第1课时三角函数的定义一二三思维辨析一、三角函数的定义问题思考1.填空:在直角坐标系中,称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.一二三思维辨析2.如图,如果一个锐角的终边与单位圆的交点是P(x,y),根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义,你能否用点P的坐标表示sin,cos,tan?这一结论能否推广到是任意角时的情形呢?一二三思维辨析3.填空:如图,是任意角,以的顶点O为坐标原点,以的始边为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系.设P(x,y)是的终边与单位圆的交点.(1)y叫做的正弦,记作sin,即sin=y;(2)x叫做的余弦,记作cos,即cos=x;正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.一二三思维辨析一二三思维辨析5.如果在角的终边上有一点M(3,4),那么如何求角的三个三角函数值?7.如果角的终边落在y轴上,这时其终边与单位圆的交点坐标是什么?sin,cos,tan的值是否还存在?提示终边与单位圆的交点坐标是(0,1)或(0,-1),这时tan的值不存在,因为分母不能为零,但sin,cos的值仍然存在.一二三思维辨析8.填空:三角函数的定义域如下表所示. 一二三思维辨析二、三角函数值的符号问题思考1.根据三角函数的定义,各个三角函数值是用单位圆上点的坐标表示的,当角在不同象限时,其与单位圆的交点坐标的符号就不同,因此其各个三角函数值的正负就不同,你能推导出sin,cos,tan在不同象限内的符号吗?提示当在第一象限时,sin0,cos0,tan0;当在第二象限时,sin0,cos0,tan0;当在第三象限时,sin0,cos0;当在第四象限时,sin0,tan0,cos40.()(2)同一个三角函数值只能有唯一的一个角与之对应.()(3)sin,cos,tan的值与点P(x,y)在角终边上的位置无关.()(4)不存在角,使得sin0,cos0,tan0.()(5)若sin=sin,则必有=.()(6)角的三角函数值随终边上点的位置变化而变化.()(7)若是第二象限角,且P(x,y)是其终边上一点,则cos= .()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)探究一探究二探究三思维辨析利用三角函数的定义求三角函数值利用三角函数的定义求三角函数值【例1】求解下列各题:分析(1)先求出x的值,再计算;(2)利用三角函数的定义的推广求解;(3)先在终边上取点,再利用定义求解.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析三角函数值的符号判断三角函数值的符号判断【例2】(1)若sintan0,tan0,则点P(sin,tan)在第四象限.答案D探究一探究二探究三思维辨析诱导公式一的应用诱导公式一的应用【例3】求下列各式的值:(1)a2sin(-1350)+b2tan405-(a-b)2tan765-2abcos(-1080);分析将角转化为k360+或2k+的形式,利用公式一求值,注意熟记特殊角的三角函数值.解(1)原式=a2sin(-4360+90)+b2tan(360+45)-(a-b)2tan(2360+45)-2abcos(-3360)=a2sin90+b2tan45-(a-b)2tan45-2abcos0=a2+b2-(a-b)2-2ab=0.探究一探究二探究三思维辨析诱导公式一的应用策略:(1)诱导公式一可以统一写成f(k360+)=f()或f(k2+)=f()(kZ)的形式,它的实质是终边相同的角的同一三角函数值相等;(2)利用它可把任意角的三角函数值转化为02角的三角函数值,即可把负角的三角函数转化为0到2间的三角函数,亦可把大于2的角的三角函数转化为0到2间的三角函数,即把角实现大化小,负化正的转化.探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练2求下列三角函数值:探究一探究二探究三思维辨析忽视对参数的分类讨论致误【典例】角的终边过点P(-3a,4a),a0,则cos=.探究一探究二探究三思维辨析在利用三角函数的定义解决问题时,如果终边上一点的坐标中含有参数,那么要注意对其进行分类讨论,以免丢解.探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练已知角的终边在直线y=x上,则sin=.解析易知角的终边在第一象限或第三象限,当角的终边在第一象限时,在角的终边上取一点P(1,1),12345答案D123452.若tansin20,则角在()A.第一象限B.第二象限C.第二象限或第四象限D.第二象限或第三象限解析因为tansin20,所以tan0,于是角在第二象限或第四象限.答案C12345答案A12345123455.判断下列各式的符号:(1)tan120sin269;解(1)120是第二象限角,tan1200.269是第三象限角,sin2690.