24.2 直线和圆的位置关系第2课时 切线的性质与判定导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.（重点）3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.（难点）学习目标砂轮上打磨工件时飞出的火星右图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？导入新课导入新课情境引入ABC问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？观察：（1） 圆心O到直线AB的距离 和圆的半径有什么数量关系?（2)二者位置有什么关系？为什么？讲授新课讲授新课切线的判定定理一经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.OA为为 O的半径BCBC OA于ABCBC为为 O的切线ABC 切线的判定定理应用格式知识要点判一判：下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？O.AO.ABAO(1)(2)(3)(1)不是，因为没有垂直.(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A. 在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.注意判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;要点归纳2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。lAlOlrd例1 已知：直线AB经过 O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是 O的切线.O OB BA AC C分析：由于AB过 O上的点C，所以连接OC，只要证明ABOC即可. 证明：连接OC(如图). . OAOB,CACB, OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线. . ABOC. OC是 O的半径, AB是 O的切线. .典例精析 例2 如图,ABC 中，AB AC ，O 是BC中点，O 与AB 相切于E.求证：AC 是O 的切线BOCEA分析：根据切线的判定定理，要证明AC是O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是O的半径就可以了，而OE是O的半径，因此只需要证明OF=OE.F证明：证明：连接OE ，OA, 过O 作OF AC.O 与AB 相切于E ， OE AB.又ABC 中，AB AC ，O 是BC 中点AO 平分BAC，FBOCEAOE OF.OE 是 O 半径，OF OE，OF AC.AC 是 O 的切线又又OE AB ，OFAC.如图，已知直线AB经过O上的点C，并且OAOB，CACB求证：直线AB是O的切线.CBAO如图，OAOB=5，AB8, O的直径为6.求证：直线AB是O的切线.CBAO对比思考作垂直连接方法归纳思考：如图，如果直线l是 O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？AlO直线l是 O 的切线，A是切点，直线l OA.切线的性质定理二 切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径 应用格式 小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.（1）假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M,（2）则OMOA,即圆心到直线CD的距离小于 O的半径,因此,CD与 O相交.这与已知条件“直线与 O相切”相矛盾.CDBOA（3）所以AB与CD垂直.M证法1：反证法. 性质定理的证明CDOA证法2：构造法.作出小 O的同心圆大 O，CD切小O于点A,且A点为CD的中点，连接OA,根据垂径定理，则CD OA,即圆的切线垂直于经过切点的半径1.如图：在O中，OA、OB为半径，直线MN与O相切于点B，若ABN=30，则AOB= .2.如图AB为O的直径，D为AB延长线上一点，DC与O相切于点C，DAC=30， 若O的半径长1cm，则CD= cm.60练一练方法总结 利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题. 1.判断下列命题是否正确. 经过半径外端的直线是圆的切线. 垂直于半径的直线是圆的切线. 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是 圆的切线. 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.（）（）（ ）（ ）（ ）当堂练习当堂练习3.如图，在O的内接四边形ABCD中，AB是直径，BCD=120，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则ADP的度数为（ ）A40 B35 C30 D452.如图所示，A是O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与O的位置关系是 .APO第2题PO第3题DABC相切相切C4.如图，已知AB是 O的切线，半径OC的延长线与AB相交于点B，且OC=BC。（1）求证： AC= OB.（2）求B的度数.【方法提示】不需要辅助线时，常利用直角三角形的性质来解题. 证明：连接OP. AB=AC,B=C. OB=OP，B=OPB， OBP=C. OPAC. PEAC， PEOP. PE为O的切线.5.如图,ABC中，AB=AC，以AB为直径的 O交边BC于P， PEAC于E. 求证:PE是 O的切线.O OA AB BC CE EP P证明：作OEAB于EAB是O的切线.6.如图，O的半径为8厘米，圆内的弦AB为 厘米，以O为圆心，4厘米为半径作小圆.求证：小圆与直线相切。则AE=BE连结OAAB=AE=又小O半径为4厘米OE等于小圆半径E作垂直作垂直 证半径证半径拓展提升：已知：ABC内接于 O，过点A作直线EF.（1）如图1，AB为直径，要使EF为 O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）： _ ； _ .（2）如图2，AB是非直径的弦，CAE=B，求证：EF是 O的切线.BAEFCAE=B证明：连接AO并延长交O于D,连接CD,则AD为O的直径. D+ DAC=90 , D与B同对 , D= B,又 CAE= B, D= CAE, DAC+ EAC=90,EF是O的切线.AFEOAFEOBCBC图1图2切 线 的判定方法定义法数量关系法判定定理1个公共点，则相切d=r，则相切经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切 线 的性质证切线时常用辅助线添加方法： 有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径.有1个公共点d= r性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径有切线时常用辅助线添加方法： 见切线，连切点，得垂直.课堂小结课堂小结