有关梯形的概念、等腰梯形的性质、判定及应用有关梯形的概念、等腰梯形的性质、判定及应用一. 教学内容：梯形的概念、等腰梯形的性质、判定及中位线的应用二. 重点、难点重点：等腰梯形的性质与判定定理。难点：等腰梯形的性质与判定定理的应用。三. 具体过程（一）梯形的有关概念1. 梯形：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形注： （1）梯形是特殊的四边形（2）有且只有一组对边平行。2. 梯形中平行的两边叫做梯形的底，短边为上底，长边为下底，与位置无关，不平行的两边叫做梯形的腰， 梯形两底之间的距离叫做梯形的高， 它是一底上的一点向另一底作的垂线段的长度。3. 梯形的分类一般梯形梯形直角梯形特殊梯形等腰梯形（1）直角梯形：有一个角为直角的梯形为直角梯形（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形（二）梯形的性质1. 一般梯形的性质在梯形 ABCD 中，ADBC，则A+B=180，C+D=1802. 直角梯形具有的特征在直角梯形 ABCD 中，若 ADBC，B=90，则A=90，C+D=1803. 等腰梯形具有的性质（1）等腰梯形同一底上的两个内角相等（2）等腰梯形的两条对角线相等（3）等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，等腰梯形的对称轴是两底中点所在的直线。4. 等腰梯形的判定（1）利用定义：（2）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形（3）对角线相等的梯形是等腰梯形二梯形题目的转化策略二梯形题目的转化策略常见的梯形辅助线规律口诀为:梯形问题巧转化，变为和;要想尽快解决好,添加辅助线最重要;平移两腰作出高,延长两腰也是关键;记着平移对角线,上下底和差就出现;如果出现腰中点,就把中位线细心连;上述方法不奏效,过中点旋转成全等;灵活添加辅助线,帮你度过梯形难关;想要易解梯形题,还得注意特题特解;注意梯形割与补,巧变成为和.基本图形如下:1.1.平移梯形一腰或两腰平移梯形一腰或两腰, ,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中, ,同时还得同时还得到平行四边形到平行四边形【例1】已知： 如图2,在梯形ABCD中,. .求证：【例 2】如图,在梯形 ABCD 中,ADBC , E、F 分别是 AD 、BC 的中点,若 .AD = 7 ,BC = 15 ,求 EF 2.2.延长梯形的两腰延长梯形的两腰, ,使它们交于一点使它们交于一点, ,可得到两个相似三角形或等腰三角形、直可得到两个相似三角形或等腰三角形、直角三角形等进一步解决问题角三角形等进一步解决问题【例 3】.如图,在梯形梯形3.3.从梯形上底的两端向下底引垂线作高从梯形上底的两端向下底引垂线作高, ,可以得到一个矩形和两个直角三角可以得到一个矩形和两个直角三角形然后利用构造的直角三角形和矩形解决问题形然后利用构造的直角三角形和矩形解决问题【例 4】.如图,在梯形中,.求证：.中, , ,梯形 .的面积与的面积相等求证：4.4.平移一条对角线一般是过上底的一个端点作一条对角线的平行线平移一条对角线一般是过上底的一个端点作一条对角线的平行线, ,与另一底与另一底的延长线相交的延长线相交, ,得到一个平行四边形和三角形得到一个平行四边形和三角形, ,把梯形问题转化为平行四边形和把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决三角形问题解决【例 5】.如图,等腰梯形中, , ,且 ,是高,是中位线,求证：【例 6】 .已知： 如图,在梯形等腰梯形.中, .求证： 梯形是5.5.遇到梯形一腰中点的问题可以作出梯形的中位线遇到梯形一腰中点的问题可以作出梯形的中位线, ,中位线与上、下底都平行中位线与上、下底都平行, ,且三线段有数量关系且三线段有数量关系. . 或利用或利用 “等积变形”“等积变形” , ,连结梯形上底一端点和另一腰中点连结梯形上底一端点和另一腰中点, ,并延长与下底延长线交于一点并延长与下底延长线交于一点, ,构成三角形解决问题构成三角形解决问题【例 7】.已知：如图 4,在梯形中,.是的中点,且 .求证：.【例 8】.已知：梯形 ABCD 中 AD BC,E 为 AB 中点,且 ADBC=DC ,求证：DEEC,DE 平分ADC,CE 平分BCD证法 2：延长 CE 与 DA 延长线交于一点 F,过程略证法 3：在 DC 上截取 DF=AD,连结 AF、BF、EF 解决.6.6.当遇到以上的梯形辅助线添加后不能解决问题时当遇到以上的梯形辅助线添加后不能解决问题时, ,可以特题特解可以特题特解, ,结合具体问结合具体问题中的具体条件题中的具体条件, ,寻求特殊的方法解决问题寻求特殊的方法解决问题. .比如可将对角线绕中点旋转比如可将对角线绕中点旋转利用一腰中点旋转利用一腰中点旋转、将梯形补成平行四边形或三角形问题、将梯形补成平行四边形或三角形问题. .、【例 9】 .已知： 如图 5,在梯形 ABCD 中,N 分别是 BD 、AC 的中点.求证： . M、取一腰的中点,连结顶点和这个中点并延长与对边的延长线相交,可得两个全等三角形【例 10】 .如图,梯形为中点,求证：中, ,、分别平分和 ,分析： 要证明与的延长线交于 ,再证明. ,可以利用为 ,即可中点,延长,得到【例 11】.已知：如图,在梯形点.求证：.说明：在图 5 中,得到；在图 6 中,相当于由是由.中,是 CD 的中绕点 E 旋转绕点 E 旋转得到.【例 12】.如图,梯形中, ,为腰的中点,求证： .巩固练习巩固练习例 1. 如图， 在等腰梯形 ABCD 中， ABCD， 对角线 AC 平分BAD， B 60， CD=2cm，则梯形 ABCD 的面积为A.3 3cm2B.6cm2C.6 3cm2D.12cm2例 2. 如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，点 E 是 AD 延长线上一点，DE=BC，（1）求证：E=DBC（2）判断ACE 的形状例 3. 如图，梯形 ABCD 中，ADBC，AD=1，BC=4，AC=3，BD=4，求S梯形ABCD。例 4. 如图，已知：AD 是ABC 边 BC 上的高线，E、F、G 分别是 BC、AB、AC 的中点，求证：四边形 EDGF 是等腰梯形。例 5. 有一块梯形形状的土地， 现要平均分给两个农民种植 （即将梯形面积两等分） ，在图1 和图 2 中，试设计两种方案，并说明理由。图 1图 2【模拟试题】【模拟试题】1. 等腰梯形的上底、 下底和腰长分别为 4cm、 10cm、 6cm， 则等腰梯形的下底角为_.2. 如图，在梯形 ABCD 中，DCB=90，ABCD，AB=25，BC=24. 将该梯形折叠，点 A 恰好与点 D 重合，BE 为折痕，那么 AD 的长度为_.3. 如图所示，图（1）中梯形符合_条件时，可以经过旋转和翻折形成图（2）.4. 如图所示，梯形纸片ABCD，B=60，ADBC，AB=AD=2，BC=6，将纸片折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 AE，则 CE=_.5. 如图，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，ABAD，对角线 AC，BD 相交于点 O，如下四个结论：梯形 ABCD 是轴对称图形；DAC=DCA；AOBDOC.请把其中正确结论的序号填在横线上：_.6. 若等腰梯形两底之差等于一腰的长，那么这个梯形一内角是（）A. 90B. 60C. 45D. 307. 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，CA 平分BCD，CD=5，则 AD 的长是（）A. 6B. 5C. 4D. 38. 如图，等腰梯形ABCD 中，ABCD，ACBC，点 E 是 AB 的中点，ECAD，则ABC 等于（）A. 75B. 70C. 60D. 309. 如图，已知等腰梯形 ABCD 中，ADBC，B=60，AD=2，BC=8，则此等腰梯形的周长为（）A. 19B. 20C. 21D. 2210. 如图，直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=3，将腰 CD 以 D 为中心逆时针旋转 90至 ED，连 AE、CE，则ADE 的面积是（）A. 1B. 2C. 3D. 不能确定11. 已知：如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=CD，E 是底边 BC 的中点，连接 AE、DE. 求证：ADE 是等腰三角形.12. 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC=AD，ADC=120.求证： （1）BDDC； （2）若 AB=4，求梯形 ABCD 的面积.13. 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC，B=60，DEAB.求证： （1）DE=DC； （2）DEC 是等边三角形.