第一章第一章 函数函数、极限与连续极限与连续第一节第一节 函数函数第二节第二节 极限的概念极限的概念 第三节第三节 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量第四节第四节极限的性质与运算法则极限的性质与运算法则第五节第五节两个重要极限两个重要极限第六节第六节函数的连续性函数的连续性第一节第一节 函数函数函数的概念函数的概念一对一一对一几对一几对一对对应应法法则则定义域定义域值域值域表示法：表示法：解析法解析法表格法表格法图像法图像法分段函数的定义域为各段落有意义区域的并集。分段函数的定义域为各段落有意义区域的并集。函数的定义域函数的定义域分式，分母必须不等于零；分式，分母必须不等于零；偶次根式，被开方式必须大于等于零；偶次根式，被开方式必须大于等于零；对数，真数必须大于零；对数，真数必须大于零；正切符号下的式子必须不等于（），正切符号下的式子必须不等于（），余切符号下的式子必须不等于（）；余切符号下的式子必须不等于（）；反正弦符号下的式子的绝对值必须小于等于反正弦符号下的式子的绝对值必须小于等于1，反余弦符号下的式子的绝对值必须小于等于反余弦符号下的式子的绝对值必须小于等于1；表达式中同时有以上几种情况，需同时考虑，并表达式中同时有以上几种情况，需同时考虑，并求它们的交集；求它们的交集； 例例求下列函数的定义域求下列函数的定义域.函数函数函数有定函数有定义义的条件的条件定定义义域域或或例例求函数求函数值值 函数函数值值 函数函数函函数数性性质质有界性有界性 奇偶性奇偶性 单调性单调性 周期性周期性 偶函数偶函数奇函数奇函数两非两非函数函数函数在区间函数在区间复合函数复合函数 例指出下列复合函数是由那些例指出下列复合函数是由那些简单简单函数复合而成的。函数复合而成的。函数函数复合复合过过程程，( 为为任意任意实实数）数）基基本本初初等等函函数数初等函数初等函数由基本初等函数经过由基本初等函数经过有限次有限次的的四则运算四则运算或或有限次有限次的的复合复合运算所构成，并可用运算所构成，并可用一个式子一个式子表示的函数叫表示的函数叫初等函数初等函数。邻域邻域思考题思考题如何用初等函数表示如何用初等函数表示第二节第二节 极限的概念极限的概念极限极限判断，当时，极判断，当时，极限是否存在限是否存在.当时，不趋近于确定的常数，极限不存在当时，不趋近于确定的常数，极限不存在.当时，不趋近于唯一的常数，极限不存在当时，不趋近于唯一的常数，极限不存在.不存不存在在不存在不存在不存在不存在不存在不存在不存在不存在不存在不存在不存在不存在例例已知，求已知，求解解?例例已知，求已知，求解解不存在不存在第三节第三节 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量无穷大量无穷小量无穷大量无穷小量称为的称为的无穷大量无穷大量当时当时称为的负称为的负无穷大量无穷大量当时当时称为的正称为的正无穷大量无穷大量当时当时称为的称为的无穷大量无穷大量当时当时称为的称为的无穷大量无穷大量当时当时正正称为的称为的无穷小量无穷小量当时当时称为的称为的无穷小量无穷小量当时当时称为的称为的无穷小量无穷小量当时当时称为的称为的无穷小量无穷小量当时当时注意：注意：不存在不存在两个无穷大量的和、差、商不一定是无穷大量两个无穷大量的和、差、商不一定是无穷大量有界函数与无穷小量的积是无穷小量有界函数与无穷小量的积是无穷小量无穷大量的倒数是无穷小量无穷大量的倒数是无穷小量无穷小量的倒数是无穷大量无穷小量的倒数是无穷大量例如例如第四节第四节 极限的性质与运算法则极限的性质与运算法则极限的四则运算法则极限的四则运算法则连续连续练习：练习：第五节第五节 两个重要极限两个重要极限1.极限类型：极限类型：两个重要极限两个重要极限特点：特点：例如例如例例 求下列极限求下列极限2、极限类型：特点：例例用第二个重要极限计算下列极限用第二个重要极限计算下列极限3、极限、极限运算运算举例举例1、几个常见极限、几个常见极限（2）（1）若函数在处连续，则若函数在处连续，则，（3）（4）及及不存在不存在。（5），（6）（7） ； 23( )第六节第六节 函数的连续性函数的连续性函数的连续性函数的连续性函数在函数在点处有定义点处有定义函数在函数在点处点处连续连续连续点连续点左连续左连续右连续右连续例例讨论函数讨论函数在处的连续性在处的连续性因为函数在的任一邻域内有因为函数在的任一邻域内有定义，且定义，且解解所以函数在处连续所以函数在处连续例例讨论函数讨论函数在处的连续性在处的连续性解解因为函数的定义域为，因为函数的定义域为，所以函数在的任一邻域内有定义，且所以函数在的任一邻域内有定义，且即即所以函数在处连续所以函数在处连续例例讨论函数讨论函数在处的在处的连续性连续性解解显然函数在的任一邻域内有定义，且显然函数在的任一邻域内有定义，且所以函数在处不连续所以函数在处不连续自变量的自变量的改变量改变量函数的改函数的改变量变量函数在函数在点处有定义点处有定义函数在函数在点处点处连续连续例例讨论函数讨论函数在处的连续性在处的连续性解解 因为函数在的任一邻域内有因为函数在的任一邻域内有定义，且定义，且显然显然所以函数在处连续所以函数在处连续间断点间断点函数在函数在点处没有定义点处没有定义但但满足下列条件之一的，即为间断点满足下列条件之一的，即为间断点例如例如在处在处在处在处在处在处间断间断可去可去间断间断跳跃跳跃间断间断可去可去在处在处间断间断无穷无穷在处在处间断间断第二类第二类例例求下列函数的连续区间求下列函数的连续区间解解连续与极限之间的关系连续与极限之间的关系函数在函数在点处点处极限存在极限存在函数在函数在点处点处连续连续，但，但在处连续在处连续连续函数的性质连续函数的性质连续函数的和、差、积、商及连续函数的和、差、积、商及复合后的函数都是连续函数复合后的函数都是连续函数 初等函数在其定义域内是连续的初等函数在其定义域内是连续的 连续函数求极限连续函数求极限 原函数及其反函数具有相同的增减性与连续性原函数及其反函数具有相同的增减性与连续性闭区间上的连续函数闭区间上的连续函数定义定义函数在上连续函数在上连续闭区间上的连续函数的性质闭区间上的连续函数的性质闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值若区间内有间断点若区间内有间断点, ,定理不一定成立定理不一定成立注意注意若区间是开区间若区间是开区间, ,定理不一定成立定理不一定成立二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理几何解释几何解释: :证证由零点定理由零点定理,例例