第七章第七章 协方差分析协方差分析 第一节第一节 协方差分析的意义协方差分析的意义下一张下一张 主主 页页 退退 出出 第七章第七章 协方差分析协方差分析 在科研中，实验效应除了受到处理因在科研中，实验效应除了受到处理因素的作用外，尚受到许多非处理因素的影素的作用外，尚受到许多非处理因素的影响。如在研究临床疗效时，疗效的好坏不响。如在研究临床疗效时，疗效的好坏不仅与治疗措施有关，还受病人的年龄、性仅与治疗措施有关，还受病人的年龄、性别、病情、心理、环境、社会等因素的影别、病情、心理、环境、社会等因素的影响。响。第七章第七章 协方差分析协方差分析药物临床疗效研究药物临床疗效研究疗效疗效药物药物病情病情心心理理因因素素患者的状况（性别、年龄患者的状况（性别、年龄其他因其他因素素混杂因混杂因素素举举 例例第七章第七章 协方差分析协方差分析各组间的效应进行比较，必须保持组间的各组间的效应进行比较，必须保持组间的影响因素（混杂因素的比例）相同，组间影响因素（混杂因素的比例）相同，组间才具有可比性。才具有可比性。 T + S1 e + s1 （实验组）（实验组） S2 s2 （对照组）（对照组） T e处理因素处理因素混杂因素混杂因素（在设计阶段控制混杂因素的方法）（在设计阶段控制混杂因素的方法）第七章第七章 协方差分析协方差分析 在混杂因素中，有些是在混杂因素中，有些是难以完全控制难以完全控制的，的，如如, ,天气变化，饲料的进食量；有些是天气变化，饲料的进食量；有些是可以控可以控制制的，如年龄，动物的初始体重。的，如年龄，动物的初始体重。 可以控制的混杂因素：可以控制的混杂因素：最好在设计阶段（也可在分析阶段）进行控制。难以控制的混杂因素：难以控制的混杂因素：在分析阶段进行控制。第七章第七章 协方差分析协方差分析常见的实例常见的实例（1）比较不同施肥量对果树单株产量的影）比较不同施肥量对果树单株产量的影响，果树起始干周是混杂因素。响，果树起始干周是混杂因素。（2）比较两种药物治疗高血压的疗效，年）比较两种药物治疗高血压的疗效，年龄是一个混杂因素。龄是一个混杂因素。（3）研究不同饲料对动物增加体重的作用）研究不同饲料对动物增加体重的作用时，动物的初始体重、进食量等因素。时，动物的初始体重、进食量等因素。（4） 第七章第七章 协方差分析协方差分析在分析阶段控制混杂因素的方法：在分析阶段控制混杂因素的方法：1、采用分层分析：如把年龄分组，再比较、采用分层分析：如把年龄分组，再比较同一年龄组的正常体重与超重组有无差别。同一年龄组的正常体重与超重组有无差别。（适用：（适用：计量、计数资料）计量、计数资料）2、协方差分析（适用：、协方差分析（适用：计量资料）计量资料）3、多因素分析（适用：、多因素分析（适用：计量、计数资料计量、计数资料）第七章第七章 协方差分析协方差分析协方差分析协方差分析(analysis of covariance，ANCOVA) 将线性回归与方差分析结合起来，检将线性回归与方差分析结合起来，检验两组或多组修正均数间有无差异的一种验两组或多组修正均数间有无差异的一种统计方法，用于消除混杂因素对分析指标统计方法，用于消除混杂因素对分析指标的影响。的影响。 协变量：协变量：在进行协方差分析时，混杂因素在进行协方差分析时，混杂因素统称为统称为协变量。协变量。 第七章第七章 协方差分析协方差分析协方差分析的基本思想：协方差分析的基本思想： 在作两组或多组均数在作两组或多组均数 ， ， 的假的假设检验前，用线性回归分析方法找出协变量设检验前，用线性回归分析方法找出协变量X X与各组与各组Y Y之间的数量关系，求得在假定之间的数量关系，求得在假定X X相相等时修定均数等时修定均数 ， ， ，然后用方差分析，然后用方差分析比较修正均数间的差别，这就是协方差分析比较修正均数间的差别，这就是协方差分析的基本思想。的基本思想。第七章第七章 协方差分析协方差分析协方差分析的应用条件协方差分析的应用条件要求各组资料都来自正态总体，且各组的方要求各组资料都来自正态总体，且各组的方差相等；（差相等；（t t检验或方差分析的条件）检验或方差分析的条件）各组的总体回归系数各组的总体回归系数ii相等，且都不等于相等，且都不等于0 0（回归方程检验）。（回归方程检验）。 因此，应用协方差分析前，要对资料进行因此，应用协方差分析前，要对资料进行方差齐性检验方差齐性检验和和回归系数的假设检验（斜率同回归系数的假设检验（斜率同质性检验）质性检验），只有满足上述两个条件之后才能，只有满足上述两个条件之后才能应用，否则不宜使用。应用，否则不宜使用。 第七章第七章 协方差分析协方差分析协方差分析的应用条件协方差分析的应用条件 各比较组协变量各比较组协变量X与分析指标与分析指标Y存在线性存在线性关系（按直线回归分析方法进行判断）。关系（按直线回归分析方法进行判断）。各比较组的总体回归系数各比较组的总体回归系数i相等，即各直相等，即各直线平行线平行(绘出回归直线，看是否平行绘出回归直线，看是否平行)。 第七章第七章 协方差分析协方差分析两条回归直线不平行两条回归直线不平行结论：结论：本资本资料不料不宜做宜做协方协方差分差分析析第七章第七章 协方差分析协方差分析三条回归直线基本平行三条回归直线基本平行结论：结论：本资本资料可料可以做以做协方协方差分差分析析各回归系数不各回归系数不为零为零第七章第七章 协方差分析协方差分析不满足条件时的处理方法不满足条件时的处理方法 X与与Y不满足线性关系时，通常情况下是不满足线性关系时，通常情况下是对对X或或Y或两者作适当的变量变换，使之符合或两者作适当的变量变换，使之符合线性关系。线性关系。 第七章第七章 协方差分析协方差分析协方差分析适用的资料协方差分析适用的资料协方差分析可用于：协方差分析可用于：完全随机设计、随机区组设计、拉丁方设计、完全随机设计、随机区组设计、拉丁方设计、析因设计等资料；析因设计等资料；协变量协变量X X可以仅有一个，称一元协方差分析；可以仅有一个，称一元协方差分析；协变量协变量也可以有多个，称多元协方差分析。也可以有多个，称多元协方差分析。 第七章第七章 协方差分析协方差分析 协方差分析有二个意义协方差分析有二个意义 ， 一是对试验进行一是对试验进行统计控制，二是对协方差组分进行估计，现分述统计控制，二是对协方差组分进行估计，现分述如下。如下。 一、对试验进行统计控制一、对试验进行统计控制 为了提高试验的精确性和准确性为了提高试验的精确性和准确性 ，对处理，对处理以外的一切条件都需要采取有效措施严加控制，以外的一切条件都需要采取有效措施严加控制，使它们在各处理间尽量一致，这叫使它们在各处理间尽量一致，这叫试验控制试验控制。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第七章第七章 协方差分析协方差分析 但在有些情况下，即使作出很大努力也难以但在有些情况下，即使作出很大努力也难以使试验控制达到预期目的。例如：使试验控制达到预期目的。例如： 研究几种配合饲料对猪的增重效果，希望试研究几种配合饲料对猪的增重效果，希望试验仔猪的初始重相同，因为仔猪的初始重不同，验仔猪的初始重相同，因为仔猪的初始重不同，将影响到猪的增重。经研究发现：增重与初始重将影响到猪的增重。经研究发现：增重与初始重之间存在线性回归关系。但是，在实际试验中很之间存在线性回归关系。但是，在实际试验中很难满足试验仔猪初始重相同这一要求。难满足试验仔猪初始重相同这一要求。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第七章第七章 协方差分析协方差分析n n这时可利用仔猪的初始重这时可利用仔猪的初始重(记为记为x)与其增重与其增重(记为记为y)的回归关系，的回归关系， 将将仔猪增重都矫正仔猪增重都矫正为初始重相同时的增重为初始重相同时的增重，于是初始重不同，于是初始重不同对仔猪增重的影响就消除了。由于矫正后对仔猪增重的影响就消除了。由于矫正后的增重是应用统计方法将初始重控制一致的增重是应用统计方法将初始重控制一致而得到的，故叫而得到的，故叫统计控制统计控制。统计控制是试。统计控制是试验控制的一种辅助手段。经过这种矫正，验控制的一种辅助手段。经过这种矫正，试验误差将减小，对试验处理效应估计更试验误差将减小，对试验处理效应估计更为准确。为准确。第七章第七章 协方差分析协方差分析 若若 y 的变异主要由的变异主要由x的不同造成的不同造成(处理没有显处理没有显著效应著效应)，则各矫正后的，则各矫正后的 间将没有显著差异间将没有显著差异(但但原原y间的差异可能是显著的间的差异可能是显著的)。 若若 y的变异除掉的变异除掉x不同的影响外，不同的影响外， 尚存在不尚存在不同处理的显著效应同处理的显著效应，则可期望各，则可期望各 间将有显著差间将有显著差异异 (但原但原y间差异可能是不显著的间差异可能是不显著的)。此外，矫正。此外，矫正后的后的 和原和原y的大小次序也常不一致。的大小次序也常不一致。第七章第七章 协方差分析协方差分析n n所以，所以， 处理平均数的处理平均数的回归矫正回归矫正和和矫正平均矫正平均数数的显著性检验，能够提高试验的准确性的显著性检验，能够提高试验的准确性和精确性，从而更真实地反映试验实际。和精确性，从而更真实地反映试验实际。这种这种将回归分析与方差分析结合在一起，将回归分析与方差分析结合在一起，对试验数据进行分析的方法，叫做对试验数据进行分析的方法，叫做协方差协方差分析分析(analysis of covariance)。 第七章第七章 协方差分析协方差分析二、估计协方差组分二、估计协方差组分 在第六章曾介绍过表示两个相关变量线性相在第六章曾介绍过表示两个相关变量线性相关性质与程度的相关系数的计算公式：关性质与程度的相关系数的计算公式： 若将公式右端的分子分母同除以自由度若将公式右端的分子分母同除以自由度(n-1)，得，得 （10-1） 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第七章第七章 协方差分析协方差分析 其中其中 是是x的均方的均方MSx，它是，它是x的的 方差方差 的无偏估计量；的无偏估计量； 是是y的均方的均方MSy，它是，它是y的的 方差方差 的无偏估计量；的无偏估计量； 第七章第七章 协方差分析协方差分析 称为称为x与与y的平均的离均差的平均的离均差的乘积和，简称均积，记为的乘积和，简称均积，记为MPxy，即，即 （10-2）第七章第七章 协方差分析协方差分析 与与 均均 积积 相相 应应 的的 总总 体参体参 数数 叫叫 协协 方方 差差（covariance），记为），记为COV(x,y)或或 。统。统计学证明了，均积计学证明了，均积MPxy是总体协方差是总体协方差COV(x,y)的无偏估计量，即的无偏估计量，即 EMPxy= COV(x,y)。 于是，样本相关系数于是，样本相关系数r可用均方可用均方MSx、MSy，均积均积MPxy表示为：表示为： （10-3） 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第七章第七章 协方差分析协方差分析 相应的总体相关系数相应的总体相关系数可用可用x与与y的总体标的总体标准差准差 、 ，总体协方差，总体协方差COV(x,y)或或 表表示如下：示如下： （10-4） 第七章第七章 协方差分析协方差分析 均积与均方具有相似的形式均积与均方具有相似的形式 ， 也有相似的也有相似的性质。在方差分析中，一个变量的总平方和与自性质。在方差分析中，一个变量的总平方和与自由度可按变异来源进行剖分，从而求得相应的均由度可按变异来源进行剖分，从而求得相应的均方。统计学已证明：两个变量的总乘积和与自由方。统计学已证明：两个变量的总乘积和与自由度也可按变异来源进行剖分而获得相应的均积。度也可按变异来源进行剖分而获得相应的均积。这种这种把两个变量的总乘积和与自由度按变异来源把两个变量的总乘积和与自由度按变异来源进行剖分并获得获得相应均积的方法亦称为协方进行剖分并获得获得相应均积的方法亦称为协方差分析。差分析。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第七章第七章 协方差分析协方差分析p协方差分析是将协方差分析是将线性回归线性回归与与方差分析方差分析相结合相结合 的一种分析方法。的一种分析方法。p把对把对反应变量反应变量Y有影响的因素有影响的因素X看作协变量看作协变量， 建立建立Y对对X的线性回归，的线性回归，利用回归关系把利用回归关系把X值值 化为相等，再进行各组化为相等，再进行各组Y的修正均数间比较的修正均数间比较。p修正均数修正均数是假设各协变量取值固定在其总是假设各协变量取值固定在其总 均数时的反应变量均数时的反应变量Y的均数。的均数。p其实质是从其实质是从Y的总离均差平方和的总离均差平方和 中中 扣除协变量扣除协变量X对对Y的回归平方和的回归平方和 ，对离回归平方和对离回归平方和 作进一步分解后再进作进一步分解后再进行方差分析。行方差分析。第七章第七章 协方差分析协方差分析第第i组第组第j个观个观测值测值随机误差随机误差第第i组的组效组的组效应应一般均值一般均值方差分析的前提是除随机误差外，水平变量是影响观测值的唯一变量方差分析的前提是除随机误差外，水平变量是影响观测值的唯一变量n n首先首先,我们看看方差分析数据结构：我们看看方差分析数据结构：第七章第七章 协方差分析协方差分析观测值观测值观测值观测值= =一般均值一般均值一般均值一般均值+ +水平影响水平影响水平影响水平影响+ +协变量影响协变量影响协变量影响协变量影响+ +随机误差随机误差随机误差随机误差回归回归回归回归系数系数系数系数协变量效协变量效应应可见可见,协方差分析将方差分析与回归分析结合了起来协方差分析将方差分析与回归分析结合了起来.方差分析方差分析回归分析回归分析n n下面我们再看协方差分析数据结构（单因下面我们再看协方差分析数据结构（单因素完全随机设计试验资料的协方差分析）：素完全随机设计试验资料的协方差分析）：第七章第七章 协方差分析协方差分析第二节第二节 单因素试验资料的协方差分析单因素试验资料的协方差分析 设有设有k个处理、个处理、n次重复的双变量试验资料，次重复的双变量试验资料，每处理组内皆有每处理组内皆有n对观测值对观测值x、y，则该资料为，则该资料为具具kn对对x、y观测值的单向分组资料，其数据观测值的单向分组资料，其数据一般模式如表一般模式如表101所示。所示。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第七章第七章 协方差分析协方差分析 表表101 kn对观测值对观测值x、y的单向分组资料的的单向分组资料的 一般形式一般形式第七章第七章 协方差分析协方差分析 表表表表101101的的的的x x和和和和y y变量的自由度和平方和的剖分参变量的自由度和平方和的剖分参变量的自由度和平方和的剖分参变量的自由度和平方和的剖分参见单因素试验资料的方差分析方法一节。其乘积和的剖见单因素试验资料的方差分析方法一节。其乘积和的剖见单因素试验资料的方差分析方法一节。其乘积和的剖见单因素试验资料的方差分析方法一节。其乘积和的剖分则为：分则为：分则为：分则为： 总变异的乘积和总变异的乘积和总变异的乘积和总变异的乘积和SPSPT T是是是是x xjiji与与与与 和和和和y yjiji与与与与 的离均的离均的离均的离均差乘积之和，即：差乘积之和，即：差乘积之和，即：差乘积之和，即： (10-5) (10-5) = =knkn-1 -1 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第七章第七章 协方差分析协方差分析其中，其中，第七章第七章 协方差分析协方差分析 处理间的乘积和处理间的乘积和SPt是是 与与 和和 与与 的的离均差乘积之和乘以离均差乘积之和乘以n，即：，即： (10-6) 处理内的乘积和处理内的乘积和SPe是是 与与 和和 与与 的的离均差乘积之和，即：离均差乘积之和，即： (10-7) 第七章第七章 协方差分析协方差分析 =k(n-1) 以上是各处理重复数以上是各处理重复数n相等时的计算公式，相等时的计算公式，若各处理重复数若各处理重复数n不相等，分别为不相等，分别为n1、n2、nk，其和为，其和为 ，则各项乘积和与自由度的计，则各项乘积和与自由度的计算公式为：算公式为： (10-8) 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第七章第七章 协方差分析协方差分析 =SPT-SPt = -k =dfT-dft (10-9) 第七章第七章 协方差分析协方差分析 有了上述有了上述SP和和df，再加上，再加上x和和y的相应的相应SS，就可进行协方差分析。，就可进行协方差分析。 【例【例10.1】 为了寻找一种较好的哺乳仔猪为了寻找一种较好的哺乳仔猪食欲增进剂，以增进食欲，提高断奶重，对哺乳食欲增进剂，以增进食欲，提高断奶重，对哺乳仔猪做了以下试验：仔猪做了以下试验： 试验设对照、配方试验设对照、配方1、配方、配方2、配方、配方3共四个处理，重复共四个处理，重复12 次，选择初始次，选择初始条件尽量相近的长白种母猪的哺乳仔猪条件尽量相近的长白种母猪的哺乳仔猪48头头 ，完全随机分为完全随机分为4组进行试验，结果见表组进行试验，结果见表102，试作分析。试作分析。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第七章第七章 协方差分析协方差分析 表表102 不同食欲增进剂仔猪生长情况表不同食欲增进剂仔猪生长情况表 （单位：（单位：（单位：（单位：kgkg）下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第七章第七章 协方差分析协方差分析 此例，此例，此例，此例， =18.25+15.40+15.65+13.85=63.15 =18.25+15.40+15.65+13.85=63.15 =141.80+130.10+144.80+133.80 =141.80+130.10+144.80+133.80 =550.50 =550.50 k k=4=4，n=n=1212，knkn=412=48=412=48 第七章第七章 协方差分析协方差分析 协方差分析的计算步骤如下：协方差分析的计算步骤如下： (一一)求求x变量的各项平方和与自由度变量的各项平方和与自由度 1、总平方和与自由度、总平方和与自由度 dfT（x）=kn-1=412-1=47 第七章第七章 协方差分析协方差分析2、处理间平方和与自由度、处理间平方和与自由度 =k k-1=4-1=3-1=4-1=3第七章第七章 协方差分析协方差分析 3、处理内平方和与自由度、处理内平方和与自由度 (二二)求求y变量各项平方和与自由度变量各项平方和与自由度 1、总平方和与自由度、总平方和与自由度下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第七章第七章 协方差分析协方差分析 2、处理间平方和与自由度、处理间平方和与自由度 3、处理内平方和与自由度、处理内平方和与自由度 (三三) 求求x和和y两变量的各项离均差乘积和与自由度两变量的各项离均差乘积和与自由度 1、总乘积和与自由度、总乘积和与自由度 第七章第七章 协方差分析协方差分析 =kn-1=412-1=47 2、处理间乘积和与自由度、处理间乘积和与自由度 =1.64下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第七章第七章 协方差分析协方差分析 =k-1=4-1=3 3、处理内乘积和与自由度、处理内乘积和与自由度 平方和、乘积和与自由度的计算结果列于表平方和、乘积和与自由度的计算结果列于表103。 表表103 x与与y的平方和与乘积和表的平方和与乘积和表第七章第七章 协方差分析协方差分析 (四四) 对对x和和y各作方差分析各作方差分析(表表104) 表表104 初生重与初生重与50日龄重的方差分析表日龄重的方差分析表下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第七章第七章 协方差分析协方差分析 分析结果表明，分析结果表明，4种处理的供试仔猪平均初种处理的供试仔猪平均初生重间存在着极显著的差异，其生重间存在着极显著的差异，其50 日龄平均重日龄平均重差异不显著。须进行协方差分析，以消除初生重差异不显著。须进行协方差分析，以消除初生重不同对试验结果的影响，减小试验误差，揭示出不同对试验结果的影响，减小试验误差，揭示出可能被掩盖的处理间差异的显著性。可能被掩盖的处理间差异的显著性。 (五五) 协方差分析协方差分析 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第七章第七章 协方差分析协方差分析 1 1、误差项回归关系的分析、误差项回归关系的分析、误差项回归关系的分析、误差项回归关系的分析 误差项回归关系分析的意义是要从剔除处理间误差项回归关系分析的意义是要从剔除处理间误差项回归关系分析的意义是要从剔除处理间误差项回归关系分析的意义是要从剔除处理间差异的影响的差异的影响的差异的影响的差异的影响的误差变异中找出误差变异中找出误差变异中找出误差变异中找出5050日龄重日龄重日龄重日龄重( (y y) )与初生与初生与初生与初生重重重重( (x x) )之间是否存在线性回归关系之间是否存在线性回归关系之间是否存在线性回归关系之间是否存在线性回归关系。计算出误差项。计算出误差项。计算出误差项。计算出误差项的回归系数并对线性回归关系进行显著性检验，若的回归系数并对线性回归关系进行显著性检验，若的回归系数并对线性回归关系进行显著性检验，若的回归系数并对线性回归关系进行显著性检验，若显著则说明两者间存在回归关系。这时就可应用线显著则说明两者间存在回归关系。这时就可应用线显著则说明两者间存在回归关系。这时就可应用线显著则说明两者间存在回归关系。这时就可应用线性回归关系来校正性回归关系来校正性回归关系来校正性回归关系来校正y y值值值值(50(50日龄重日龄重日龄重日龄重) )以消去仔猪初生以消去仔猪初生以消去仔猪初生以消去仔猪初生重重重重( (x x) )不同对它的影响。然后根据不同对它的影响。然后根据不同对它的影响。然后根据不同对它的影响。然后根据校正后的校正后的校正后的校正后的y y值值值值( (校校校校正正正正5050日龄重日龄重日龄重日龄重) )来进行方差分析。如线性回归关系不来进行方差分析。如线性回归关系不来进行方差分析。如线性回归关系不来进行方差分析。如线性回归关系不显著，则无需继续进行分析。显著，则无需继续进行分析。显著，则无需继续进行分析。显著，则无需继续进行分析。 第七章第七章 协方差分析协方差分析 回归分析的步骤如下：回归分析的步骤如下： (1) 计算误差项回归系数，回归平方和，计算误差项回归系数，回归平方和，离回归平方和与相应的自由度离回归平方和与相应的自由度 从误差项的平方和与乘积和求误差项回归系从误差项的平方和与乘积和求误差项回归系数：数： (10-10) 误差项回归平方和与自由度误差项回归平方和与自由度 (10-11) dfdfR(e)R(e)=1=1下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第七章第七章 协方差分析协方差分析 误差项离回归平方和与自由度误差项离回归平方和与自由度 =85.08-47.49=37.59 =85.08-47.49=37.59 (10-12) (10-12) (2) 检验回归关系的显著性检验回归关系的显著性(表表105) 表表105 哺乳仔猪哺乳仔猪50日龄重与初生重的日龄重与初生重的 回归关系显著性检验表回归关系显著性检验表第七章第七章 协方差分析协方差分析 F检验表明，误差项回归关系极显著，表明检验表明，误差项回归关系极显著，表明哺乳仔猪哺乳仔猪50 日龄重与初生重间存在极显著的线日龄重与初生重间存在极显著的线性回归关系。因此，可以性回归关系。因此，可以利用线性回归关系来校利用线性回归关系来校正正y，并对校正后的，并对校正后的y进行方差分析。进行方差分析。 2、对校正后的、对校正后的50日龄重作方差分析日龄重作方差分析 (1)求校正后的求校正后的50日龄重的各项平方和及日龄重的各项平方和及自由度自由度 利用线性回归关系对利用线性回归关系对50日龄重作校正日龄重作校正 ，并，并由校正后的由校正后的50日龄重计算各项平方和是相当日龄重计算各项平方和是相当 麻麻烦的，统计学已证明，烦的，统计学已证明，校正后的总平方和、误差校正后的总平方和、误差平方和及自由度等于其相应变异项的离回归平方平方和及自由度等于其相应变异项的离回归平方和及自由度和及自由度，因此，其各项平方和及自由度可直，因此，其各项平方和及自由度可直接由下述公式计算。接由下述公式计算。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第七章第七章 协方差分析协方差分析 校正校正50日龄重的总平方和与自由度，即日龄重的总平方和与自由度，即总离回归平方和与自由度总离回归平方和与自由度 (10-13)(10-13) = - =47-1=46 校正校正50日龄重的误差项平方和与自由度，日龄重的误差项平方和与自由度，即误差离回归平方和与自由度即误差离回归平方和与自由度 (10-14) (10-14) = - =44-1=43 上述回归自由度均为上述回归自由度均为1，因仅有一个自变量，因仅有一个自变量x。 第七章第七章 协方差分析协方差分析 校正校正50日龄重的处理间平方和与自由度日龄重的处理间平方和与自由度 =57.87-37.59=20.28 (10-(10-15)15) =k-1=4-1=3 (2) 列出协方差分析表，对校正后的列出协方差分析表，对校正后的50日日龄重进行方差分析龄重进行方差分析(表表106) 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第七章第七章 协方差分析协方差分析 表表106 表表10-2资料的协方差分析表资料的协方差分析表查查查查F F值值值值： =4.275 =4.275，由于，由于，由于，由于F F=7.63=7.63 ，P P0.010.01，表明对于校正后的，表明对于校正后的，表明对于校正后的，表明对于校正后的5050日龄重不同食欲日龄重不同食欲日龄重不同食欲日龄重不同食欲添加剂配方间存在极显著的差异。故须进一步检验不添加剂配方间存在极显著的差异。故须进一步检验不添加剂配方间存在极显著的差异。故须进一步检验不添加剂配方间存在极显著的差异。故须进一步检验不同处理间的差异显著性，即进行多重比较。同处理间的差异显著性，即进行多重比较。同处理间的差异显著性，即进行多重比较。同处理间的差异显著性，即进行多重比较。第七章第七章 协方差分析协方差分析 3、根据线性回归关系计算各处理的校正、根据线性回归关系计算各处理的校正50日龄平均重日龄平均重 误差项的回归系数误差项的回归系数 表示初生重对表示初生重对50日日龄重影响的性质和程度，且不包含处理间差异的龄重影响的性质和程度，且不包含处理间差异的影响，于是可用影响，于是可用 根据平均初生重的不同根据平均初生重的不同来校正每一处理的来校正每一处理的50日龄平均重。校正日龄平均重。校正50日龄日龄平均重计算公式如下：平均重计算公式如下： (10-16) 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第七章第七章 协方差分析协方差分析 公式中：公式中：公式中：公式中： 为第为第为第为第i i处理校正处理校正处理校正处理校正5050日龄平均重；日龄平均重；日龄平均重；日龄平均重； 为第为第为第为第i i处理实际处理实际处理实际处理实际5050日龄平均重日龄平均重日龄平均重日龄平均重( (见表见表见表见表102)102)； 为第为第为第为第i i处理实际平均初生重处理实际平均初生重处理实际平均初生重处理实际平均初生重( (见表见表见表见表102)102)； 为全试验的平均数，为全试验的平均数，为全试验的平均数，为全试验的平均数， 为误差回归系数，为误差回归系数，为误差回归系数，为误差回归系数， =7.1848 =7.1848 将所需要的各数值代入将所需要的各数值代入将所需要的各数值代入将所需要的各数值代入(1016)(1016)式中，即可计算出式中，即可计算出式中，即可计算出式中，即可计算出各处理的校正各处理的校正各处理的校正各处理的校正5050日龄平均重日龄平均重日龄平均重日龄平均重( (见表见表见表见表 107) 107)。 第七章第七章 协方差分析协方差分析 表表107 各处理的校正各处理的校正50日龄平均重计算表日龄平均重计算表 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第七章第七章 协方差分析协方差分析 4、各处理校正、各处理校正50日龄平均重间的多重比较日龄平均重间的多重比较 各处理校正各处理校正50日龄平均重间的多重比较，日龄平均重间的多重比较，即各种食欲添加剂的效果比较。即各种食欲添加剂的效果比较。 (1) t检验检验 检验两个处理校正平均数间的检验两个处理校正平均数间的差异显著性，可应用差异显著性，可应用t检验法：检验法： (10-17) (10-18) 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第七章第七章 协方差分析协方差分析 式中，式中， 为两个处理校正平均数间的为两个处理校正平均数间的差异；差异； 为两个处理校正平均数差数标准误；为两个处理校正平均数差数标准误； 为误差离回归均方；为误差离回归均方； n为各处理的重复数；为各处理的重复数； 为处理为处理i的的x变量的平均数；变量的平均数； 为处理为处理j的的x变量的平均数；变量的平均数； SSe(x)为为x变量的误差平方和变量的误差平方和 例如，检验食欲添加剂配方例如，检验食欲添加剂配方1与对照校正与对照校正50日龄平均重间的差异显著性：日龄平均重间的差异显著性： 第七章第七章 协方差分析协方差分析 =10.3514-12.0758=-1.7244 =37.59/43=0.8742 n=12 =1.52, =1.28, SSe(x)=0.92将上面各数值代入将上面各数值代入(1018)式得：式得： 于是于是 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第七章第七章 协方差分析协方差分析 查查t值表，当自由度为值表，当自由度为43时时 (见表见表106误误差自由度差自由度)，t0.01(43)=2.70 ，|t| t0.01(43)，P0.01 ，表明对照与食欲添加剂，表明对照与食欲添加剂1号配方校号配方校正正50日龄平均重间存在着极显著的差异，这里表日龄平均重间存在着极显著的差异，这里表现为现为1号配方的校正号配方的校正50日龄平均重极显著高于对日龄平均重极显著高于对照。照。 其余的每两处理间的比较都须另行算出其余的每两处理间的比较都须另行算出 ，再进行，再进行t检验。检验。第七章第七章 协方差分析协方差分析 （2）最小显著差数法）最小显著差数法 利用利用t检验法进行多检验法进行多重比较，每一次比较都要算出各自的重比较，每一次比较都要算出各自的 ，比，比较麻烦。当误差项自由度在较麻烦。当误差项自由度在 20以上，以上，x变量的变量的变异不甚大变异不甚大(即即x变量各处理平均数间差异不显变量各处理平均数间差异不显著著)，为简便起见，可计算一个平均的，为简便起见，可计算一个平均的 采采用最小显著差数法进行多重比较。用最小显著差数法进行多重比较。 的计的计算公式如下：算公式如下：下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第七章第七章 协方差分析协方差分析 (10-19) 公式中公式中SSt(x)为为x变量的处理间平方和。变量的处理间平方和。 然后按误差自由度查临界然后按误差自由度查临界t值，计算出最小显著值，计算出最小显著差数：差数： (10-20) 第七章第七章 协方差分析协方差分析 本例本例x变量处理平均数间差异极显著，不满变量处理平均数间差异极显著，不满足足“x变量的变异不甚大变量的变异不甚大”这一条件这一条件 ，不应采用，不应采用此处所介绍的最小显著差数法进行多重比较。为此处所介绍的最小显著差数法进行多重比较。为了便于读者熟悉该方法，仍以本例的数据说明之。了便于读者熟悉该方法，仍以本例的数据说明之。 此时此时 由由 =43,查临界查临界t值得：值得： t0.05(43)=2.017，t0.01(43）=2.70于是于是 LSD0.05=2.0170.4353=0.878 LSD0.01 =2.700.4353 =1.175下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第七章第七章 协方差分析协方差分析 不同食欲添加剂配方与对照校正不同食欲添加剂配方与对照校正50日龄平日龄平均重比较结果见表均重比较结果见表108。 表表108 不同食欲添加剂配方与对照间的不同食欲添加剂配方与对照间的 效果比较表效果比较表 第七章第七章 协方差分析协方差分析 多重比较结果表明：多重比较结果表明： 食欲添加剂配方食欲添加剂配方1、2、3号与对照号与对照比较，比较， 其校正其校正50 日龄平均重间均存在日龄平均重间均存在极极 显显 著的差异，这著的差异，这 里里 表表 现现 为为 配配 方方1、2、3号的校正号的校正50日龄平均重均极日龄平均重均极显著高于对照。显著高于对照。第七章第七章 协方差分析协方差分析 (3) 最小显著极差法最小显著极差法 当误差自由度在当误差自由度在20以上，以上，x变量的变异不变量的变异不甚大，还可以计算出平均的平均数校正标准误甚大，还可以计算出平均的平均数校正标准误 ，利用，利用LSR 法进行多重比较。法进行多重比较。 的计算公式如下：的计算公式如下： (10-21)下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第七章第七章 协方差分析协方差分析 然后由误差自由度然后由误差自由度 和秩次距和秩次距k查查SSR表表（或（或q表），计算最小显著极差：表），计算最小显著极差： （10-22） 对于【例对于【例10.1】资料，】资料， 由于不满足由于不满足“x变变量的变异不甚大量的变异不甚大”这一条件，这一条件， 不应采用此处所介不应采用此处所介绍的绍的LSR法进行多重比较。为了便于读者熟悉法进行多重比较。为了便于读者熟悉该方法，仍以【例该方法，仍以【例10.1】的数据说明之。】的数据说明之。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第七章第七章 协方差分析协方差分析 =0.8742， n=12，SSt(x)=0.83， SSe(x)=0.92，k=4，代入，代入(1021)式可计算得：式可计算得： SSR值与值与LSR值见表值见表109。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 此时此时 第七章第七章 协方差分析协方差分析表表109 SSR值与值与LSR值表值表下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第七章第七章 协方差分析协方差分析 各处理校正各处理校正50日龄平均重多重比较结果见日龄平均重多重比较结果见表表1010。 表表1010 各处理校正各处理校正50日龄平均重日龄平均重 多重比较表（多重比较表（SSR法法） 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第七章第七章 协方差分析协方差分析 多重比较结果表明：多重比较结果表明： 食欲添加剂配方食欲添加剂配方3、2、1号的号的哺乳仔猪校正哺乳仔猪校正 5 0 日龄平均重极显日龄平均重极显著高于对照著高于对照 ，不同食欲添加剂配方，不同食欲添加剂配方间哺乳仔猪校正间哺乳仔猪校正50日龄平均重差异日龄平均重差异不显著。不显著。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第七章第七章 协方差分析协方差分析第二节第二节 单因素随机区组设计试验单因素随机区组设计试验资料的协方差分析资料的协方差分析观测值观测值观测值观测值= =一般均值一般均值一般均值一般均值+ +水平影响水平影响水平影响水平影响+ +区组效应区组效应区组效应区组效应+ +协变量影响协变量影响协变量影响协变量影响+ +随机误差随机误差随机误差随机误差回归系数回归系数回归系数回归系数具体计算略具体计算略第七章第七章 协方差分析协方差分析SPSS例题例题第七章第七章 协方差分析协方差分析数据结构第七章第七章 协方差分析协方差分析各组初始体重不同各组初始体重不同（F=13.289,P=0.000)初始体重与初始体重与50日龄重有相日龄重有相关，关，r=0.634,P=0.000结论：需进行协方差分析结论：需进行协方差分析是否需要协方差分析？是否需要协方差分析？第七章第七章 协方差分析协方差分析n n协方差分析之前，要先检验一下数据是否满足斜率同质假协方差分析之前，要先检验一下数据是否满足斜率同质假协方差分析之前，要先检验一下数据是否满足斜率同质假协方差分析之前，要先检验一下数据是否满足斜率同质假设，也就是检验自变量和斜变量之间有没有交互作用，如设，也就是检验自变量和斜变量之间有没有交互作用，如设，也就是检验自变量和斜变量之间有没有交互作用，如设，也就是检验自变量和斜变量之间有没有交互作用，如图所示，在菜单栏上执行：图所示，在菜单栏上执行：图所示，在菜单栏上执行：图所示，在菜单栏上执行：analyze-general linear analyze-general linear model-univariate model-univariate 能否进行协方差分析？能否进行协方差分析？第七章第七章 协方差分析协方差分析在打开的对话框中，将因变量、自变量、协变量都在打开的对话框中，将因变量、自变量、协变量都在打开的对话框中，将因变量、自变量、协变量都在打开的对话框中，将因变量、自变量、协变量都放到各自的位置，如图所示，放到各自的位置，如图所示，放到各自的位置，如图所示，放到各自的位置，如图所示，5050日龄重为因变量，日龄重为因变量，日龄重为因变量，日龄重为因变量，配方为自变量（固定因子），初生重为协变量配方为自变量（固定因子），初生重为协变量配方为自变量（固定因子），初生重为协变量配方为自变量（固定因子），初生重为协变量，点，点，点，点击击击击optionsoptions按钮，进入子对话框按钮，进入子对话框按钮，进入子对话框按钮，进入子对话框 第七章第七章 协方差分析协方差分析在这里将配方，也就是自变量移动到在这里将配方，也就是自变量移动到display means for中，并且勾选描述统计和方差齐性中，并且勾选描述统计和方差齐性检验，点击检验，点击continue按钮继续按钮继续 第七章第七章 协方差分析协方差分析点击点击model按钮，选择模型，按钮，选择模型，刚打开这个对刚打开这个对话框的时候，默认是话框的时候，默认是full factorial模式，但是模式，但是我们要检验交互作用，所以要选中我们要检验交互作用，所以要选中custom 第七章第七章 协方差分析协方差分析点击点击ok按钮，开始处理数据，按钮，开始处理数据， 在出来的结果在出来的结果中，我们主要是看自变量和协变量的交互作中，我们主要是看自变量和协变量的交互作用，如图所示，用，如图所示，sig值大于值大于0.05，所以交互作，所以交互作用不显著用不显著，这就满足了斜率同质性假设，这就满足了斜率同质性假设 第七章第七章 协方差分析协方差分析接着我们来进行协方差分析，在菜单栏上执行：接着我们来进行协方差分析，在菜单栏上执行：接着我们来进行协方差分析，在菜单栏上执行：接着我们来进行协方差分析，在菜单栏上执行：analyse-general linear model-univariate analyse-general linear model-univariate ，将，将，将，将各个变量都放到各自的位置，和上面的步骤一样，各个变量都放到各自的位置，和上面的步骤一样，各个变量都放到各自的位置，和上面的步骤一样，各个变量都放到各自的位置，和上面的步骤一样，点击点击点击点击optionsoptions按钮按钮按钮按钮 ，将配方移动到，将配方移动到，将配方移动到，将配方移动到display means display means forfor列表里，勾选描述统计、方差齐性、参数估计，列表里，勾选描述统计、方差齐性、参数估计，列表里，勾选描述统计、方差齐性、参数估计，列表里，勾选描述统计、方差齐性、参数估计，点击点击点击点击continuecontinue继续继续继续继续 第七章第七章 协方差分析协方差分析点击点击model，选择模型，选择模型 ，选择选择full factorial，点击，点击continue 第七章第七章 协方差分析协方差分析n n最后看分析的结果配方的效应显著，这说最后看分析的结果配方的效应显著，这说明不同的配方会影响到猪明不同的配方会影响到猪50日龄重日龄重第七章第七章 协方差分析协方差分析