B-SB-SB-SB-S期权定价公式的简单推导期权定价公式的简单推导期权定价公式的简单推导期权定价公式的简单推导 一、证券价格的变化过程一、证券价格的变化过程一、证券价格的变化过程一、证券价格的变化过程 （一）弱式有效市场假说与马尔可夫过程（一）弱式有效市场假说与马尔可夫过程 n1965年，法玛（Fama）提出了著名的有效市场假说。该假说认为，投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的。n有效市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。 n弱式有效市场假说可用马尔可夫随机过程（Markov Markov Stochastic ProcessStochastic Process）来表述。n随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。可分为离散型的和连续型的。马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。 n如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未来价格的概率分布只取决于该证券现在的价格。（二）布朗运动（二）布朗运动1,1,标准布朗运动标准布朗运动n设 代表一个小的时间间隔长度， 代表变量z在时间 内的变化，遵循标准布朗运动的 具有两种特征：n特征1： 和 的关系满足 （4.1）n其中， 代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值。n特征2：对于任何两个不同时间间隔， 和 的值相互独立。 n 考察变量z在一段较长时间T中的变化情形，我们可得： （4.2）n 因 的相互独立性，得 也具有正态分布特征，其均值为0，方差为 ，标准差为 当t0时，我们就可以得到极限的标准布朗运动： （4.3）2,2,普通布朗运动普通布朗运动 n我们先引入两个概念：漂移率和方差率。n标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。 n 若令漂移率为a,方差率为b2，就可得到变量x的普通布朗运动： （4.4）n其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。 ( (三三) )伊藤过程与伊藤引理伊藤过程与伊藤引理n 普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们可以从公式(4.4)(4.4)得到伊藤过程（Ito ProcessIto Process）：）： (4.5） 其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2n进一步：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G(x,t)将遵循如下过程： (4.6) 这就是伊藤引理。( (四四) )证券价格的变化过程证券价格的变化过程n证券价格的变化过程可以用漂移率为S、方差率为 的伊藤过程来表示：n两边同除以S得： （4.7） n从（4.7）可知，在短时间后，证券价格比率的变化值为：n可见， 也具有正态分布特征 (4.8)( (五五) )衍生证券所服从的随机过程衍生证券所服从的随机过程n根据伊藤引理，衍生证券的价格f应遵循如下过程： (4.9)( (六六) )证券价格自然对数变化过程证券价格自然对数变化过程 n令 ，由于n代入式（4.9） （4.10）n证券价格对数f遵循普通布朗运动,且二、二、二、二、B-SB-SB-SB-S定价模型定价模型定价模型定价模型 ( (一一)B-S)B-S微分方程微分方程 1,B-S 1,B-S微分方程的推导微分方程的推导 n我们假设证券价格S遵循几何布朗运动：n则： （4.11） n假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则： （4.12） （4.13）n为了消除 ，我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和 单位标的证券多头的组合。令 代表该投资组合的价值，则： (4.14) n在 时间后： （4.15）n将式（4.11）和（4.13）代入式（4.15），可得： （4.16）n在没有套利机会的条件下：n把式（4.14）和（4.16）代入上式得： n化简为 (4.17) n这就是著名的B-S微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。 2 2，风险中性定价原理，风险中性定价原理 n假设所有投资者都是风险中性的，那么所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。n尽管风险中性假定仅仅是为了求解B-S微分方程而作出的人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。( (二二)B-S)B-S期权定价公式期权定价公式n 在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时（T时刻）的期望值为：n其现值为 （4.18）n对数股票价格的分布为： （4.19）n对式（6.19）求解： （4.20） 详见Hull(8) P232n其中