1.3.2 函数极值与导数函数极值与导数 知识回顾知识回顾: :如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ,则则 为常数为常数.用用“导数法导数法” 求单调区间的步骤求单调区间的步骤: :注意：注意：函数函数定义域定义域求求令令求单调区间求单调区间问题：如图表示高台跳水运动员的高度问题：如图表示高台跳水运动员的高度 随时间随时间 变化的函数变化的函数 的图象的图象 单调递增单调递增单调递减单调递减归纳归纳: 函数函数 在点在点 处处 ,在在 的附近的附近, 当当 时时,函数函数h(t)单调递增，单调递增， ; 当当 时时,函数函数h(t)单调递减单调递减, 。 （3 3）在点）在点 附近附近, , 的导数的符号有的导数的符号有 什么规律什么规律? ? （1）函数）函数 在点在点 的函数值与这些点的函数值与这些点 附近的函数值有什么关系附近的函数值有什么关系?（2 2）函数）函数 在点在点 的导数值是多少的导数值是多少? ?(图一图一)问题：问题：(图二图二)(图一图一)(图二图二)极大值极大值f(b)点点a为函数为函数y=f(x)的的极小值点极小值点，f(a)叫做函数叫做函数y=f(x)的的极小值极小值.点点b为函数为函数y=f(x)的的极大值点极大值点，f(b)叫做函数叫做函数y=f(x)的的极大值极大值.极小值点极小值点、极大值点极大值点统称统称极值点极值点，极大值极大值和和极小值极小值统称为统称为极值极值.极小值极小值f(a)思考：思考：极大值一定大于极小值吗？极大值一定大于极小值吗？ （1 1）如）如图是函数是函数 的的图象象, ,试找出函数找出函数的极的极值点点, ,并指出哪些是极大并指出哪些是极大值点点, ,哪些是极小哪些是极小值点？点？（2）如果把函数图象改为导函数）如果把函数图象改为导函数 的的图象象? ?答：答：1、x1,x3,x5,x6是函数是函数y=f(x)的极值点，其中的极值点，其中x1,x5是是函数函数y=f(x)的极大值点，的极大值点，x3,x6函数函数y=f(x)的极小值点。的极小值点。2、x2,x4是函数是函数y=f(x)的极值点的极值点,其中其中x2是函数是函数y=f(x)的极大值点，的极大值点，x4是函数是函数y=f(x)的极小值点。的极小值点。 下面分两种情况下面分两种情况讨论: : （1 1）当）当 ，即，即x x2,2,或或x x-2-2时时; ;（2）当）当 ，即，即-2 x2时。时。例例4：求函数求函数 的极值的极值. 解解: :当当x x变化时，变化时， 的变化情况如下表：的变化情况如下表： 当当x=-2x=-2时, , f(xf(x) )的极大的极大值为 令令解得解得x=2,或或x=-2.当当x=2时时, f(x)的极小值为的极小值为n探索探索: x =0是否为函数是否为函数f(x)=x3的极值点的极值点?x yOf (x) x3v 若若寻寻找找可可导导函函数数极极值值点点,可可否否只由只由f (x)=0 0求得即可求得即可? ? f (x)=3=3x2 2 当当f (x)=0=0时，时，x =0=0，而，而x =0=0不是不是该函数的极值点该函数的极值点. .f (x0) =0 =0 x0 是可导函数是可导函数f(x)的极值点的极值点 x0左右侧导数异号左右侧导数异号 x0 是函数是函数f(x)的极值点的极值点 f (x0) =0=0注意：注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件（2）如果在）如果在 附近的左附近的左侧 ，右，右侧 ， 那么那么 是极小是极小值归纳：求函数求函数y=f(x)极极值的方法是的方法是:（1）如果在）如果在 附近的左附近的左侧 ，右，右侧 ， 那么那么 是极大是极大值；解方程解方程 ，当当 时：练习：练习： 下列结论中正确的是（下列结论中正确的是（ ）。）。 A、导数为零的点一定是极值点。、导数为零的点一定是极值点。 B、如果在、如果在x0附近的左侧附近的左侧f(x)0,右侧右侧f(x)0, 那么那么 f(x0)是极大值。是极大值。 C、如果在、如果在x0附近的左侧附近的左侧f(x)0,那么那么f(x0)是极大值。是极大值。 、极大值一定大于极小值。、极大值一定大于极小值。B0xy(最好通过列表法最好通过列表法)巩固练习巩固练习：求函数求函数 的极值的极值 当当 时时, 有极大值，并且极大值为有极大值，并且极大值为当当 时, , 有极小有极小值，并且极小，并且极小值为 解解: : 令令 ，得，得 ，或，或 下面分两种情况讨论：下面分两种情况讨论：（1）当）当 ，即，即 时；时；（2）当）当 ，即，即 ，或，或 时。时。当当 变化时，变化时， 的变化情况如下表：的变化情况如下表：思考：思考：已知函数已知函数 在在 处取得处取得极值。极值。（1）求函数）求函数 的解析式（的解析式（2）求函数）求函数 的单调区间的单调区间解：解：（1） 在在 取得极值取得极值, 即即 解得解得 （2） ， 由由 得得 的单调增区间为的单调增区间为 由由 得得 的单调减区间为的单调减区间为 函数函数 在在 时有极有极值1010，则a，b的的值为（ ）A A、 或或 B B、 或或C C、 D D、 以上都不对以上都不对 C，解解:由由题设条件得：条件得：解之得解之得注意：注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件注意代注意代入检验入检验 课堂小结课堂小结: 一、方法一、方法: (1)确定函数的定义域确定函数的定义域(2)求导数求导数f(x)(3)求方程求方程f(x) =0的全部解的全部解(4)检查检查f(x)在在f(x) =0的根左的根左.右两边值的符号右两边值的符号,如果左正如果左正右负右负(或左负右正或左负右正),那么那么f(x)在这个根取得极大值或极小在这个根取得极大值或极小值值二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数的极值，并能应用函数的极值解决函数的一些问题的极值，并能应用函数的极值解决函数的一些问题 作业：作业： P32 5 今天我们学习函数的极值今天我们学习函数的极值,并利用导数求函数的极值并利用导数求函数的极值 （2006年天津卷年天津卷)函数函数 的定义域为开区间的定义域为开区间导函数函数 在在 内的内的图像如像如图所示，所示，则函数函数在开区在开区间 内有（内有（ ）个极小）个极小值点。点。 A.1 B.2 C.3 D. 4Af (x) 0f (x) =0注意：注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别数形结合以及原函数与导函数图像的区别