第四节第四节 基本不等式基本不等式利用基本不等式求最值 (1)求函数 的值域；(2)已知正数a、b满足ab1，求 的最小值分析(1)求和的最小值，积应为常数，且需正数条件(2)巧用“1”代换，凑常数或者代入消元解(1) ，当x1时，x10， ，当且仅当 ，即x2时，取等号f(x)1，当且仅当 ，即x0时，取等号当x1时，x10， )，然后再用基本不等式求其最值，转化后，如ax0， ，可提取(1)变为同正变式训练1 若x1，求函数 的最大值 解x1，x10，当且仅当 ，即x3时取等号，f(x)451，f(x)max1.变式训练2 已知a，b，c都是实数，求证：a2b2c2(abc)2abbcac.【证明】a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac，2a22b22c22ab2bc2ac，3(a2b2c2)(abc)2，即a2b2c2(abc)2.由a2b2c2abbcac，a2b2c22ab2bc2ac3ab3bc3ac，(abc)23(abbcac)，(abc)2abbcac.综上所述，a2b2c2(abc)2abbcac，命题得证基本不等式的实际应用 (12分)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，其主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字型区域现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4 200元/m2；在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地砖，造价为210元/m2；再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2.(1)设总造价为S元，AD的长为x m，试建立S关于x的函数关系式；(2)计划至少要投多少元，才能建造这个休闲小区？分析这是一道建筑工程类问题，解决本题的突破点是将总费用分成三个部分：(1)花坛MNPQ的费用；(2)阴影部分铺花岗岩地砖的费用；(3)草坪费解(1)设DQy，则x24xy200， ，3分S4 200x22104xy804 y2 7分(2) ，10分当且仅当4 000x2 ，即x 时取等号答：计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区. 12分规律总结用基本不等式解决实际问题时，一般都是求某个量的最值，先把要求最值的量表示为某个变量的函数，再利用基本不等式求该函数的最值求最值时，仍要满足前面所说的三个求最值的要求有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时，这几个变量满足某个关系式，这时，问题变成了一个条件最值，可用前面条件最值的方法来求最值 变式训练3如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成(1)现有可围36 m长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？【解析】(1)设每间虎笼的长为x m，宽为y m，面积为s，则4x6y36，即2x3y18. ，当且仅当2x3y，即x ，y3时，取等号答：每间虎笼长4.5 m，宽3米时，面积最大(2)设每间虎笼长为x m，宽为y m，钢筋网总长 m，则xy24， ，当且仅当2x3y，即x6，y4时，取等号答：每间虎笼长6 m，宽4 m时，四间虎笼的钢筋网总长最小1基本不等式的重要变形：(2)若设00，y0，xy1，求 的最小值 错解 错解分析这是一个很典型的错误，因为解答中的第一个不等式取等号的条件为 ，即x4y，第二个不等式取等号的条件为xy.由于x、y都大于0，所以两个等号不可能同时取到， 即 取不到8.正解当且仅当 ，即x 2/3，y1/3时取等号，