优秀学习资料 欢迎下载 六年奥数综合练习题十八答案（列方程解应用题） 一、列简易方程解应用题 10x+1，从而有 3（105+x）=10x+1， 7x299999， x42857。 答：这个六位数为 142857。 说明：这一解法的关键有两点： 示出来，这里根据题目的特点，采用“整体”设元的方法很有特色。 （1）是善于分析问题中的已知数与未知数之间的数量关系； （2）是一般语言与数学的形式语言之间的相互关系转化。因此，要提高列方程解应用题的能力，就应在这两方面下功夫。 例 2 有一队伍以 1.4 米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以 2.6 米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了 10 分 50 秒。问：队伍有多长？ 分析：这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍长。如果设通讯员从末尾到排头用了 x 秒，那么通讯员从排头返回排尾用了（650-x）秒，于是不难列方程。 解：设通讯员从末尾赶到排头用了 x 秒，依题意得 2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x） 。 解得 x500。推知队伍长为 （2.6-1.4）500=600（米） 。 答：队伍长为 600 米。 说明：在设未知数时，有两种办法：一种是设直接未知数，求什么、设什么；另一种设间接未知数，当直接设未知数不易列出方程时，就设与要求相关的间接未知数。对于较难的应用题，恰当选择未知数，往往可以使列方程变得容易些。 例 3 铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为 3.6 千米/时，骑车人速度为 10.8 千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用 22 秒，通过骑车人用 26 秒，这列火车的车身总长是多少？ 分析：本题属于追及问题，行人的速度为 3.6 千米/时=1 米/秒，骑车人的速度为 10.8 千米/时=3 米/秒。火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差。如果设火车的速度为 x 米/秒，那么火车的车身长度可表示为（x-1）22 或（x-3）26，由此不难列出方程。 解：设这列火车的速度是 x 米/秒，依题意列方程，得 （x-1）22=（x-3）26。 解得 x=14。所以火车的车身长为 （14-1 ）22=286（米） 。 答：这列火车的车身总长为 286 米。 例 4 如图，沿着边长为 90 米的正方形，按逆时针方向，甲从 A 出发，每分钟走 65 米，乙从 B 出发，每分钟走 72 米。当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上？ 优秀学习资料 欢迎下载 分析：这是环形追及问题，这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所需要的时间，再回到“环行”追及问题，根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正方形哪一条边上。 解：设追上甲时乙走了 x 分。依题意，甲在乙前方 390=270（米） ， 故有 72x65x+270。 由于正方形边长为 90 米，共四条边，故由 可以推算出这时甲和乙应在正方形的 DA 边上。 答：当乙第一次追上甲时在正方形的 DA 边上。 例 5 一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶。已知船在静水中的速度为 8 千米/时，平时逆行与顺行所用的时间比为 21。某天恰逢暴雨，水流速度为原来的 2 倍，这条船往返共用9 时。问：甲、乙两港相距多少千米？ 分析：这是流水中的行程问题： 顺水速度=静水速度+水流速度， 逆水速度=静水速度- 水流速度。 解答本题的关键是要先求出水流速度。 解： 设甲、 乙两港相距 x 千米， 原来水流速度为 a 千米/时根据题意可知， 逆水速度与顺水速度的比为 21，即 （8-a ）（8a）12， 再根据暴雨天水流速度变为 2a 千米/时，则有 解得 x=20。 答：甲、乙两港相距 20 千米。 例 6 某校组织 150 名师生到外地旅游，这些人 5 时才能出发，为了赶火车，6 时 55 分必须到火车站。他们仅有一辆可乘 50 人的客车，车速为 36 千米/时，学校离火车站 21 千米，显然全部路程都乘车，因需客车多次往返，故时间来不及，只能乘车与步行同时进行。如果步行每小时能走 4 千米，那么应如何安排，才能使所有人都按时赶到火车站？ 这一解法的关键有两点从而有示出来这里根据题目的特点采用整体设元的方法很有特色是善于分析问题中的已知数与未知数之间的数量关系是一般语言与数学的形式语言之间的相互关系转化因此要提高列方程解应用题的能力就应在立即返回排尾共用了分秒问队伍有多长分析这是一道追及又相遇的问题通讯员从末尾到排头是追及问题他与排头所行路程差为队伍长通讯员从排头返回排尾是相遇问题他与排尾所行路程和为队伍长如果设通讯员从末尾到排头用了秒米答队伍长为米说明在设未知数时有两种办法一种是设直接未知数求什么设什么另一种设间接未知数当直接设未知数不易列出方程时就设与要求相关的间接未知数对于较难的应用题恰当选择未知数往往可以使列方程变得容易些例铁优秀学习资料 欢迎下载 赶到火车站，每人步行时间应该相同，乘车时间也相同。设每人步行x时，客车能否在 115 分钟完成。 解 ： 把150人 分 三 批 ， 每 批50人 ， 步 行 速 度 为4千 米 / 时 ， 汽 车 速 度 为 解得 x1.5（时） ，即每人步行 90 分，乘车 25 分。三批人 5 时同时出发，第一批人乘 25 分钟车到达 A 点，下车步行；客车从 A 立即返回，在 B 点遇上步行的第二批人，乘 25 分钟车，第二批人下车步行，客车再立即返回，又在 C 点遇到步行而来的第三批人，然后把他们直接送到火车站。 如此安排第一、二批人按时到火车站是没问题的，第三批人是否正巧可乘 25 分钟车呢？必须计算。 次返回的时间是 20 分，同样可计算客车第二次返回的时间也应是 20 分，所以当客车与第三批人相遇时，客车已用 252202=90（分） ，还有 115-90=25（分） ，正好可把第三批人按时送到。 因此可以按上述方法安排。 说明：列方程，解出需步行 90 分、乘车 25 分后，可以安排了，但验算不能省掉，因为这关系到第三批人是否可以按时到车站的问题。通过计算知第三批人正巧可乘车 25 分，按时到达。但如果人数增加，或者车速减慢，虽然方程可以类似地列出，却不能保证人员都按时到达目的地。 二、引入参数列方程解应用题 对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题，列方程时，除了应设的未知数外，还需要增设一些“设而不求”的参数，便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言，以便沟通数量关系，为列方程创造条件。 例 7 某人在公路上行走，往返公共汽车每隔 4 分就有一辆与此人迎面相遇，每隔 6 分就有一辆从背后超过此人。如果人与汽车均为匀速运动，那么汽车站每隔几分发一班车？ 分析：此题看起来似乎不易找到相等关系，注意到某人在公路上行走与迎面开来的车相遇，是相遇问题，人与汽车 4 分所行的路程之和恰是两辆相继同向行驶的公共汽车的距离；每隔 6 分就有一辆车从背后超过此人是追及问题，车与人 6 分所行的路程差恰是两车的距离，再引进速度这一未知常量作参数，问题就解决了。 解：设汽车站每隔 x 分发一班车，某人的速度是 v1，汽车的速度为 v2，依题意得 由，得 将代入，得 这一解法的关键有两点从而有示出来这里根据题目的特点采用整体设元的方法很有特色是善于分析问题中的已知数与未知数之间的数量关系是一般语言与数学的形式语言之间的相互关系转化因此要提高列方程解应用题的能力就应在立即返回排尾共用了分秒问队伍有多长分析这是一道追及又相遇的问题通讯员从末尾到排头是追及问题他与排头所行路程差为队伍长通讯员从排头返回排尾是相遇问题他与排尾所行路程和为队伍长如果设通讯员从末尾到排头用了秒米答队伍长为米说明在设未知数时有两种办法一种是设直接未知数求什么设什么另一种设间接未知数当直接设未知数不易列出方程时就设与要求相关的间接未知数对于较难的应用题恰当选择未知数往往可以使列方程变得容易些例铁优秀学习资料 欢迎下载 说明：此题引入 v1，v2 两个未知量作参数，计算时这两个参数被消去，即问题的答案与参数的选择无关。本题的解法很多，可参考本丛书五年级数学活动课第 26 讲。 例 8 整片牧场上的草长得一样密，一样地快。已知 70 头牛在 24 天里把草吃完，而 30 头牛就得 60 天。如果要在 96 天内把牧场的草吃完，那么有多少头牛？ 分析：本题中牧场原有草量是多少？每天能生长草量多少？每头牛一天吃草量多少？若这三个量用参数 a，b，c 表示，再设所求牛的头数为 x，则可列出三个方程。若能消去 a，b，c，便可解决问题。 解：设整片牧场的原有草量为 a，每天生长的草量为 b，每头牛一天吃草量为 c，x 头牛在 96 天内能把牧场上的草吃完，则有 - ，得 36b=120C。 - ，得 96xc=1800c36b。 将代入，得 96xc1800c+120c。 解得 x=20。 答：有 20 头牛。 例 9 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶 20 千米，下坡时每小时行驶35千米。车从甲地开往乙从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？ 解：从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地下坡路，就是从乙地到甲地的上坡路。设从甲地到乙地的上坡路为 x 千米，下坡路为 y 千米，依题意得 ，得 将 y=210x 代入式，得 解得 x140。 这一解法的关键有两点从而有示出来这里根据题目的特点采用整体设元的方法很有特色是善于分析问题中的已知数与未知数之间的数量关系是一般语言与数学的形式语言之间的相互关系转化因此要提高列方程解应用题的能力就应在立即返回排尾共用了分秒问队伍有多长分析这是一道追及又相遇的问题通讯员从末尾到排头是追及问题他与排头所行路程差为队伍长通讯员从排头返回排尾是相遇问题他与排尾所行路程和为队伍长如果设通讯员从末尾到排头用了秒米答队伍长为米说明在设未知数时有两种办法一种是设直接未知数求什么设什么另一种设间接未知数当直接设未知数不易列出方程时就设与要求相关的间接未知数对于较难的应用题恰当选择未知数往往可以使列方程变得容易些例铁优秀学习资料 欢迎下载 答：甲、乙两地间的公路有 210 千米，从甲地到乙地须行驶 140 千米的上坡路。 三、列不定方程解应用题 有些应用题，用代数方程求解，有时会出现所设未知数的个数多于所列方程的个数，这种情况下的方程称为不定方程。这时方程的解有多个，即解不是唯一确定的。但注意到题目对解的要求，有时，只需要其中一些或个别解。 例 10 六（1）班举行一次数学测验，采用 5 级计分制（5 分最高，4 分次之，以此类推） 。男生的平均成绩为 4 分，女生的平均成绩为 3.25 分，而全班的平均成绩为 3.6 分。如果该班的人数多于 30 人，少于 50 人，那么有多少男生和多少女生参加了测验？ 解：设该班有 x 个男生和 y 个女生，于是有 4x+3.25y=3.6（x+y） ， 化简后得 8x=7y。从而全班共有学生 在大于 30 小于 50 的自然数中，只有 45 可被 15 整除，所以 推知 x21，y=24。 答：该班有 21 个男生和 24 个女生。 例 11 小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得 9 分，套中小猴得 5 分，套中小狗得 2 分。小明共套了 10 次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套 10 次共得 61 分。问：小明至多套中小鸡几次？ 解：设套中小鸡 x 次，套中小猴 y 次，则套中小狗（10-x-y ）次。根据得 61 分可列方程 9x+5y+2（10-x-y ）=61， 化简后得 7x=413y。 显然 y 越小，x 越大。将 y=1 代入得 7x=38，无整数解；若 y=2，7x=35，解得 x=5。 答：小明至多套中小鸡 5 次。 例 12 某缝纫社有甲、乙、丙、丁 4 个小组，甲组每天能缝制 8 件上衣或 10 条裤子；乙组每天能缝制 9 件上衣或 12 条裤子；丙组每天能缝制 7 件上衣或 11 条裤子；丁组每天能缝制 6 件上衣或 7 条裤子。现在上衣和裤子要配套缝制（每套为一件上衣和一条裤子） 。问：7 天中这 4 个小组最多可缝制多少套衣服？ 分析：不能仅按生产上衣或裤子的数量来安排生产，应该考虑各组生产上衣、裤子的效率高低，在配套下安排生产。 我们首先要说明安排做上衣效率高的多做上衣，做裤子效率高的多做裤子，才能使所做衣服套数最多。 一 般 情 况 ， 设A组 每 天 能 缝 制a1件 上 衣 或b1条 裤 子 ， 它 们 的 比 为在安排 A 组尽量多做上衣、B组尽量多做裤子的情况下，安排配套生产。这 这一解法的关键有两点从而有示出来这里根据题目的特点采用整体设元的方法很有特色是善于分析问题中的已知数与未知数之间的数量关系是一般语言与数学的形式语言之间的相互关系转化因此要提高列方程解应用题的能力就应在立即返回排尾共用了分秒问队伍有多长分析这是一道追及又相遇的问题通讯员从末尾到排头是追及问题他与排头所行路程差为队伍长通讯员从排头返回排尾是相遇问题他与排尾所行路程和为队伍长如果设通讯员从末尾到排头用了秒米答队伍长为米说明在设未知数时有两种办法一种是设直接未知数求什么设什么另一种设间接未知数当直接设未知数不易列出方程时就设与要求相关的间接未知数对于较难的应用题恰当选择未知数往往可以使列方程变得容易些例铁优秀学习资料 欢迎下载 的效率高，故这 7 天全安排这两组生产单一产品。 设甲组生产上衣 x 天，生产裤子（7-x）天，乙组生产上衣 y 天，生产裤子（7-y）天，则 4 个组分别共生产上衣、裤子各为 678x+9y（件）和 11710（7x）12（7-y） （条） 。依题意，得 428x9y7770-10x84-12y， 令 u428x9y，则 显然 x 越大，u 越大。故当 x=7 时，u 取最大值 125，此时 y 的值为 3。 答：安排甲、丁组 7 天都生产上衣，丙组 7 天全做裤子，乙组 3 天做上衣，4 天做裤子，这样生产的套数最多，共计 125 套。 说明：本题仍为两个未知数，一个方程，不能有确定解。本题求套数最多，实质上是化为“一元函数”在一定范围内的最值，注意说明取得最值的理由。 这一解法的关键有两点从而有示出来这里根据题目的特点采用整体设元的方法很有特色是善于分析问题中的已知数与未知数之间的数量关系是一般语言与数学的形式语言之间的相互关系转化因此要提高列方程解应用题的能力就应在立即返回排尾共用了分秒问队伍有多长分析这是一道追及又相遇的问题通讯员从末尾到排头是追及问题他与排头所行路程差为队伍长通讯员从排头返回排尾是相遇问题他与排尾所行路程和为队伍长如果设通讯员从末尾到排头用了秒米答队伍长为米说明在设未知数时有两种办法一种是设直接未知数求什么设什么另一种设间接未知数当直接设未知数不易列出方程时就设与要求相关的间接未知数对于较难的应用题恰当选择未知数往往可以使列方程变得容易些例铁