金融数学2021/6/161导论金融数学基础第一章金融市场第二章二叉树、资产组合复制和套利第三章股票与期权的二叉树模型第五章连续时间模型和Black-Scholes公式第六章Black-Scholes模型的解析方法第七章对冲第八章互债券模型和利率期权第十章货币市场和外汇风险第十一章国际政治风险分析金融数学2021/6/162导 论在人类发展史上，伴随着第一张借据的出现，金融（finance）就产生了。时至今日，金融学已形成了宏观金融学和微观金融学两个分支，其需要解决的核心问题是：如何在不确定（uncertainty）的环境下，通过资本市场对资源进行跨期的（intertemporally）最优配置（allocation）。2021/6/163如何理解：在不确定（uncertainty）的环境下，对资源进行跨期的最优配置？荒岛鲁宾逊传奇（RobinsonCrusoe）思路：求一个终身的跨期最优消费投资问题；工具：随机最优控制（Stochasticoptimalcontrol）导 论2021/6/164被萨缪尔森誉为金融理论“专家中的专家”、站在众多“巨人肩上的巨人”的莫顿(RobertCMerton)曾这样说过：优美的科学不一定是实用的，实用的科学也未必给人以美感，而现代金融理论却兼备了优美和实用。导 论2021/6/165导论一、金融与金融数学二、金融数学的发展历程三、金融数学的结构框架2021/6/166一、金融与金融数学金融是一个经济学的概念和范畴。通常，“金”是指资金，“融”是指融通，“金融”则指资金的融通，或者说资本的借贷，即由资金融通的工具、机构、市场和制度构成的有机系统，是经济系统的重要组成部分。 金融核心：在不确定的环境下，通过资本市场，对资源进行跨期（最优）配置。2021/6/1672021/6/168 宏观金融分析从整体角度讨论金融系统的运行规律，重点讨论货币供求均衡货币供求均衡、金融经济关系、通货膨通货膨胀与通货紧缩胀与通货紧缩、金融危机金融危机、金融体系与金融制度、货币政策与金融宏观调控、国际金融体系等问题。宏观金融学的核心是货币经济学。一、金融与金融数学2021/6/169金融决策分析主要研究金融主体投资决策行为及其规律，服务于决策的“金融理论由一系列概念和定量模型组成。”金融中介分析主要研究金融中介机构的组织、管理和经营。包括对金融机构的职能和作用及其存在形态的演进趋势的分析；金融机构的组织形式、经济效率、混业与分业、金融机构的脆弱性、风险转移和控制等。与经济学的发展历程相反，金融学是先有宏观部分再有微观部分。一、金融与金融数学2021/6/1610完整的现代金融学体系将以微观金融学和宏观金融学为理论基础，扩展到各种具体的应用金融学学科，而数理化（同时辅助以实证计量）的研究风格将贯穿从理论到实践的整个过程。在现代金融学的发展历程中，两次华尔街革命产生了一门新兴的学科，即金融数学。随着金融市场的发展，金融创新日益涌现，各种金融衍生产品层出不穷，这给金融数学的发展提出了更高的要求，同时也为金融数学这一门学科的发展提供了广阔的空间。 一、金融与金融数学2021/6/1611金融数学是金融学自身发展而衍生出来的一个新的分支，是数学与金融学相结合而产生的一门新的学科，是金融学由定性分析向定性分析与定量分析相结合，由规范研究向实证研究为主转变，由理论阐述向理论研究与实用研究并重，金融模糊决策向精确化决策发展的结果。一、金融与金融数学数学：研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。金融学：研究运作“金钱”事务的科学。金融数学：运用数学工具来定量研究金融问题的一门学科。与其说是一门独立学科，还不如说是作为一系列方法而存在 。2021/6/1612 金融数学是金融经济学的数学化。金融经济学的主要研究对象是在证券市场上的投资和交 易，金融数学则是通过建立证券市场的数学模型，研究证券市场的运作规律。 金融数学研究的中心问题是风险资产（包括衍生金融产品和金融工具）的定价和最优投资策略的选择，它的主要理论有：资本资产定价模型，套利定价理论，期权定价理论 及动态投资组合理论。 一、金融与金融数学2021/6/1613金融数学研究的主要内容： 风险管理 效用优化金融数学的主要工具是随机分析和数理统计（特别是非线性时间序列分析）。 一、金融与金融数学2021/6/1614一、金融与金融数学依据研究方法：2021/6/1615规范金融数学： 强调运用高等数学、最优化、概率论、微分方程等知识对金融原理进行推导。如：第一次华尔街革命（资产组合问题、资本资产定价模型）；第二次华尔街革命（期权定价公式）。实证金融数学： 强调运用统计学、计量经济学、时间序列分析等知识对金融原理进行假设检验，并得出一些经验结论。如：资产定价模型的检验、行为金融学的检验。一、金融与金融数学2021/6/1616金融数学的研究历程大致可分为三个时期：第一个时期为发展初期：代表人物有阿罗（K.Arrow）、德布鲁（G.Debreu）、林特纳（J.Lintner）、马柯维茨（H.M.Markowitz）、夏普（w.Sharp）和莫迪利亚尼（F.Modigliani）等。二、金融数学的发展历程2021/6/1617尽管早在1900年，法国人L巴恰利尔(LouisBachelier)在一篇关于金融投机的论文中，已经开始利用随机过程工具探索那时尚无实物的金融衍生资产定价问题，但巴恰利尔仅是那个时代的一颗孤星，因为在随后的半个世纪中，他的论文只是在几个数学家和物理学家手中流传（奠定了现代金融学发展的基调）。马科维茨(HMarkowitz)1952年发表的那篇仅有14页的论文既是现代资产组合理论的发端，同时也标志着现代金融理论的诞生。稍后，莫迪利亚尼和米勒(ModiglianiandMiller，1958)第一次应用无套利原理证明了以他们名字命名的M-M定理。直到今天，这也许仍然是公司金融理论中最重要的定理。同时，德布鲁(Debreu，1959)和阿罗(Arrow，1964)将一般均衡模型推广至不确定性经济中，为日后金融理论的发展提供了灵活而统一的分析框架。二、金融数学的发展历程2021/6/1618这些基础性的工作在后来的10年内得到了两个重要的发展：其一是，在马科维茨组合理论的基础上，夏普(Sharpe，1964)、林特纳(Lintner，1965)和莫辛(Mossin，1966)揭示，在市场出清状态，所有投资者都将选择无风险资产与市场组合证券的线性组合；另一重要发展是对阿罗-德布鲁理论的推广。赫什雷弗(Hirshleifer，1965，1966)显示了阿罗-德布鲁理论在一些基本的金融理论问题中的应用，并在一般均衡体系中证明了M-M定理，第一次将阿罗-德布鲁框架与套利理论联系起来。二、金融数学的发展历程2021/6/1619第二个时期为1969-1979年：这一时期是金融数学发展的黄金时代，主要代表人物有莫顿（R.Merton）、布莱克（F.Black）、斯科尔斯(M.Scholes）、考克斯（J.Cox）、罗斯（.Ross）、鲁宾斯坦（M.Rubinstein）、莱克(S.Lekoy）、卢卡斯（D.Lucas）、布雷登（D.Breeden）和哈里森（J.M.Harrison)等。二、金融数学的发展历程2021/6/1620首先，CAPM理论得到一系列的发展。在夏普-林特纳-莫辛单期CAPM基础上，布莱克(Black，1972)对借贷引入限制，推导了无风险资产不存在情况下的“CAPM”。萨缪尔森(1969)、鲁宾斯坦(Rubinstein，1974，1976)、克劳斯和利曾伯格(KrausandLitzenberger，1978)以及布伦南(Brennan，1970)等将马科维茨的静态分析扩充至离散时间的多期分析，得到了跨期CAPM。莫顿(Merton，1969，1971，1973a)则提供了连续时间的CAPM版本(称为ICAPM)。罗斯(Ross，1976a)提出与CAPM竞争的套利定价理论(APT)。值得强调的是，莫顿的这些文献不仅是建立了连续时间内最优资产组合模型和资产定价公式，而且首次将伊藤积分引入经济分析。二、金融数学的发展历程2021/6/1621二、金融数学的发展历程1970年代最具革命性意义的事件无疑当数布莱克和斯科尔斯(BlackandScholes，1973)推导出简单的期权定价公式，以及莫顿(Merton，1973b)对该定价公式的发展和深化。在这个阶段的后期，哈里森和克雷普斯(HarrisonandKreps，1979)发展了证券定价鞅理论(theoryofmartingalepricing)，这个理论在目前也仍然是金融研究的前沿课题。同一时期另一引人注目的发展是非对称信息分析方法开始使用。2021/6/1622金融数学发展的第三个时期：1980年至今是金融数学发展的第三个时期，是成果频出、不断成熟完善的时期。该期间的代表人物有达菲（D.Duffie）、卡瑞撤斯（I.Karatzas）、考克斯（J.Cox）、黄（C.F.Huang）等。二、金融数学的发展历程2021/6/16231980年代以后，资产定价理论和不完全信息金融市场分析继续发展。在资产定价理论方面，各种概念被统一到阿罗-德布鲁一般均衡框架下，显得更为灵活和适用。鞅定价原理逐渐在资产定价模型中占据了中心位置，达菲和黄(DuffleandHuang，1985)等在此基础上大大地推广了布莱克-斯科尔斯模型。在非对称信息分析方面，非合作博弈论及新产业组织理论的研究方法得到广泛应用。戴蒙德(Diamond，1984)在利兰-派尔模型基础上，进一步揭示了金融中介因风险分散产生的规模经济利益，并提出了金融中介代理最终贷款者监督借款企业的效率优势。戴蒙德和迪布维克(DiamondandDybvig，1983)建立了提供流动性调节服务的银行模型；戴蒙德(1989)、霍姆斯特龙和梯罗尔(HolmstromandTirole，1993)又以道德危险(moralhazard)现象为基础，解释了直接金融和中介金融共存的理由。至此，金融中介最基本的经济功能得到了较为完整的模型刻画。二、金融数学的发展历程2021/6/1624三、金融数学的结构框架2021/6/1625第一部分是金融数学方法篇，阐述了金融数学的基本数学方法和计量经济学在金融数学中的应用，重点讲述了微积分、线性代数、概率论、计量经济学在金融数学中的应用。第二部分是金融数学方法核心篇，阐述了资本资产定价模型和期权定价模型。第三部分是金融数学应用篇，阐述了金融数学在货币市场、外汇市场、证券市场的应用。三、金融数学的结构框架2021/6/1626补充： 金融数学基础第一节微积分在数理金融中的应用第二节线性代数在数理金融中的应用第三节随机过程在数理金融中的应用2021/6/1627第三节随机过程在数理金融中的应用一、随机过程的含义1.如果对变化过程的全过程做一次观察,得到一个位置与时间关系的函数x1(t ),若再次观察，又得到函数x2(t ),因而得到一族函数.2.如果在时刻t观察质点的位置x(t ),则x(t )是一个随机变量,这样对于每个时刻t便得到一个随机变量X(t ),于是就得到一族随机变量X(t),t0（最初始时刻为t=0）,它描述了此随机的运动过程.2021/6/1628二、随机过程的定义二、随机过程的定义2021/6/16292021/6/1630三、随机过程的分类第三节随机过程在数理金融中的应用1按状态空间按状态空间I和时间和时间T是可列集还是连续集分类是可列集还是连续集分类：(1).连续型随机过程:T是连续集,且tT,X(t)是连续型随机变量,则称过程X(t),tT为连续型随机过程.(2).离散型随机过程:T是连续集，且tT,X(t)是是离散型随机变量，则称过程X(t),tT为离散型随机过程。2021/6/1631第三节随机过程在数理金融中的应用(3).连续型随机序列:T是可列集,且tT,X(t)是连续型随机变量，则称过程X(t),tT为连续型随机序列.(4).离散型随机序列离散型随机序列:T是可列集是可列集,且且 t T,X(t)为离散型随机变量为离散型随机变量,则则称过程称过程X(t),t T为离散型随机序列。为离散型随机序列。通常通常T取为取为T=0,1,2或或T=0,1，2,此时随机序列此时随机序列常记成常记成Xn,n=0,1,或或Xn,n 0。2021/6/1632在时间和状态上都连续连续型随机过程2021/6/1633在时间上连续，状态上离散离散型随机过程2021/6/1634在时间上离散，状态上连续连续型随机序列2021/6/1635在时间上离散，状态上离散离散参数链2021/6/16362按分布特性分类：按分布特性分类：依照过程在不同时刻状态的统计依赖关系分类。 独立增量过程 马尔可夫过程 平稳过程等等第三节随机过程在数理金融中的应用2021/6/1637四、四、随机过程的统计描述随机过程的统计描述一）、有限维分布函数族一）、有限维分布函数族对任一固定时刻，随机过程是一随机变量，对任一固定时刻，随机过程是一随机变量，这时可用研究随机变量的方法研究随机过程的这时可用研究随机变量的方法研究随机过程的统计特性，但随机过程是一族随机变量，因此，统计特性，但随机过程是一族随机变量，因此，对随机过程的描述，需用有限维分布函数族。对随机过程的描述，需用有限维分布函数族。有限个随机变量统计规律联合分布函数随机过程统计规律有限维分布函数族2021/6/16382021/6/16392021/6/1640设X(t),tT是随机过程，如果对任意tT，EX(t)存在，则称函数为X(t)的均值函数，反映随机过程在时刻t的平均值。1、均值函数、均值函数二）、随机过程的数字特征二）、随机过程的数字特征2021/6/16412021/6/16422 2随机过程的其他数字特征随机过程的其他数字特征为X( (t) ),tT的均方值函数均方值函数. 为X( (t) ),tT的方差函数方差函数. . 为X( (t) ),tT的协方差函数协方差函数. 为X( (t) ),tT的均值函数均值函数. 第三节随机过程在数理金融中的应用Rx(s,t)=EX(s)X(t)为X(t),tT的自相关函数，简称相关函数相关函数2021/6/1643均值函数表示X(t),tT在各时刻波动的中心；方差函数表示X(t),tT在各时刻关于均值函数的平均偏离程度；Rx(s,t)，Cx(s,t)表示X(t),tT在两个不同时刻状态的统计依赖关系。第三节随机过程在数理金融中的应用释义：2021/6/1644六、几类随机过程第三节随机过程在数理金融中的应用（一）平稳过程严平稳随机过程弱平稳随机过程2021/6/1645严平稳随机过程1定义定义：设X(t),tT是随机过程,如果对于任意的常数h和任意正整数n,及任意的n维随机向量(X(t1),X(t2),X(tn)和(X(t1+h),X(t2+h),X(tn+h)具有相同的分布,则称随机过程X(t),tT具有平稳性,并同时称此过程为严平稳过程。平稳过程的参数集T,一般为(-,+),0,+,0,1,2,0,1,2,以下如无特殊说明，均认为参数集T=(-,+).当定义在离散参数集上时,也称过程为严平稳时间序列。第三节随机过程在数理金融中的应用2021/6/16462严平稳过程的数字特征严平稳过程的数字特征定理定理如果X(t),tT是严平稳过程，且对任意的tT，EX2(t)+（二阶矩过程）,则有(1)EX(t)=常数，tT；(2)EX(s)X(t)只依赖于t-s,而与s,tT的具体取值无关。第三节随机过程在数理金融中的应用2021/6/1647证：(1)由Cauchy-Schwarze不等式EX(t)2EX2(t)+,所以EX(t)存在。在严平稳过程的定义中，令h=-s,由定义X(s)与X(0)同分布，所以EX(t)=EX(0)为常数。一般记为X.第三节随机过程在数理金融中的应用2021/6/1648(2)由由Cauchy-Schwarze不等式不等式EX(s)X(t)2 EX2(s)EX2(t)+ ,所以所以EX(s)X(t)存在。存在。在严平稳过程的定义中，令在严平稳过程的定义中，令h=-s,由定义由定义(X(s),X(t)与与(X(0),X(t-s)同分布，即有同分布，即有EX(s)X(t)=EX(0)X(t-s),即即Rx(t,t+ )=EX(0)X( )=Rx( )所以，所以，Rx(s,t)只依赖于只依赖于t-s,而与而与s,t T的具体取值无关。的具体取值无关。进而，进而，Cx( )=EX(t)- xX(t+ )- x=Rx( )- x2只与只与 有关；有关； x2=Cx(0)=Rx(0)- x2为常数为常数.第三节随机过程在数理金融中的应用2021/6/1649(弱弱)平稳过程平稳过程1定义定义设X(t),tT是二阶矩过程(EX2(t)+),如果(1)EX(t)=x(常数)，tT；(2)对任意的t,t+T,Rx()=EX(t)X(t+)只依赖于。则称X(t),tT为宽平稳过程,简称为平稳过程.第三节随机过程在数理金融中的应用2021/6/1650特别地，当T为离散参数集时，若随机序列Xn(t)满足E(Xn2)+,以及(1)EXn= X(常数)，nT；(2)R X(m)=EXnXn+m只与m有关。称Xn为宽平稳随机序列或宽平稳时间序列。第三节随机过程在数理金融中的应用2021/6/16512严平稳和宽平稳的关系严平稳和宽平稳的关系(1)严平稳过程不一定是宽平稳过程,因为严平稳的过程不一定是二阶矩过程,但当严平稳过程是二阶矩过程时,则它一定是宽平稳过程。(2)宽平稳过程不一定是严平稳过程,但对于正态过程,两者是等价的。第三节随机过程在数理金融中的应用2021/6/1652（二）独立增量过程1定义定义设X(t),t0为一随机过程,对于0st,称随机变量X(t)-X(s)为随机过程在区间s,t上的增量.若对于任意的正整数n及任意的0t0t1t2tn,n个增量X(t1)-X(t0)，X(t2)-X(t1)，X(tn)-X(tn-1)相互独立，称X(t),t0为独立增量过程。第三节随机过程在数理金融中的应用2021/6/1653第三节随机过程在数理金融中的应用若对于任意的实数s, t 和0s+ht+h,X(t+h)X(s+h)与X(t)X(s)具有相同的分布,则称增量具有平稳性,并称相应的独立增量过程为齐次的或时齐的。2021/6/16542独立增量过程的性质独立增量过程的性质(1)独立增量过程X(t),t0在X(0)=0的条件下,X(t)的有限维分布函数可以由增量X(t)-X(s)， 0st的分布确定.第三节随机过程在数理金融中的应用2021/6/1655证：令Yk=X(tk )-X(tk-1),k=1,2,n. t0 0=0. 由条件，增量的分布已知，且具有独立增量，则Y1,Y2,Yn的联合分布即可确定，而 X(t1)=Y1，X(t2) =Y1+Y2，X(tn) =Y1+Y2+Yn，即X(tk) 是Y1，Yn的线性函数，Y1,Y2,Yn的联合分布确定了X(t)的有限维分布函数。第三节随机过程在数理金融中的应用2021/6/1656(2)独立增量过程X(t),t0在X(0)=0的条件下,X(t)的协方差函数为第三节随机过程在数理金融中的应用2021/6/1657第三节随机过程在数理金融中的应用证明: 记Y( (t ) )=X( (t) )-X( (t) ),当X( (t) )具有独立增量时， Y( (t ) )也具有独立增量；且Y(0)(0)=0,EY( (t ) )=0, DY( (t)= )= EY2( (t ) ).所以，当0st 时，有 2021/6/1658于是可知对于任意的s,t0,协方差函数可表示为： 同理，当0ts时，有第三节随机过程在数理金融中的应用2021/6/1659定义：设定义：设X(t),t T是随机过程，若对任意正整是随机过程，若对任意正整数数n及及t1,t2, ,tn T，(X(t1),X(t2), ,X(tn)是是n维维正态随机变量，则称正态随机变量，则称X(t),t T是正态过程或高是正态过程或高斯过程。斯过程。特点：特点：1.在通信中应用广泛；在通信中应用广泛；2.正态过程只要知道其均值函数和协方差函数，正态过程只要知道其均值函数和协方差函数，即可确定其有限维分布。即可确定其有限维分布。正态过程正态过程2021/6/1660(正态过程的一种特殊情况正态过程的一种特殊情况)1、物理背景、物理背景18271827年英国植物学家罗伯特年英国植物学家罗伯特. .布朗发现的现象：布朗发现的现象：沉浸在液体或气体中质点不停地作不规则过沉浸在液体或气体中质点不停地作不规则过去去, ,只有在显微镜上才看得清的质点运动只有在显微镜上才看得清的质点运动, ,称称为布朗运动。为布朗运动。维纳过程维纳过程2021/6/16612021/6/1662(3).(3).质点的运动完全由不规则分子撞击而引起，质点的运动完全由不规则分子撞击而引起，在不重迭区间上碰撞次数与大小是独立的在不重迭区间上碰撞次数与大小是独立的, ,故在不故在不重迭区间上质点的位移是独立的重迭区间上质点的位移是独立的, ,可理解为有均匀可理解为有均匀的独立增量。这样导致了维纳过程的定义。的独立增量。这样导致了维纳过程的定义。注注: :维纳是首先从数学上研究布朗运动的人之一。维纳是首先从数学上研究布朗运动的人之一。2021/6/16632021/6/16642021/6/16652维纳过程的性质维纳过程的性质(1).维纳过程W(t)，t0为正态过程(每一个有限维分布均为正态分布)。第三节随机过程在数理金融中的应用2021/6/1666 它是独立正态随机变量之和，所以它是正态随机变量，由正态分布的性质知(W(t1)，W(t2)，W(tn)服从n维正态分布，因此W(t)为正态过程。 第三节随机过程在数理金融中的应用证明:对于任意正整数n和任意时刻t1,t2,tn(0t1t2ST2.9ST2.9卖武钢认购权证（执行价2.9元）C2.9-ST2.9-ST0买武钢股票-S0STSTST买武钢认沽权证（执行价3.13元）-P03.13-ST3.13-ST借入现金2.9/(1+r)t/365-2.9-2.9-2.9现金流C-P-S0+2.9/(1+r)t/36503.13-ST0.232021/6/16394附：期权的简单特征2021/6/16395命题1:对于0,T上具有相同执行价格q的欧式和美式期权，存在附：期权的简单特征2021/6/16396命题2:若在0,T上，相应的股票无红利配发，则存在：附：期权的简单特征2021/6/16397命题3:若在0,T上，相应的股票无红利配发，则存在：附：期权的简单特征2021/6/16398命题4:若在0,T上，相应的股票无红利配发，则存在：附：期权的简单特征2021/6/16399推论1:若在0,T上，相应的股票无红利配发，则美式看涨期权不应提前执行。推论2:若在0,T上，相应的股票无红利配发，对于相同执行价格和相同到期日的美式和欧式看涨期权存在：附：期权的简单特征2021/6/16400命题5:在0,T上，相应的股票无红利配发，如果在美式看跌期权有效的有效期内的某个存在则该美式看跌期权应该在时刻执行。附：期权的简单特征2021/6/16401命题6:若在0,T上，相应的股票无红利配发，则欧式看涨和看跌期权的价格满足：习题:若看涨和看跌期权的行权价不同，则这一关系该如何表达？附：期权的简单特征2021/6/16402命题7:若在0,T上，相应的股票无红利配发，则美式看涨和看跌期权的价格满足：附：期权的简单特征2021/6/16403命题8:若在0,T上，相应的股票有红利配发，记：附：期权的简单特征2021/6/16404附：期权的简单特征2021/6/16405命题9:若标的股票在0,T上的，相应的股票有红利配发，记：附：期权的简单特征2021/6/16406附：期权的简单特征2021/6/16407附：期权的简单特征2021/6/16408附：期权的简单特征2021/6/16409第七节二叉树模型和连续时间模型一、二项分布（5-18）当n足够大时，可近似用正态分布来代替二项分布2021/6/16410第七节二叉树模型和连续时间模型二、多期二叉树的近似若股票价格的漂移率是波动率是则二叉树的节点上若股价上涨，则为若股价下跌，则为对一固定的时刻t，在时刻t的节点的股价只与在n期内上涨次数Xn有关。2021/6/16411第七节二叉树模型和连续时间模型则当n足够大时2021/6/16412第七节二叉树模型和连续时间模型因为：2021/6/16413第七节二叉树模型和连续时间模型于是可以令2021/6/16414上式近似所得的股价模型和几何布朗运动一致。既然有几何布朗运动模型为何还要二叉树算法。几何布朗运动算期望非常困难第七节二叉树模型和连续时间模型2021/6/16415第七节二叉树模型和连续时间模型三、符合几何布朗运动的二叉树构造对应的二叉树分支概率（）2021/6/16416第七节二叉树模型和连续时间模型习题：设某一股票的年波动率，对应的股票期权将在两个月内到期，因此需要一个40期的二叉树来表示这一段时间内的股价波动，设无风险利率。如何构造？2021/6/16417第八节几何布朗运动股价模型应用的注意事项2021/6/16418第八节几何布朗运动股价模型应用的注意事项当很大时，的概率分布极不均匀。2021/6/16419第六章Black-Scholes模型的解析方法第一节微分方程推导思路第二节展开第三节展开式的简化第四节投资组合的构造方法第五节 Black-Scholes微分方程求解方法第六节期货期权2021/6/16420第一节微分方程的推导思路牛顿：给定任何与时间相关的变量，可以采用微分方程描述并求解；反之，亦然。2021/6/16421假设： 股票价格遵循、为常数的随机过程 允许使用全部所得卖空衍生证券 没有交易费用或税收，所有证券都是高度可分的 在衍生证券的有效期内没有红利支付 不存在无风险套利机会 证券交易是连续的 无风险利率r为常数且对所有到期日都相同 第一节微分方程的推导思路2021/6/16422第一节微分方程的推导思路则思路如下：2021/6/16423第一节微分方程的推导思路构造B1ack-Scholes微分方程的思路包括四步：第1步：将函数关于和进行泰勒级数展开；第2步：在展开的泰勒级数中，替代方程中；第3步：进行代数变换，包括简化布朗项和忽略高阶项；第4步：令与复制的资产组合相等。于是得到想要的微分方程。前三步纯粹是数学上的推导，关键的金融上的含义则在最后一步。2021/6/16424一元函数的泰勒公式一元函数的泰勒公式第二节展开2021/6/16425第二节展开2021/6/16426二元函数的泰勒公式第二节展开2021/6/16427其中其中表示表示表示表示第二节展开2021/6/16428一般地一般地, ,记号记号第二节展开2021/6/16429第二节展开泰勒展开（原点，麦克劳林展开）2021/6/16430（6-2）（6-3）第二节展开写成微分形式对应得2021/6/16431第三节展开式的简化2021/6/16432第三节展开式的简化2021/6/16433第三节展开式的简化2021/6/16434（6-4）（6-5）第三节展开式的简化对dV进行整理得将Z2用其期望值1来代替，得2021/6/16435第四节 投资组合的构造方法投资组合目的：寻找一种适当的股票债券比例，使得任意时刻投资组合的净值正好是期权的价格。令2021/6/16436第四节 投资组合的构造方法（6-7）则（6-6）满足投资组合的要求其中Pt为单位债券的价格于是得：？2021/6/16437由于：于是式（6-7）可变为：第四节 投资组合的构造方法？令上式的右边=式（6-5）的右边，得2021/6/16438（6-8）第四节 投资组合的构造方法令：2021/6/16439（6-9）第四节 投资组合的构造方法于是由于将其代入得2021/6/16440（6-10）第四节 投资组合的构造方法这是著名的关于股票期权价格的Black-Scholes偏微分方程，这一方程的导出被认为是金融理论的一次重大突破。2021/6/16441为了进一步得到诸如欧式看涨期权等衍生产品的价格，方程（6-10）必须结合边界条件进行求解。欧式看涨期权的边界条件有三个：1.损益状态：这一条件的含义相当明确，期权到期时候的损益就是它的价格。2.对于完全实值(deepinthemoney)状态的期权有由于此时期权的价格接近，因此这一比率为1。 3.意味着对于，有股票价格一旦为0，一般不会再回到原状态。第四节 投资组合的构造方法2021/6/16442第五节Black-Scholes微分方程求解方法 求解微分方程的最简单的方法就是对解做出猜测，然后代入验算。设想：代入微分方程，并检验它确实满足微分方程(6-10)。 如何验证？（6-10）2021/6/16443第五节Black-Scholes微分方程求解方法一、现金或无价值看涨期权（现金0-1期权）函数具有如下性质：若和为两个正数，b为一常数，则以d(t,S)代替标准正态分布中的x2021/6/16444定义：方程(6-12)几乎就是一个金融衍生产品的价格。（6-12）第五节Black-Scholes微分方程求解方法2021/6/16445事实上：如果如果将到期时具有这样特性的金融产品定义为：现金或无价值看涨期权（现金0-1期权）第五节Black-Scholes微分方程求解方法2021/6/16446该期权在到期时刻的价格如下：)，则期权的期末价值为l元；)，则期权的期末价值为0。如果股票价格表现好(如果股票价格表现不好(第五节Black-Scholes微分方程求解方法2021/6/16447第五节Black-Scholes微分方程求解方法式（6-12）是否就是某一金融衍生品的价格？验证：得：如何验证？2021/6/16448第五节Black-Scholes微分方程求解方法关键：2021/6/16449第五节Black-Scholes微分方程求解方法要使（6-10）成立，则需对式(6-12)进行修正，即此时，V仍然满足边界要求，而增加的因子er(T-t)使得V能满足B-S方程（6-10）。但，即使上式成立，也不一定满足式（6-10）2021/6/16450因此，价格为的股票在时刻t的现金或无价值看涨期权的价格。 （6-14）第五节Black-Scholes微分方程求解方法2021/6/16451第五节Black-Scholes微分方程求解方法二、资产或无价值看涨期权（股票0-1期权）对方程(6-12)的一个修正是：2021/6/16452如果如果同样，任意时刻，如果，则必有如果，则满足这类边界条件和到期特征的产品称为股票0-1期权(stockornothingderivative)，第五节Black-Scholes微分方程求解方法2021/6/16453股票0-1期权(stockornothingderivative)，其在时刻的损益如下：如果股票价格表现好()，则期权的期末价值为股票；如果股票价格表现不好()，则期权的期末价值为0。第五节Black-Scholes微分方程求解方法2021/6/16454于是股票0-1期权的价格可以简单写为：（6-15）定义第五节Black-Scholes微分方程求解方法要使式（6-10）仍然成立，则2021/6/16455三、欧式看涨期权第五节Black-Scholes微分方程求解方法欧式看涨期权，通过投资组合来实现持有一份股票0-1期权，执行价设定为X，同时卖出X份现金0-1期权则任何时刻投资的净头寸2021/6/16456第五节Black-Scholes微分方程求解方法到期时：如果股票表现不好(SX)，则损益就是S-X于是新构造的资产组合就是欧式看涨期权到期时的损益。2021/6/16457第六节期货期权一、期货合约的看涨期权 若期货合约的价格为F，则将其代入普通看涨期权的Black-Scholes公式，得2021/6/16458第六节期货期权（6-17）期货看涨期权2021/6/16459第六节期货期权其中2021/6/16460例：若股票指数点位是702，其波动率估计值，指数期货合约将在3个月后到期，并在到期时用美元按期货价格结算，期货合约的价格是715美元。关于期货的看涨期权到期时间与期货相同，执行价是740美元短期利率为7%。问这一期权的理论价格是多少？第六节期货期权2021/6/16461第六节期货期权二、期货期权的偏微分方程若期货合约的价格为F，则假设，关于期货的期权价格表达式为该价格应满足微分方程（6-10）2021/6/16462（6-18）第六节期货期权于是将上述各项代入方程（6-10）得期货期权的偏微分方程：2021/6/16463第七章对冲第一节德尔塔对冲第二节隐含波动率第三节希腊字母第四节德尔塔对冲法则的推导第五节购买股票后的德尔塔对冲2021/6/16464第一节德尔塔对冲由于期权价格变化幅度与标的资产价格变化幅度不同：2021/6/16465第一节德尔塔对冲一、对冲、动态规划与理想条件下Black-Scholes运作机制投资组合（净头寸为0）：买入股票（价格S）：卖空期权（价格V）： 1借入现金(无风险利率r)：C投资组合的价值2021/6/16466第一节德尔塔对冲对冲思路：找到一个，使得：展开V(S,t)得2021/6/16467第一节德尔塔对冲由Black-Scholes方程得于是2021/6/16468第一节德尔塔对冲若则2021/6/16469第一节德尔塔对冲即：由于则对于所有的t,表明：不管T时刻股票价格ST是多少，股票头寸与期权头寸处于平衡状态。2021/6/16470二、Black-Scholes与现实世界的差距必须瞬时无限次地调整资产组合；计算所得的买卖股票数量并不一定是整数；(t)是时间的函数；资产组合过程中存在买卖价差和交易成本；第一节德尔塔对冲2021/6/16471三、德尔塔对冲的步骤第一步，计算(t)通过Black-Scholes公式得(t)=N(d1)第二步，根据ST调整(t)第一节德尔塔对冲2021/6/16472四、对冲的缺陷高买低卖的模式存在交易成本第一节德尔塔对冲2021/6/16473对冲一份期权需要股股票对冲；一股股票需要1/份期权对冲第一节德尔塔对冲2021/6/16474例：卖出A公司股票期权1000份，已知参数为S0=50,X=40,r=0.05,=0.30,T=1年，一周后股价为51.5，两周后股价为49。若每周进行一次调整，试进行风险对冲。第一节德尔塔对冲2021/6/16475第一节德尔塔对冲解：到期周数股价d1=N(d1)股票股数52501.0600.85548555251.51.1640.877887850491.000040.84138412021/6/16476第二节隐含波动率一、历史波动率历史波动率是指某段预先给定时间区间上实际市场价格的标准差。2021/6/16477二、隐含波动率第二节隐含波动率若已知欧式看涨期权的信息S0=今日股票价格K=执行价格T=到期时间r=无风险利率V=今日期权的市场价格2021/6/16478根据第二节隐含波动率解得即为隐含波动率2021/6/16479三、波动率微笑Black-Scholes公式假定（历史）波动率在期权的存续期间为常数。理论上，对于同一标的资产不同存续期、不同执行价的期权的波动率是相同的第二节隐含波动率2021/6/16480第二节隐含波动率但实际计算结果并不是这样2021/6/16481第三节希腊字母看涨期权C(S,t)的级数展开Black-Scholes方程2021/6/16482第三节希腊字母上述两个方程中，有三项同时出现，并且都在期权定价与对冲中具有重要作用。2021/6/16483第三节希腊字母Black-Scholes方程2021/6/16484第三节希腊字母2021/6/16485第三节希腊字母一、参数的意义参数既可以用来作为对市场变化的反应，也可以用来进行更灵敏和更深入的对冲。2021/6/16486第三节希腊字母2021/6/16487第三节希腊字母2021/6/16488第三节希腊字母二、参数的进一步分析于是，在原先期权的基础上可以计算一个“新”的期权价格若：S=43,X=40,=0.1414,r=0.05,T=1年则，C=5.56,=0.825,=0.143,=-3.06352021/6/16489第三节希腊字母3周后，若股价S=44，则若直接用Black-Scholes公式计算得6.2762021/6/16490第四节德尔塔对冲法则的推导2021/6/16491第四节德尔塔对冲法则的推导2021/6/16492第五节购买股票后的德尔塔对冲 对1股股票进行对冲，采用的方法是卖出1/份看涨期权。 卖出看涨期权以对资产组合进行对冲时，可以有不同的选择，因为不同执行价格的期权价格不同。 合理的选择当然是使成本最低，即通过选择执行价，使得对冲成本最低。2021/6/16493第五节购买股票后的德尔塔对冲2021/6/16494当X变化时，N(d2)/N(d1)并不大幅变化，因此要使对冲成本最小，应选择较大的X，即选择虚值期权。随着时间的推移，为了保持对冲状态，需要定期调整对冲值Ht，对于瞬间的情形则需要连续调整。由于股票价格较高时，=N(d1)和都较大，和看涨期权的价格都上升，因此对冲股票需要的期权数量(1/)将随着看涨期权价格的上升而下降。这表明对冲是朝着交易有利的方向进行的。第五节购买股票后的德尔塔对冲2021/6/16495第五节购买股票后的德尔塔对冲2021/6/16496当期权的价格上升后，卖出期权；当期权价格下跌后，买入期权。任何时刻，对冲交易的支出、交易的赢利再加上清算价格Ht，其期望值正好等于拟对冲的股票价格和。第五节购买股票后的德尔塔对冲2021/6/16497第八章互换第一节利率和远期利率第二节零息券第三节互换简介第四节互换价值第五节互换定价第六节互换应用2021/6/16498第一节利率和远期利率一、利率如果说货币上商品的话，则利率就是货币商品的成本（价格）；货币资本支撑着经济的发展，而资本通常是靠借入的，因此债券市场在经济发展中具有举足轻重的地位。市场首先确定政府债券的价格，其他所有债券的价格都是根据政府债券的价格来确定的。2021/6/16499第一节利率和远期利率收益率：对零息债券而言，由债券目前的价格和面值（到期价格）而定。面值为1元，现价为P(0,T)，收益率为Y(T)，则2021/6/16500第一节利率和远期利率二、远期利率f(0,s)：当前时刻t=0，观测的s时刻的利率，则解得：2021/6/16501第二节零息券一、零息券零息券(zero-couponbond,ZCB):当前以一固定价格买入债券，到期后（期限T）可以赎回1美元。短期利率（shortrate）为r：若短期利率（shortrate）为时间t的函数，则2021/6/16502第二节零息券这表明了利率可确定的情况下，r(t)与P(t)间的关系。现实世界中，若利率不是确定函数呢？2021/6/16503第二节零息券二、远期利率和零息券则得：2021/6/16504第二节零息券更一般地：2021/6/16505第二节零息券三、零息券的远期价格定理：结论：零息券的远期价格可由远期利率、收益率曲线、零息券目前的价格决定。如何证明？2021/6/16506第七节利率理论 时间就是金钱，度量时间价值的一个工具就是利率，它通过对现金（或债券）的“标价”（间接地）给出了时间价值。而现金或债券就是时间价值的载体。 在利率理论中主要有两个因素在起作用： 期限的长短 利率的大小2021/6/16507第七节利率理论作为利率的载体，考虑一种贴现债券，发行日期为0，到期日期为T，它在任何时刻t0,T的价值为P(t,T)=P(t；0,T)(称为该贴现债券的价格)，在到期时刻T，它的价值为P(T,T)=1，称这样的债券为T-债券。通常2021/6/16508第七节利率理论对于给定的一种贴现债券，重要的是债券所体现的平均回报率。若所考察的债券是无风险的，因此可以认为它像银行存款一样，如果所考察的债券的利率为常数r0(连续复利)：从而注意：利率一般不是常数，因此上式实际上并不能作为一种利率，但它是一个非常重要的量。2021/6/16509第七节利率理论定义债券的收益率这是债券在时间t,T上按照连续复利计算的平均利率。注意：收益率关于到期时刻T，可能上升，也可能下降，与市场利率的期限结构有密切的关联。这一点与债券的价格P(t,T)不同。2021/6/16510第七节利率理论则瞬时利率（短期利率，假定极限存在）上式表明，由贴现债券的价格可以确定短期利率，但从短期利率则一般不能唯一确定出债券价格。考察当前瞬时的资金价格2021/6/16511第七节利率理论命题：设0tT10），远期利率f(t,T)大于收益率；反之，远期利率小于收益率。2021/6/165162024/7/24517 苹果和橘子的互换苹果橘子Andy1015Betty1510?苹果橘子Andy1015Betty1110?2021/6/16517互换的历史n互换市场的起源可以追溯到20世纪70年代末，当时的货币交易商为了逃避英国的外汇管制而开发了货币互换。n而1981年IBM与世界银行之间签署的利率互换协议则是世界商第一份利率互换协议。从那以后，互换市场发展迅速。n可以说，这是增长速度最快的金融产品市场。第三节互换简介2021/6/16518二、比较优势理论与互换原理二、比较优势理论与互换原理比较优势（ComparativeAdvantage）理论是英国著名经济学家大卫李嘉图（DavidRicardo）提出的。他认为，在两国都能生产两种产品，且一国在这两种产品的生产上均处于有利地位，而另一国均处于不利地位的条件下，如果前者专门生产优势较大的产品，后者专门生产劣势较小（即具有比较优势）的产品，那么通过专业化分工和国际贸易，双方仍能从中获益。第三节互换简介2021/6/16519互换的条件n李嘉图的比较优势理论不仅适用于国际贸易，而且适用于所有的经济活动。 n互换是比较优势理论在金融领域最生动的运用。根据比较优势理论，只要满足以下两种条件，就可进行互换：双方对对方的资产或负债均有需求；双方在两种资产或负债上存在比较优势。第三节互换简介2021/6/16520三、互换市场的特征三、互换市场的特征1、互换不在交易所交易，主要是通过银行进行场外交易。2、互换市场几乎没有政府监管。第三节互换简介2021/6/16521互换市场的内在局限性n首先，为了达成交易，互换合约的一方必须找到愿意与之交易的另一方。如果一方对期限或现金流等有特殊要求，常常会难以找到交易对手。 n其次，由于互换是两个对手之间的合约，因此，如果没有双方的同意，互换合约是不能更改或终止的。n第三，对于期货和在场内交易的期权而言，交易所对交易双方都提供了履约保证，而互换市场则没有人提供这种保证。因此，互换双方都必须关心对方的信用。第三节互换简介2021/6/16522四、金融互换的功能四、金融互换的功能 n1、通过金融互换可在全球各市场之间进行套利，从而一方面降低筹资者的融资成本或提高投资者的资产收益，另一方面促进全球金融市场的一体化。n2、利用金融互换，可以管理资产负债组合中的利率风险和汇率风险。n 3、金融互换为表外业务，可以逃避外汇管制、利率管制及税收限制。 第三节互换简介2021/6/16523五、互换的信用风险五、互换的信用风险 由于互换是两个公司之间的私下协议，因此包含信用风险 。当互换对公司而言价值为正时，互换实际上是该公司的一项资产，同时是合约另一方的负债，该公司就面临合约另一方不执行合同的信用风险。将互换合约的信用风险和市场风险区分开来是十分重要的。信用风险是互换合约对公司而言价值为正时候对方不执行合同的风险，而市场风险是由于利率、汇率等市场变量发生变动引起互换价值变动的风险。市场风险可以用对冲交易来规避，信用风险则比较难规避。第三节互换简介2021/6/16524金融互换的种类金融互换的种类 一、利率互换一、利率互换n利率互换（InterestRateSwaps）是指双方同意在未来的一定期限内根据同种货币的同样的名义本金交换现金流，其中一方的现金流根据浮动利率计算出来，而另一方的现金流根据固定利率计算。n常见期限包括1年、2年、3年、4年、5年、7年与10年，也偶见30年与50年的利率互换。第三节互换简介2021/6/16525利率互换的原因利率互换的原因双方进行利率互换的主要原因是双方在固定利率和浮动利率市场上具有比较优势。假定A、B公司都想借入5年期的1000万美元的借款，A想借入与6个月期相关的浮动利率借款，B想借入固定利率借款。但两家公司信用等级不同，故市场向它们提供的利率也不同。第三节互换简介2021/6/16526固定利率固定利率浮动利率浮动利率A公司公司10.006个月个月LIBOR0.30B公司公司11.26个月个月LIBOR1.00借款成本差额借款成本差额1.20.7A较较B在固定利率和浮动利率方面均有绝对优势在固定利率和浮动利率方面均有绝对优势假设假设A、B都想借入期限为都想借入期限为5年的年的1000万美元，万美元，A在固定利率借款方面有比较优势，在固定利率借款方面有比较优势，B在浮动利率方面有比较优势在浮动利率方面有比较优势A以年利率以年利率10的固定利率借入的固定利率借入5年的年的1000万美元万美元B以以6个月个月LIBOR1.00借入美元借入美元1000万万2021/6/16527固定利率固定利率浮动利率浮动利率A公司公司10.006个月个月LIBOR0.30B公司公司11.26个月个月LIBOR1.00借款成本差额借款成本差额1.20.7n双方总的筹资成本降低了双方总的筹资成本降低了0.5n11.26个月个月LIBOR0.3010.006个月个月LIBOR1.000.5n这是互换利益这是互换利益n假设由双方各分享一半假设由双方各分享一半第三节互换简介2021/6/16528LIBOR的浮动利率的浮动利率0.05A公司B公司10的固定利率的固定利率LIBOR1浮动利率浮动利率10的固定利率的固定利率利率互换流程图利率互换流程图第三节互换简介2021/6/16529二、货币互换二、货币互换n货币互换（CurrencySwaps）是将一种货币的本金和固定利息与另一货币的等价本金和固定利息进行交换。n货币互换的主要原因是双方在各自国家中的金融市场上具有比较优势。n假定英镑和美元汇率为1英镑=1.5000美元。A想借入5年期的1000万英镑借款，B想借入5年期的1500万美元借款。市场向它们提供的固定利率如表所示。第三节互换简介2021/6/16530双方的比较优势市场向市场向A、B公司提供的借款利率公司提供的借款利率美元英镑A公司8.0%11.6%B公司10.0%12.0%此表中的利率均为一年计一次复利的年利率。第三节互换简介2021/6/16531货币互换的流程图10.8%英镑借款利息8%美元借款利息8%美元借款利息12%英镑借款货币互换流程图货币互换流程图 A公司 B公司 第三节互换简介2021/6/165322024/7/24533三、其它互换三、其它互换1、交叉货币利率互换（CrossCurrencyInterestRateSwaps）。2、增长型互换（AccretingSwaps）、减少型互换（AmortizingSwaps）和滑道型互换（RollerCoasterSwaps）。3、基点互换（BasisSwaps）。4、可延长互换（ExtendableSwaps）和可赎回互换。5、零息互换（ZeroCouponSwaps）。6、后期确定互换（BackSetSwaps）7、差额互换（DifferentialSwaps）8、远期互换（ForwardSwaps）9、互换期权（Swaption）10、股票互换（EquitySwaps）2021/6/16533一、利率互换一、利率互换（一）贴现率（一）贴现率：在给互换和其它柜台交易市场上的金融工具定价的时候，现金流通常用LIBOR零息票利率贴现。这是因为LIBOR反映了金融机构的资金成本。这样做的隐含假设是被定价的衍生工具的现金流的风险和银行同业拆借市场的风险相同。第四节互换价值2021/6/16534（二）运用债券组合给利率互换定价（二）运用债券组合给利率互换定价考虑一个2009年9月1日生效的三年期的利率互换，名义本金是1亿美元。B公司同意支付给A公司年利率为5的利息，同时A公司同意支付给B公司6个月期LIBOR的利息，利息每半年支付一次。LIBOR5%A公司B公司第四节互换价值2021/6/16535利率互换中利率互换中B公司的现金流量表（百万美元）公司的现金流量表（百万美元）日期LIBOR(5%)收到的浮动利息支付的固定利息净现金流2003.9.14.202004.3.14.80+2.102.500.402004.9.15.30+2.402.500.102005.3.15.50+2.652.500.152005.9.15.60+2.752.500.252006.3.15.90+2.802.500.302006.9.16.40+2.952.500.452021/6/16536利率互换的分解上述利率互换可以看成是两个债券头寸的组合。这样，利率互换可以分解成：n1、B公司按6个月LIBOR的利率借给A公司1亿美元。n2、A公司按5%的年利率借给B公司1亿美元。换个角度看，就是B公司向A公司购买了一份1亿美元的浮动利率（LIBOR）债券，同时向A公司出售了一份1亿美元的固定利率（5的年利率，每半年付息一次）债券。第四节互换价值2021/6/16537利率互换的价值定义 :互换合约中分解出的固定利率债券的价值。 :互换合约中分解出的浮动利率债券的价值。那么，对B公司而言，这个互换的价值就是：第四节互换价值2021/6/16538为了说明公式的运用，定义：距第i次现金流交换的时间L：利率互换合约中的名义本金额。：到期日的LIBOR零息票利率：支付日支付的固定利息额。那么，固定利率债券的价值为第四节互换价值2021/6/16539考虑浮动利率债券的价值。根据浮动利率债券的性质，在紧接浮动利率债券支付利息的那一刻，浮动利率债券的价值为其本金L。假设利息下一支付日应支付的浮动利息额为（这是已知的），那么在下一次利息支付前的一刻，浮动利率债券的价值为。在定义中，距下一次利息支付日还有的时间，那么今天浮动利率债券的价值应该为：据此就可以得到互换的价值第四节互换价值2021/6/16540例：假设在一笔互换合约中，某一金融机构支付6个月期的LIBOR，同时收取8的年利率（半年计一次复利），名义本金为1亿美元。互换还有1.25年的期限。3个月、9个月和15个月的LIBOR（连续复利率）分别为10、10.5和11。上一次利息支付日的6个月LIBOR为10.2（半年计一次复利）。在这个例子中万，万，因此第四节互换价值2021/6/16541因此，利率互换的价值为：98.25102.5$427万利率互换中固定利率一般选择使互换初始价值为0的那个利率，在利率互换的有效期内，它的价值有可能是负的，也有可能是正的。这和远期合约十分相似，因此利率互换也可以看成远期合约的组合。第四节互换价值2021/6/16542（二）运用远期利率协议给利率互换估值（二）运用远期利率协议给利率互换估值远期利率协议（FRA）是这样一笔合约，合约里事先确定将来某一时间一笔借款的利率。不过在FRA执行的时候，支付的只是市场利率与合约协定利率的利差。只要知道利率的期限结构，就可以计算出FRA对应的远期利率和FRA的价值，具体步骤如下：n1.计算远期利率。n2.确定现金流。n3.将现金流贴现。第四节互换价值2021/6/16543上例中，3个月后要交换的现金流是已知的，金融机构是用10.2的年利率换入8年利率。所以这笔交换对金融机构的价值是：为了计算9个月后那笔现金流交换的价值，必须先计算从现在开始3个月到9个月的远期利率。根据远期利率的计算公式3个月到9个月的远期利率为第四节互换价值2021/6/1654410.75的连续复利对应的每半年计一次复利的利率为所以，9个月后那笔现金流交换的价值为：同样，为了计算15个月后那笔现金流交换的价值，必须先计算从现在开始9个月到15个月的远期利率。第四节互换价值2021/6/1654511.75的连续复利对应的每半年计一次复利的利率为所以，15个月后那笔现金流交换的价值为那么，作为远期利率协议的组合，这笔利率互换的价值为-107-141-179=-427万美元这个结果与运用债券组合定出的利率互换价值一致。第四节互换价值2021/6/16546货币互换价值货币互换价值 （一）运用债券组合给货币互换估值（一）运用债券组合给货币互换估值在没有违约风险的条件下，货币互换一样也可以分解成债券的组合，不过不是浮动利率债券和固定利率债券的组合，而是一份外币债券和一份本币债券的组合。 假设A公司和B公司在2003年10月1日签订了一份5年期的货币互换协议。第四节互换价值2021/6/16547如图所示，合约规定A公司每年向B公司支付11的英镑利息并向B公司收取8的美元利息。本金分别是1500万美元和1000万英镑。A公司的现金流如表所示。A公司持有的互换头寸可以看成是一份年利率为8的美元债券多头头寸和一份年利率为11的英镑债券空头头寸的组合。11%的英镑利息8%的美元利息A公司和公司和B公司的货币互换流程图公司的货币互换流程图A公司 B公司 第四节互换价值2021/6/16548货币互换中货币互换中A公司的现金流量表（百万）公司的现金流量表（百万）日期美元现金流英镑现金流2003.10.115.0010.002004.10.1+1.201.102005.10.1+1.201.102006.10.1+1.201.102007.10.1+1.201.102008.10.1+16.2011.102021/6/16549n如果定义 为货币互换的价值，那么对收入本币、付出外币的那一方：n其中是用外币表示的从互换中分解出来的外币债券的价值；是从互换中分解出来的本币债券的价值；是即期汇率。n对付出本币、收入外币的那一方： 第四节互换价值2021/6/16550例假设在美国和日本LIBOR利率的期限结构是平的，在日本是4而在美国是9（都是连续复利），某一金融机构在一笔货币互换中每年收入日元，利率为5，同时付出美元，利率为8。两种货币的本金分别为1000万美元和120000万日元。这笔互换还有3年的期限，即期汇率为1美元110日元。第四节互换价值2021/6/16551如果以美元为本币，那么货币互换的价值为： 如果该金融机构是支付日元收入美元，则货币互换对它的价值为154.3万美元。第四节互换价值2021/6/16552（二）运用远期组合给货币互换估值（二）运用远期组合给货币互换估值 货币互换还可以分解成一系列远期合约的组合，货币互换中的每一次支付都可以用一笔远期外汇协议的现金流来代替。因此只要能够计算货币互换中分解出来的每笔远期外汇协议的价值，就可以知道对应的货币互换的价值。 第四节互换价值2021/6/16553若，即期汇率为1美元110日元，或者是1日元0.009091美元。因为美元和日元的年利差为5，根据，一年期、两年期和三年期的远期汇率分别为第四节互换价值2021/6/16554n与利息交换等价的三份远期合约的价值分别为：n与最终的本金交换等价的远期合约的价值为n所以这笔互换的的价值为，n和运用债券组合定价的结果一致。第四节互换价值2021/6/16555第五节互换的定价如何对互换合理定价？1.时间期限为0T，本金为B0;2.利息在时刻t1,t2,tN支付，每段时间区间长度相同(tk+1-tk=)，t0=0,tN=T3.tktk+1上的利率为Rk，由时刻tk决定，且在t0时是未知的；4.tktk+1上应支付的利息为 （连续复利时 ），且在期末支付，即tk+1时刻支付。2021/6/16556第五节互换的定价r是唯一可能的取值，否则市场会出现套利！2021/6/16557第五节互换的定价若每一时间区间长度及其上的本金均可变，则存在等式由于其中，Fk是tktk+1上的远期利率2021/6/16558第五节互换的定价则得：2021/6/16559第五节互换的定价连续复利：1.本金和时间间隔不变；2.本金和时间间隔可变。课后习题2021/6/16560互换的应用互换的应用 互换可以用来转换资产与负债的利率和货币属性。通过利率互换，浮动利率资产（负债）可以和固定利率资产（负债）相互转换。通过货币互换，不同货币的资产（负债）也可以相互转换。第六节互换的应用2021/6/16561一、运用利率互换转换负债的利率属性一、运用利率互换转换负债的利率属性n如图，B公司可以运用该笔利率互换将一笔浮动利率借款转换成固定利率借款。假设B公司借入了一笔三年期的本金为10亿美元（与互换的名义本金相同），利率为LIBOR加80个基点（一个基点是1的1，所以这里的利率是LIBOR+0.8%）的浮动利率借款。在签订了这笔互换合约以后，B公司面临3个利息现金流：n1.支付LIBOR+0.8%给贷款人。n2.根据互换收入LIBOR。n3.根据互换支付5。第六节互换的应用2021/6/16562n这样B公司的利息净现金流变成了支付5.8的固定利率。因此运用互换B公司可以将一笔利率为LIBOR+0.8%的浮动利率负债转换成利率为5.8的固定利率负债。n对A公司而言，它可以运用该笔利率互换将一笔固定利率借款转换成浮动利率借款。假设A公司借入了一笔三年期的本金为10亿美元（与互换的名义本金相同），利率为5.2的固定利率借款。在签订了这笔互换合约以后，A公司面临3个利息现金流：n1、支付5.2%给贷款人。n2、根据互换支付LIBOR。n3、根据互换收入5。第六节互换的应用2021/6/16563这样A公司的利息净现金流变成了支付LIBOR+0.2的浮动利率。因此运用互换A公司可以将一笔利率为5.2%的固定利率负债转换成利率为LIBOR+0.2的浮动利率负债。整个转换过程如图所示。LIBOR5.2%5%LIBOR+0.8%A公司与公司与B公司运用利率互换转换负债属性公司运用利率互换转换负债属性A公司B公司第六节互换的应用2021/6/16564运用利率互换转换资产的利率属性运用利率互换转换资产的利率属性 n如图，B公司也可以运用该笔利率互换将一笔固定利率资产转换成浮动利率资产。假设B公司拥有一份三年期的本金为10亿美元（与互换的名义本金相同），利率4.7%的固定利率资产。在签订了这笔互换合约以后，B公司面临3个利息现金流：n1.从债券中获得4.7的利息收入。n2.根据互换收入LIBOR。n3.根据互换支付5。第六节互换的应用2021/6/16565n这样B公司的利息净现金流变成了收入LIBOR0.3的浮动利率。因此运用互换B公司可以将利率为4.7%的固定利率资产转换成利率为LIBOR0.3的浮动利率资产。n对A公司而言，它可以运用该笔利率互换将一笔固定利率资产转换成浮动利率资产。假设A公司有一笔三年期的本金为10亿美元（与互换的名义本金相同），利率为LIBOR0.25的浮动利率投资。在签订了这笔互换合约以后，A公司面临3个利息现金流：n1.从投资中获得LIBOR0.25的收益。n2.根据互换支付LIBOR。n3.根据互换收入5。第六节互换的应用2021/6/16566n这样A公司的利息净现金流变成了收入4.75的固定利率。因此运用互换A公司可以将一笔利率为LIBOR0.25的浮动利率投资转换成利率为4.75的固定利率投资。整个转换过程如图所示。nLIBORLIBOR0.25%5%4.7%A公司与公司与B公司运用利率互换转换资产属性公司运用利率互换转换资产属性 A公司 B公司 第六节互换的应用2021/6/16567三、运用货币互换转换资产和负债的货币属性三、运用货币互换转换资产和负债的货币属性n货币互换可以用来转换负债的货币属性。假设A公司发行了1500万美元5年期的票面利率为8的美元债券，签订了该笔互换以后，A公司的美元负债就转换成了英镑负债。n货币互换也可以用来转换资产的货币属性。假设A公司有一笔5年期的年收益率为11、本金为1000万英镑的投资，但觉得美元相对于英镑会走强，通过该笔互换，这笔投资就转换成了1500万美元、年收益率为8的美元投资。第六节互换的应用2021/6/16568第九章债券模型第一节离散利率模型及债券定价第二节Vasicek债券方程第三节债券动态价格第四节HJM模型2021/6/16569第一节离散利率模型及债券定价一、离散利率模型期望值法2021/6/16570第一节离散利率模型及债券定价2021/6/16571第一节离散利率模型及债券定价一般情形2021/6/16572特殊的倒向利率模型从任何节点出发的两枝都具有相同的值。第一节离散利率模型及债券定价2021/6/16573N期情形下的利率步骤一：计算E1|t=tN;步骤二：计算Ex1|t=tN;步骤三：Ex1|t=tNE1|t=tNx第一节离散利率模型及债券定价2021/6/16574根据利率模型为零息券定价方法一：期望值法前提：具有N步的利率二叉树图。第一节离散利率模型及债券定价2021/6/16575第一节离散利率模型及债券定价倒向过程方法二：倒向法：适用于倒向利率模型2021/6/16576第一节离散利率模型及债券定价2021/6/16577第一节离散利率模型及债券定价2021/6/16578第一节离散利率模型及债券定价期望值定价：两种方法为什么不同？2021/6/16579注意：期望值法与倒向法计算所得的结果可能产生微小的差别，随着t0，这种差别将趋于0第一节离散利率模型及债券定价一般化的倒向过程2021/6/16580第一节离散利率模型及债券定价2021/6/16581第二节Vasicek债券方程A.设债券价格P是t,和r的函数一、简单的债券价格模型B.将债券价格P对t和r展开成幂级数，替换dr，并运用Ito定理，得2021/6/16582第二节Vasicek债券方程2021/6/16583C.资产组合第二节Vasicek债券方程购买不同到期日的零息债券T1和T2，组合如下：2021/6/16584由于第二节Vasicek债券方程2021/6/16585D.无套利原则第二节Vasicek债券方程2021/6/16586变换形式，得第二节Vasicek债券方程2021/6/16587第二节Vasicek债券方程得债券价格微分方程2021/6/16588第二节Vasicek债券方程E.进一步求解通常的情况是，这些参数不可得，从而无法求解此方程，但可以通过逼近法求得近似解2021/6/16589第二节Vasicek债券方程F.简化例子为了求解债券价格偏微分方程，设风险价格为常数，则令2021/6/16590第二节Vasicek债券方程此时，债券价格偏微分方程简化为试解。2021/6/16591第二节Vasicek债券方程得2021/6/16592Vasicek利率模型第二节Vasicek债券方程2021/6/16593Vasicek债券方程第二节Vasicek债券方程2021/6/16594则债券价格第二节Vasicek债券方程2021/6/16595第三节债券动态价格前面的分析表明，从特定的短期利率模型可以计算出债券的价格。事实上，也可以从一个确定的债券价格模型出发计算利率由前面的分析，知而所以2021/6/16596第三节债券动态价格令于是2021/6/16597债券价格动态方程简化的债券价格动态方程第三节 债券动态价格2021/6/16598债券价格公式A.lnP的微分第三节 债券动态价格将lnP展开2021/6/16599根据简化的债券价格方程第三节 债券动态价格得2021/6/16600B.消去r并求出lnP第三节 债券动态价格2021/6/16601第三节 债券动态价格C.债券价格公式2021/6/16602第四节HJM模型Vasicek波动率2021/6/16603第四节HJM模型2021/6/16604第四节HJM模型2021/6/16605第四节HJM模型2021/6/16606 谢谢！2021/6/16607 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！