一一.描述圆周运动的物理量描述圆周运动的物理量v、T、 f、 n、 a向向 v= r T=2/ T=1/f = 2n a向向= v2 / r = r2 = r 42/T2二匀速圆周运动：物体在圆周上运动；任意相等的时二匀速圆周运动：物体在圆周上运动；任意相等的时 间内通过的圆弧长度相等。间内通过的圆弧长度相等。三三.匀速圆周运动的向心力：匀速圆周运动的向心力：F = m a向向= mv2 / r 四四. 做做匀速匀速圆周运动的物体，受到的合外力的方向一圆周运动的物体，受到的合外力的方向一 定沿半径指向圆心定沿半径指向圆心(向心力向心力)，大小一定等于，大小一定等于mv2 / r .五五. 做做变速变速圆周运动的物体，受到的合外力沿半径指圆周运动的物体，受到的合外力沿半径指 向圆心方向的分力提供向心力，大小等于向圆心方向的分力提供向心力，大小等于mv2 / r ； 沿切线方向的分力产生切向加速度沿切线方向的分力产生切向加速度,改变物体的速度改变物体的速度 的大小。的大小。例例5下列关于向心加速度的说法中，正确的是下列关于向心加速度的说法中，正确的是（ ）A向心加速度的方向始终与速度的方向垂直向心加速度的方向始终与速度的方向垂直B向心加速度的方向可能与速度方向不垂直向心加速度的方向可能与速度方向不垂直 C向心加速度的方向保持不变向心加速度的方向保持不变D向心加速度的方向与速度的方向平行向心加速度的方向与速度的方向平行A例例6用细线拴着一个小球，在光滑水平面上作用细线拴着一个小球，在光滑水平面上作匀速圆周运动，有下列说法匀速圆周运动，有下列说法,其中正确的是其中正确的是 （ ）A小球线速度大小一定时，线越长越容易断小球线速度大小一定时，线越长越容易断B小球线速度大小一定时，线越短越容易断小球线速度大小一定时，线越短越容易断C小球角速度一定时，线越长越容易断小球角速度一定时，线越长越容易断D小球角速度一定时，线越短越容易断小球角速度一定时，线越短越容易断B C例例7、如如图图所所示示，光光滑滑的的水水平平圆圆盘盘中中心心有有一一小小孔孔，用用细细绳绳穿穿过过小小孔孔，两两端端分分别别系系有有A、B物物体体，定定滑滑轮轮的的摩摩擦擦不不计计，物物体体A随随光光滑滑圆圆盘盘一一起起匀匀速速转转动动，悬悬挂挂B的的细细线恰与圆盘的转动轴线恰与圆盘的转动轴OO重合，下列说法中正确的是（重合，下列说法中正确的是（ ）（A）使物体）使物体A的转动半径变大一些，在转动过程中半径会自动恢复原长的转动半径变大一些，在转动过程中半径会自动恢复原长（B）使物体）使物体A的转动半径变大一些，在转动过程中半径会越来越大的转动半径变大一些，在转动过程中半径会越来越大（C）使物体）使物体A的转动半径变小一些，在转动过程中半径会随时稳定的转动半径变小一些，在转动过程中半径会随时稳定（D）以上说法都不正确）以上说法都不正确ABOOB例例8如图所示，一根轻弹簧和一根细绳拴住一重如图所示，一根轻弹簧和一根细绳拴住一重2N的小球，平衡时细绳恰好水平，若突然烧断细绳，小的小球，平衡时细绳恰好水平，若突然烧断细绳，小球运动到悬点正下方时弹簧长度恰好等于烧断细绳时球运动到悬点正下方时弹簧长度恰好等于烧断细绳时的长度，则线烧断瞬间弹簧的拉力大小为的长度，则线烧断瞬间弹簧的拉力大小为 N.解：解：线烧断前，小球受力如图示：线烧断前，小球受力如图示：Tmg F由平衡条件得由平衡条件得 mg= Tcos (1)线烧断后运动到最低点时，小球受力如图示：线烧断后运动到最低点时，小球受力如图示：Tmg由圆周运动规律得由圆周运动规律得 T-mg= mv2 / l (2)由机械能守恒定律得由机械能守恒定律得 mgl(1-cos)= 1/2 mv2 (3) 联列解联列解(1) (2) (3)式得式得 cos= 1/2代入代入(1)式式 得得 T=4N4 一一小小球球用用轻轻绳绳悬悬挂挂在在某某固固定定点点，现现将将轻轻绳绳水水平平拉拉直直，然然后后由由静静止止开开始始释释放小球考虑小球由静止开始运动到最低位置的过程放小球考虑小球由静止开始运动到最低位置的过程 ( ) A小球在水平方向的速度逐渐增大小球在水平方向的速度逐渐增大 B小球在竖直方向的速度逐渐增大小球在竖直方向的速度逐渐增大 C到达最低位置时小球线速度最大到达最低位置时小球线速度最大 D到达最低位置时绳子的拉力等于小球重力到达最低位置时绳子的拉力等于小球重力 2000年上海年上海mgT2mgT1分析分析小球释放后水平方向受力为绳拉力的水平分力，该力与水平分速度同方向，因小球释放后水平方向受力为绳拉力的水平分力，该力与水平分速度同方向，因此在水平方向上速度逐渐增大，此在水平方向上速度逐渐增大， A正确正确. 在初始位置竖直速度为在初始位置竖直速度为0，最低位置竖直速度也为，最低位置竖直速度也为0，在竖直方向上小球显然先，在竖直方向上小球显然先加速运动，后减速运动，加速运动，后减速运动，B 错误错误 线速度即小球运动的合速度，小球位置越低，势能转化为动能就越多，速线速度即小球运动的合速度，小球位置越低，势能转化为动能就越多，速度也就越大，度也就越大，C正确正确. 小球在最低位置时速度为水平速度，由于小球做圆周运动小球在最低位置时速度为水平速度，由于小球做圆周运动，绳拉力与球重力的合力提供向心力，即，绳拉力与球重力的合力提供向心力，即 D错误错误A C例例 9、 人人 造造 卫卫 星星 的的 天天 线线 偶偶 然然 折折 断断 ， 那那 么么 ( )(A)天线将作自由落体运动，落向地球；天线将作自由落体运动，落向地球；(B)天线将作平抛运动，落向地球；天线将作平抛运动，落向地球；(C)天线将沿轨道切线方向飞出，远离地球；天线将沿轨道切线方向飞出，远离地球；(D)天线将继续和卫星一起沿轨道运转。天线将继续和卫星一起沿轨道运转。D 绳绳杆杆圆管圆管 m的受力的受力情况情况 最高点最高点A的速度的速度 最低点最低点B的速度的速度AOmBL重力、绳重力、绳的拉力的拉力AOmBL重力、杆的拉重力、杆的拉力或支持力力或支持力AOmBR重力、外管壁的支重力、外管壁的支持力或内管壁的支持力或内管壁的支持力持力竖直平面内的变速圆周运动竖直平面内的变速圆周运动例例10长度为长度为0.5m的轻质细杆，的轻质细杆，A端有一质量为端有一质量为3kg的小球，以的小球，以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，小球通过最高点时的速度为如图所示，小球通过最高点时的速度为2m/s，取，取g=10m/s2，则此时轻杆，则此时轻杆OA将（将（ ）A受到受到6.0N的拉力的拉力 B受到受到6.0N的压力的压力C受到受到24N的拉力的拉力 D受到受到54N的拉力的拉力AOm解解：设球受到杆向上的支持力：设球受到杆向上的支持力N，受力如图示：受力如图示：Nmg则则 mg-N=mv2 /l得得 N=6.0N由牛顿第三定律，此时轻杆由牛顿第三定律，此时轻杆OA将受到球对杆向下的压将受到球对杆向下的压力，大小为力，大小为6.0N.B练练习习1杆杆长长为为L，球球的的质质量量为为m，杆杆连连球球在在竖竖直直平平面面内内绕绕轴轴O自自由由转转动动，已已知知在在最最高高点点处处，杆杆对对球球的的弹弹力力大小为大小为F=1/2 mg，求这时小球的即时速度大小。，求这时小球的即时速度大小。解解：小球所需向心力向下，本题中：小球所需向心力向下，本题中 F=1/2 mgmg，所以弹力的方向可能向上，也可能向下。所以弹力的方向可能向上，也可能向下。若若F F 向上，则向上，则若若F F 向下，则向下，则练习练习2用钢管做成半径为用钢管做成半径为R=0.5m的光滑圆环（管径远小于的光滑圆环（管径远小于R）竖直放置，一小球）竖直放置，一小球（可看作质点，直径略小于管径）质量为（可看作质点，直径略小于管径）质量为m=0.2kg在环内做圆周运动，求在环内做圆周运动，求:小球通过最小球通过最高点高点A时，下列两种情况下球对管壁的作用力时，下列两种情况下球对管壁的作用力. 取取g=10m/s2(1) A的速率为的速率为1.0m/s (2) A的速率为的速率为4.0m/s 解解：AOm先求出杆的弹力为先求出杆的弹力为0 的速率的速率v0mg=mv02/ l v02=gl=5v0=2.25 m/s (1) v1=1m/s v0 球应受到外壁向下的支持力球应受到外壁向下的支持力N2如图示：如图示：AOmN2mg则则 mg+N2=mv22/ l得得 N2=4.4 N由牛顿第三定律，球对管壁的作用力分别由牛顿第三定律，球对管壁的作用力分别 为为 (1) 对内壁对内壁1.6N向下的压力向下的压力 (2)对外壁对外壁4.4N向上的压力向上的压力.例例11.如如图图所所示示，在在质质量量为为M的的物物体体内内有有光光滑滑的的圆圆形形轨轨道道，有有一一质质量量为为m的的小小球球在在竖竖直直平平面面内内沿沿圆圆轨轨道道做做圆圆周周运运动动，A与与C两两点点分分别别道道的的最最高高点点和和最最低低点点，B、D两两点点与与圆圆心心O在在同同一一水水平平面面上上。在在小小球球运运动动过过程程中中，物物体体M静静止止于于地地面面，则则关关于于物物体体M对对地地面面的的压压力力N和和地面对物体地面对物体M的摩擦力方向，下列正确的说法是的摩擦力方向，下列正确的说法是 ( )A.小球运动到小球运动到B点时，点时，NMg，摩擦力方向向左，摩擦力方向向左B.小球运动到小球运动到B点时，点时，N=Mg，摩擦力方向向右，摩擦力方向向右C.小球运动到小球运动到C点时，点时，N=(M+m)g，地面对，地面对M无摩擦无摩擦D.小球运动到小球运动到D点时，点时，N=(M+m)g，摩擦力方向向右，摩擦力方向向右OABCDM点拨：点拨：画出各点的受力图如图示：画出各点的受力图如图示：BmgFCmgFDmgFB例例13 长长为为2L的的轻轻杆杆AB两两端端各各固固定定有有质质量量为为m1和和m2的的小小球球，且且m1m2 ，过过杆杆的的中中点点O处处有有光光滑滑的的水水平平转转动动轴轴。杆杆可可绕绕轴轴在在竖竖直直平平面面内内转转动动,当当杆杆到到达达竖竖直直位位置置时时，转转动动的的角角速速度度为为, A球球正正好好位位于于上上端端,B球球位位于于下下端端,则则沿沿竖竖直直方方向向,杆杆作作用用于于固固定定轴轴的的力的方向一定向上的条件是什么力的方向一定向上的条件是什么?解解：OBAm2m1由牛顿第三定律由牛顿第三定律, 杆作用于固定轴的力的方向向上杆作用于固定轴的力的方向向上, 则杆受到轴的作用力则杆受到轴的作用力N一定向下一定向下, 如图示如图示: 对杆由平衡条件对杆由平衡条件,杆受到杆受到A球的作用力一定大于球的作用力一定大于B球对杆的作用力球对杆的作用力, F1 F2 F1F2NAF1m1gBF2m2g对对A 球球: F1 +m1 g = m12 L 对对B 球球: F2 - m2 g = m22 L F1 = m12 L- m1 g F2 = m22 L+ m2 g F1 - F2 0 2 L (m1 +m2 )g (m1 -m2 )例例14、如图示，支架质量为、如图示，支架质量为M、始终静止在水平地面上，转轴、始终静止在水平地面上，转轴O处用长为处用长为l 的线悬挂的线悬挂一个质量为一个质量为m 的小球，的小球，（1）把线拉至水平后静止释放小球，当小球运动到最低处时，水平面对支架的支）把线拉至水平后静止释放小球，当小球运动到最低处时，水平面对支架的支持力持力N为多大？为多大？（2）若使小球在竖直平面内做圆周运动，对小球运动到最高点处时，支架恰好对）若使小球在竖直平面内做圆周运动，对小球运动到最高点处时，支架恰好对水平地面无压力，则小球在最高点处的速度水平地面无压力，则小球在最高点处的速度v 为多大？为多大？解：解：MmlO（1）对小球，由机械能守恒定律）对小球，由机械能守恒定律1/2 mv12=mgl 最低点处：最低点处：T-mg = mv12 / l TmgT =3mg对支架受力如图示对支架受力如图示 N=Mg+T=(M+3m)g TMgN（2）小球运动到最高点处时，支架恰好对水平地面无压）小球运动到最高点处时，支架恰好对水平地面无压力力,则支架受到球向上的拉力则支架受到球向上的拉力 T1=MgMgT1对小球对小球: T1+mg=mv2/ l mgT1练习练习3、如图示，质量为、如图示，质量为M的电动机始终静止于地面，的电动机始终静止于地面，其飞轮上固定一质量为其飞轮上固定一质量为m的物体，物体距轮轴为的物体，物体距轮轴为r，为使电动机不至于离开地面，其飞轮转动的角速度为使电动机不至于离开地面，其飞轮转动的角速度应如何？应如何？rMm解解：当小物体转到最高点时，：当小物体转到最高点时，对底座对底座,受到重力受到重力Mg和物体对底座的拉力和物体对底座的拉力T MMgT为使电动机不至于离开地面，必须为使电动机不至于离开地面，必须 TMg 对物体对物体,受到重力受到重力mg和底座对物体的拉力和底座对物体的拉力TmmgT由圆周运动规律有由圆周运动规律有 mg+T = m r2 即即 m r2(M+m)g水平面内的圆周运动 例例15、如如图图，细细绳绳一一端端系系着着质质量量M=0.6千千克克的的物物体体，静静止止在在水水平平转转盘盘上上，另另一一端端通通过过光光滑滑小小孔孔吊吊着着质质量量m=0.3千千克克的的物物体体，M的的中中点点与与圆圆孔孔距距离离为为0.2米米，并并知知M和和水水平平面面的的最最大大静静摩摩擦擦力力为为2牛牛，现现使使此此水水平平转转盘盘绕绕中中心心轴轴线线转转动动，问问角角速速度度 在在什什么么范范围围m会处于静止状态？会处于静止状态？(g取取10米米/秒秒2) mMOr解：解：设物体设物体M和水平面保持相对静止。和水平面保持相对静止。当当 具有最小值时，具有最小值时，M有向圆心运动趋势，故水平面对有向圆心运动趋势，故水平面对M的摩擦力方向和指向圆心方向的摩擦力方向和指向圆心方向相反，且等于最大静摩擦力相反，且等于最大静摩擦力2牛。牛。隔离隔离M有：有：Tfm=M 12r0.3102=0.6 120.2 1 =2.9(弧度弧度/秒秒)当当 具有最大值时，具有最大值时，M有离开圆心趋势，水平面对有离开圆心趋势，水平面对M摩擦力方向指向圆心，大小也摩擦力方向指向圆心，大小也为为2牛。牛。隔离隔离M有：有：Tfm=M 22r0.3102=0.6 220.2 2=6.5(弧度弧度/秒秒)故故 范围是：范围是：2.9弧度弧度/秒秒 6.5弧度弧度/秒。秒。 例例16、A、B 两两球球质质量量分分别别为为m1与与m2，用用一一劲劲度度系系数数为为k的的弹弹簧簧相相连连，一一长长为为l1 的的细细线线与与A相相连连，置置于于水水平平光光滑滑桌桌面面上上，细细线线的的另另一一端端拴拴在在竖竖直直轴轴OO上上，如如图图所所示示，当当m1与与m2均以角速度均以角速度绕绕OO 做匀速圆周运动时，弹簧长度为做匀速圆周运动时，弹簧长度为l2。求：（求：（1）此时弹簧伸长量多大？绳子张力多大？）此时弹簧伸长量多大？绳子张力多大？ （2）将线突然烧断瞬间两球加速度各多大？）将线突然烧断瞬间两球加速度各多大？l 2l 1BAOO解解：（：（1）B球只受弹簧弹力，设弹簧伸长球只受弹簧弹力，设弹簧伸长l ，满足，满足ff=kl=m2 2(l1 l2) 弹簧伸长量弹簧伸长量 l =m2 2(l1 l2) / k 对对A球，受绳拉力球，受绳拉力T和弹簧弹力和弹簧弹力f 做匀速圆周运动，做匀速圆周运动，fT满足：满足：Tf=m12 l1 绳子拉力绳子拉力T=m12 l 1m22(l1 l2) （2）线烧断瞬间）线烧断瞬间A球加速度球加速度a1=f/m1=m22(l1 l2)/m1 B球加速度球加速度a2=f/m2= 2(l1 l2)例例12小小球球在在半半径径为为R的的光光滑滑半半球球内内做做水水平平面面内内的的匀匀速速圆圆周周运运动动，试试分分析析图图中中的的（小小球球与与半半球球球球心心连连线线跟跟竖竖直直方方向向的的夹夹角角）与与线线速速度度v 、周周期期T 的的关关系系。（小小球球的半径远小于的半径远小于R）解解：RO小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上（不在小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上（不在 半球的球心），向心力半球的球心），向心力F 是重力是重力G 和支持力和支持力N 的合力，的合力， 所以重力和支持力的合力方向必然水平。如图所示：所以重力和支持力的合力方向必然水平。如图所示：FGN由牛顿运动定律，有：由牛顿运动定律，有：由此可得：由此可得：（式中（式中h 为小球轨道平面到为小球轨道平面到球心的高度）球心的高度）可见，可见，越大越大,即即h越小越小, v 越大越大,T 越小。越小。 本题的分析方法和结论同样适用于圆锥摆、火车转弯、本题的分析方法和结论同样适用于圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。向心力方向水平。 在在高高速速公公路路的的拐拐弯弯处处，路路面面造造得得外外高高内内低低，即即当当车车向向右右拐拐弯弯时时，司司机机左左侧侧的的路路面面比比右右侧侧的的要要高高一一些些，路路面面与与水水平平面面间间的的夹夹角角为为设设拐拐弯弯路路段段是是半半径径为为R的的圆圆弧弧，要要使使车车速速为为v 时时车车轮轮与与路路面面之之间间的的横横向向(即即垂垂直直于于前前进进方方向向)摩擦力等于零，摩擦力等于零，应等于应等于 （ ）Aarcsin Barctan C Darccot解：解：车受重力车受重力mg及路面的弹力及路面的弹力FN作用这两个力的合力作用这两个力的合力F水平水平并指向圆周弯道的圆心，充当向心力，由图可知并指向圆周弯道的圆心，充当向心力，由图可知Fmgtan， mgFFN依据牛顿第二定律有依据牛顿第二定律有 mgtanB 2000年江西省、山西省、天津市年江西省、山西省、天津市 练练习习4、如如图图所所示示，将将一一根根光光滑滑的的细细金金属属棒棒折折成成V形形，顶顶角角为为2，其其对对称称轴轴竖竖直直，在在其其中中一一边边套套上上一一个个金金属属环环P。当当两两棒棒绕绕其其对对称称轴轴以以每每秒秒n 转转匀匀速速转转动动时时，小小环环离离轴轴的距离为（的距离为（ ）(A) ； (B) ；(C) ； (D) ；解解：分析小环的受力如图示：分析小环的受力如图示：mgNFF=mg ctg=m2r=2nAO12练练习习5长长L的的轻轻杆杆两两端端分分别别固固定定有有质质量量为为m的的小小铁铁球球，杆杆的的三三等等分分点点O处处有有光光滑滑的的水水平平转转动动轴轴。用用手手将将该该装装置置固固定定在在杆杆恰恰好好水水平平的的位位置置，然然后后由由静静止止释释放放，当当杆杆到达竖直位置时，求轴对杆的作用力到达竖直位置时，求轴对杆的作用力F的大小和方向。的大小和方向。解解：根据系统机械能守恒可求出小球根据系统机械能守恒可求出小球1 1在最高点的速度在最高点的速度v ：0=mg 1/3 L-mg 2/3 L+1/2 mv2+1/2 m(2v)2，在竖直位置在竖直位置对系统对系统用牛顿第二定律，以向下为正方向，用牛顿第二定律，以向下为正方向，设轴对系统的作用力设轴对系统的作用力F F 向上，向上，得到得到 F F = = 2.4mg【例例2 2】如图所示，皮带传动装置转动后，皮带不打滑，如图所示，皮带传动装置转动后，皮带不打滑，则皮带轮上则皮带轮上A A、B B、C C三点的情况是（三点的情况是（ ）A Av vA A=v=vB B，v vB Bv vC C； B BA A=B B，v vB B = v = vC C C Cv vA A=v=vB B，B B=c c ； D DA AB B ，v vB B=v=vC C 解析：解析：A、B两点在轮子边缘上，它们的线速度等于皮带上两点在轮子边缘上，它们的线速度等于皮带上各点的线速度，所以各点的线速度，所以vA=vB；B、C两点在同一轮上，所以两点在同一轮上，所以Bc，由，由V=r知知vBvC，AB AC 【例例4】飞行员从俯冲状态往上拉时，会发生黑机，第一飞行员从俯冲状态往上拉时，会发生黑机，第一次是因为血压降低，导致视网膜缺血，第二次是因为大脑次是因为血压降低，导致视网膜缺血，第二次是因为大脑缺血，问（缺血，问（1）血压为什么会降低？（）血压为什么会降低？（2）为了使飞行这种）为了使飞行这种情况，要在如图的仪器飞行员进行训练，飞行员坐在一个情况，要在如图的仪器飞行员进行训练，飞行员坐在一个垂直平面做匀速圆周运动的舱内，要使飞行员受的加速度垂直平面做匀速圆周运动的舱内，要使飞行员受的加速度 a= 6g，则转速需为多少？（，则转速需为多少？（R20m）。）。【解析解析】 （1 1）当飞行员往上加速上）当飞行员往上加速上升，血液处于超重状态，视重增大，心脏无升，血液处于超重状态，视重增大，心脏无法像平常一样运输血液，导致血压降低。法像平常一样运输血液，导致血压降低。 （2 2）由）由a a向向=v=v2 2/R/R可得可得 v= v= =3429（m/s）