用：阵的作用：W构造初等反射阵构造初等反射阵可构造初等反射阵可构造初等反射阵2 2、矩阵的正交分解、矩阵的正交分解 2、QR分解的实际计算分解的实际计算 用用Householder变换对变换对A作作QR分解分解 3. 3. 求矩阵全部特征值的求矩阵全部特征值的QR方法方法 6060年代出现的年代出现的QRQR算法是目前计算中小型矩阵的算法是目前计算中小型矩阵的全部特征值与特征向量的最有效方法。全部特征值与特征向量的最有效方法。 理论依据：理论依据：任一非奇异实矩阵都可分解成一个正交矩阵任一非奇异实矩阵都可分解成一个正交矩阵Q Q和一个和一个上三角矩阵上三角矩阵R R的乘积，而且当的乘积，而且当R R的对角元符号取定时，的对角元符号取定时，分解是唯一的。分解是唯一的。 可证，在一定条件下，基本可证，在一定条件下，基本QRQR方法产生的矩方法产生的矩阵序列阵序列A Ak k “基本基本”收敛于一个上三角阵（或收敛于一个上三角阵（或分块上三角阵）。即主对角线（或主对角线子块）分块上三角阵）。即主对角线（或主对角线子块）及其以下元素均收敛，主对角线（或主对角线子及其以下元素均收敛，主对角线（或主对角线子块）以上元素可以不收敛。特别的，如果块）以上元素可以不收敛。特别的，如果A A是实对是实对称阵，则称阵，则A Ak k “基本基本”收敛于对角矩阵。收敛于对角矩阵。平面旋转阵平面旋转阵(Givens(Givens变换阵变换阵) )、用、用 GivensGivens变换对变换对上上Hessenberg阵作阵作QR分解分解