P221 例题7.54二向应力状态分析图解法7771 1 1 1、 莫尔圆的概念莫尔圆的概念莫尔圆的概念莫尔圆的概念74 74 二向应力状态分析二向应力状态分析二向应力状态分析二向应力状态分析图解法图解法图解法图解法4二向应力状态分析图解法777当斜截面随方位角当斜截面随方位角当斜截面随方位角当斜截面随方位角 变化时变化时变化时变化时, , 其上的应力其上的应力其上的应力其上的应力 ， 在在在在 - - 直角坐标系内的轨迹是一个圆直角坐标系内的轨迹是一个圆直角坐标系内的轨迹是一个圆直角坐标系内的轨迹是一个圆 。圆心的坐标为圆心的坐标为圆心的坐标为圆心的坐标为(the coordinates of MOHR circles center)(the coordinates of MOHR circles center)4二向应力状态分析图解法777半径为半径为半径为半径为此圆称为此圆称为此圆称为此圆称为 应力圆应力圆应力圆应力圆, , 或称为莫尔圆或称为莫尔圆或称为莫尔圆或称为莫尔圆4二向应力状态分析图解法777 oC4二向应力状态分析图解法7772 2 2 2、应力圆作法、应力圆作法、应力圆作法、应力圆作法4二向应力状态分析图解法777在在在在 - - 坐标系内坐标系内坐标系内坐标系内 , ,选选选选定定定定比例尺比例尺比例尺比例尺o o 4二向应力状态分析图解法777o o D1 xB1 x量取量取量取量取OBOB1 1 = = x xB B1 1D D1 1 = = x x得得得得 D D1 1 点。点。点。点。4二向应力状态分析图解法777o o D2 yD1 xB1 x量取量取量取量取OBOB2 2 = = y yB B2 2D D2 2= = y y得得得得 D D2 2 点点点点 yB24二向应力状态分析图解法777该圆的圆心该圆的圆心该圆的圆心该圆的圆心 C C 点到点到点到点到 坐标坐标坐标坐标原点的原点的原点的原点的 距离为距离为距离为距离为 半径半径半径半径该圆就是相应于该单元体该圆就是相应于该单元体该圆就是相应于该单元体该圆就是相应于该单元体应力状态的应力圆。应力状态的应力圆。应力状态的应力圆。应力状态的应力圆。o o D2 yD1 xB1 x yB2C4二向应力状态分析图解法777D D1 1 点的坐标为点的坐标为点的坐标为点的坐标为 ( ( x x , , x x ) ) 因而因而因而因而 D D1 1 点代表单元体点代表单元体点代表单元体点代表单元体 x x 平面（即横截面）上平面（即横截面）上平面（即横截面）上平面（即横截面）上的应力的应力的应力的应力 。o o D2 yD1 xB1 x yB2C4二向应力状态分析图解法777点面之间的对应关系点面之间的对应关系点面之间的对应关系点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对：单元体某一面上的应力，必对：单元体某一面上的应力，必对：单元体某一面上的应力，必对应于应力圆上某一点的坐标。应于应力圆上某一点的坐标。应于应力圆上某一点的坐标。应于应力圆上某一点的坐标。说说说说 明明明明夹角关系夹角关系夹角关系夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。元体上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。元体上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。元体上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。4二向应力状态分析图解法7772 AB oc4二向应力状态分析图解法7777575 三向应力状态分析三向应力状态分析三向应力状态分析三向应力状态分析一、空间应力状态的概念一、空间应力状态的概念一、空间应力状态的概念一、空间应力状态的概念Y, Z Y, Z 平面的定义类似。平面的定义类似。平面的定义类似。平面的定义类似。1 1、X X 平面平面平面平面：法线与法线与法线与法线与 X X 轴平行的平面轴平行的平面轴平行的平面轴平行的平面. .xyzo前面前面右侧右侧面面上面上面4二向应力状态分析图解法777第一下标第一下标第二下标第二下标 xy xy 表示表示表示表示 x x 平面上，沿平面上，沿平面上，沿平面上，沿 y y 方向方向方向方向的剪应力。的剪应力。的剪应力。的剪应力。第一下标表示剪应力所在第一下标表示剪应力所在第一下标表示剪应力所在第一下标表示剪应力所在的平面。的平面。的平面。的平面。第二下标表示剪应力的方向。第二下标表示剪应力的方向。第二下标表示剪应力的方向。第二下标表示剪应力的方向。xyzo前面前面右侧右侧面面上面上面4二向应力状态分析图解法777因而独立的应力分量是因而独立的应力分量是因而独立的应力分量是因而独立的应力分量是 6 6个个个个根据剪应力互等定理数值上有根据剪应力互等定理数值上有根据剪应力互等定理数值上有根据剪应力互等定理数值上有xyzo前面前面右侧右侧面面上面上面4二向应力状态分析图解法777 二、二、二、二、 应力状态的分类应力状态的分类应力状态的分类应力状态的分类空间应力状态空间应力状态空间应力状态空间应力状态: : 1 1 ， 2 2 ， 3 3 均不等于零均不等于零均不等于零均不等于零平面应力状态平面应力状态平面应力状态平面应力状态: : 1 1 ， 2 2 ， 3 3 中有一个等于零中有一个等于零中有一个等于零中有一个等于零. .单轴应力状态单轴应力状态单轴应力状态单轴应力状态: : 1 1 ， 2 2 ， 3 3 中只有一个不等于零中只有一个不等于零中只有一个不等于零中只有一个不等于零4二向应力状态分析图解法777已知：受力物体内某一点处三个已知：受力物体内某一点处三个已知：受力物体内某一点处三个已知：受力物体内某一点处三个主应力主应力主应力主应力 1 1 1 1、 2 2 2 2、 3 3 3 3 。利用利用利用利用 应力圆应力圆应力圆应力圆 确定该点的最确定该点的最确定该点的最确定该点的最大正应力和最大切应力大正应力和最大切应力大正应力和最大切应力大正应力和最大切应力, , , , 。三三三三 、 空间应力状态下的最大正应力和最大切应力空间应力状态下的最大正应力和最大切应力空间应力状态下的最大正应力和最大切应力空间应力状态下的最大正应力和最大切应力4二向应力状态分析图解法777若受力构件内一点处的三个主应力都不等于零，则该点处于三向应力状态。其主应力为应力圆平行于平行于 3的方向面其上之应力与的方向面其上之应力与 3无关，无关，于是由于是由 1 、 2可作出应力圆可作出应力圆.4二向应力状态分析图解法777 1xyz图图a 2 3图图b max（1 1）弹性理论证明，图弹性理论证明，图 a 单元体内任意一点任意截面单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图上的应力都对应着图 b 的应力圆上或阴影区内的一点的应力圆上或阴影区内的一点（2 2）整个单元体内的最大剪应力为整个单元体内的最大剪应力为4二向应力状态分析图解法777最大正应力和最大剪应力最大正应力和最大剪应力 从三向应力圆中可以看出，最大正应力，最小正从三向应力圆中可以看出，最大正应力，最小正应力及最大剪应力分别为应力及最大剪应力分别为 注意其位置？4二向应力状态分析图解法77778 78 广义胡克定律广义胡克定律广义胡克定律广义胡克定律一、单拉下的本构关系一、单拉下的本构关系xyz x4二向应力状态分析图解法777二、纯剪的本构关系二、纯剪的本构关系xyz x y三、复杂状态下的本构关系三、复杂状态下的本构关系 xyz z y xy x依叠加原理依叠加原理, ,得得4二向应力状态分析图解法777主单元体本构关系主单元体本构关系 1 3 24二向应力状态分析图解法777 1 2 3a1a2a3构件每单位体积的体积变化构件每单位体积的体积变化构件每单位体积的体积变化构件每单位体积的体积变化, , 称为体积应变用称为体积应变用称为体积应变用称为体积应变用 表示。表示。表示。表示。各向同性材料在三向应力状态各向同性材料在三向应力状态各向同性材料在三向应力状态各向同性材料在三向应力状态下的体积应变下的体积应变下的体积应变下的体积应变4二向应力状态分析图解法777五、体积应变与应力分量间的关系五、体积应变与应力分量间的关系 1 3 2dxdzdy体积应变：体积应变：4二向应力状态分析图解法777 代入本构关系，得到体积应变与应力代入本构关系，得到体积应变与应力分量间的关系分量间的关系: :4二向应力状态分析图解法777课本P239 例题7.94二向应力状态分析图解法777例题例题例题例题4 4：壁厚：壁厚：壁厚：壁厚 t =10mm , t =10mm , 外径外径外径外径 D=60 D=60mm mm 的薄壁圆筒的薄壁圆筒的薄壁圆筒的薄壁圆筒, , 在表面上在表面上在表面上在表面上 k k 点处与其轴线成点处与其轴线成点处与其轴线成点处与其轴线成 45 45 和和和和135135 角即角即角即角即 x, y x, y 两方向分别贴上应变片两方向分别贴上应变片两方向分别贴上应变片两方向分别贴上应变片, ,然然然然后在圆筒两端作用矩为后在圆筒两端作用矩为后在圆筒两端作用矩为后在圆筒两端作用矩为 m m 的扭转力偶的扭转力偶的扭转力偶的扭转力偶, ,如图所示，已知圆筒材料如图所示，已知圆筒材料如图所示，已知圆筒材料如图所示，已知圆筒材料的弹性常数为的弹性常数为的弹性常数为的弹性常数为 E = 200GP E = 200GPa a 和和和和 = 0.3 , = 0.3 ,若该圆筒的变形在弹性范若该圆筒的变形在弹性范若该圆筒的变形在弹性范若该圆筒的变形在弹性范围内围内围内围内, ,且且且且 max max = 10MPa , = 10MPa , 试求试求试求试求k k点处的线应变点处的线应变点处的线应变点处的线应变 x ,x , y y 以及变形后的以及变形后的以及变形后的以及变形后的筒壁厚度。筒壁厚度。筒壁厚度。筒壁厚度。Dtymkx4二向应力状态分析图解法777Dtxymk可求得可求得可求得可求得解解解解: : 从圆筒表面从圆筒表面从圆筒表面从圆筒表面 k k 点处取出单元体点处取出单元体点处取出单元体点处取出单元体, , 其各面上的应力分量如图其各面上的应力分量如图其各面上的应力分量如图其各面上的应力分量如图 所示所示所示所示xyk4504二向应力状态分析图解法777k k点处的线应变点处的线应变点处的线应变点处的线应变 x x , , y y 为为为为xyk4504二向应力状态分析图解法777圆筒表面上圆筒表面上圆筒表面上圆筒表面上k k点处沿径向点处沿径向点处沿径向点处沿径向 ( (z z轴轴轴轴) ) 的应变为的应变为的应变为的应变为同理可得圆筒中任一点同理可得圆筒中任一点同理可得圆筒中任一点同理可得圆筒中任一点 ( ( 该点到圆筒横截面中心的距离为该点到圆筒横截面中心的距离为该点到圆筒横截面中心的距离为该点到圆筒横截面中心的距离为 ) )处的径向应变为处的径向应变为处的径向应变为处的径向应变为因此因此因此因此, , 该圆筒变形后的厚度并无变化该圆筒变形后的厚度并无变化该圆筒变形后的厚度并无变化该圆筒变形后的厚度并无变化, , 仍然为仍然为仍然为仍然为 t =10mm .t =10mm .4二向应力状态分析图解法777（拉伸）（拉伸）（拉伸）（拉伸）（负）（负）（负）（负）bhzb=50mmh=100mmxyzaA4二向应力状态分析图解法7777979 复杂应力状态的复杂应力状态的复杂应力状态的复杂应力状态的应变能密度应变能密度应变能密度应变能密度一、一、应变能密度计算公式计算公式1 1 、 单轴应力状态下单轴应力状态下单轴应力状态下单轴应力状态下, , 物体内所积蓄的比能为物体内所积蓄的比能为物体内所积蓄的比能为物体内所积蓄的比能为按叠加原理得按叠加原理得三向应力状态下的应变能密度4二向应力状态分析图解法7774二向应力状态分析图解法777 2 3 1(a) m m m(b) 3 - m 1- m 2- m(c)4二向应力状态分析图解法777体积改变能密度体积改变能密度 ，畸变能密度（形状改变能密度，畸变能密度（形状改变能密度 ）du体积应变体积应变 ，形状变化，形状变化畸变能密度（形状改变能密度）畸变能密度（形状改变能密度）()()()21323222161 m m-+-+-+=Eud4二向应力状态分析图解法777例例9 用能量法证明三个弹性常数间的关系。用能量法证明三个弹性常数间的关系。纯剪单元体的应变能密度为：纯剪单元体的应变能密度为：纯剪单元体应变能密度以主应力表示为：纯剪单元体应变能密度以主应力表示为： xyA134二向应力状态分析图解法777