3.2 向量组的线性相关与向量组的线性相关与线性无关线性无关定义定义线性组合线性组合一、线性组合的概念一、线性组合的概念线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示例如例如：有有所以，称所以，称 是是 的线性组合，的线性组合，或或 可以由可以由 线性表示。线性表示。 注意注意定义定义二、线性相关性的概念二、线性相关性的概念则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关线性相关性在线性方程组中的应用线性相关性在线性方程组中的应用结论结论 显然，如果齐次线性方程只有零解，则对显然，如果齐次线性方程只有零解，则对该方程增加若干方程后仍有零解，由此我们得该方程增加若干方程后仍有零解，由此我们得到如下命题到如下命题命题命题1设有两个向量组设有两个向量组若向量组若向量组A线性无关，则向量组线性无关，则向量组B也线性无关。也线性无关。说明说明增加方程个数相当于向量增加方程个数相当于向量 增加分量，但向量组所含向量的个数不变增加分量，但向量组所含向量的个数不变 由于线性方程组的解与方程组中方程的次由于线性方程组的解与方程组中方程的次序无关，由此我们得到如下命题序无关，由此我们得到如下命题命题命题2设有两个向量组设有两个向量组则向量组则向量组A与与B的线性相关性相同。的线性相关性相同。其中其中 是是 这这n个自然数的某个确个自然数的某个确定的排列，定的排列，说明说明改变方程的次序相当于改变向量改变方程的次序相当于改变向量 的各分量的次序。的各分量的次序。例例例例 1 1 证明证明 n 维单位坐标向量组维单位坐标向量组线性无关；并将任意线性无关；并将任意n维向量维向量 表示成表示成 的线性组合的线性组合解解设存在一组数设存在一组数 ，使得，使得按照向量的数乘、加法运算可得按照向量的数乘、加法运算可得根据向量相等的定义，即有根据向量相等的定义，即有所以所以 线性无关线性无关对于任意给定的对于任意给定的n维向量维向量例例2 讨论向量组讨论向量组的线性相关性的线性相关性解解假设存在假设存在 x, y, z，使得，使得即即由向量相等的定义得由向量相等的定义得容易验证容易验证 x=1, y=1, z= -1是上述方程的一组非零解是上述方程的一组非零解即存在一组不全为零的数即存在一组不全为零的数 1，1，1使使所以所以 线性相关线性相关证证例例5 把向量把向量 表示成向量组表示成向量组的线性组合的线性组合解解设存在四个数设存在四个数 ，使得，使得即即由向量的线性运算及向量相等的定义得由向量的线性运算及向量相等的定义得应用克莱姆法则解此方程组应用克莱姆法则解此方程组解得解得所以所以. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；在线性方程组中的应用；（重点重点）三、小结三、小结