v与时间有关的微扰理论与时间有关的微扰理论第五章第五章 微扰理论微扰理论 第六节第六节 与时间有关的微扰理论与时间有关的微扰理论 微扰理论微扰理论作用于体系的作用于体系的 与时间与时间无关无关，不是不是时间的显函数时间的显函数体系的能量有确定值，微扰作用只引起能级和体系的能量有确定值，微扰作用只引起能级和波函数的微小改变波函数的微小改变定态问题定态问题作用结果：作用结果：作用于体系的作用于体系的 与时间与时间有关有关，是是时间的显函数时间的显函数体系的能量不确定，微扰作用将引起体系从一体系的能量不确定，微扰作用将引起体系从一个状态变到另一个状态个状态变到另一个状态量子跃迁量子跃迁作用结果：作用结果：非简并定态微扰理论非简并定态微扰理论与时间有关的微扰理论与时间有关的微扰理论体系受到与体系受到与时间时间有关有关的外场作用的外场作用由一个定态跃迁由一个定态跃迁到另一个定态到另一个定态含时间的薛定谔方程含时间的薛定谔方程求出体系的哈密顿算符显含时间时的问题求出体系的哈密顿算符显含时间时的问题从某时刻从某时刻(t=0)开始，受到某种外场作用，作用能很小开始，受到某种外场作用，作用能很小(看成看成微扰微扰)，代表该外场作用的，代表该外场作用的 显含时间，且体系的总哈显含时间，且体系的总哈密顿算符密顿算符 表示为：表示为：描述体系在描述体系在t0时刻状态的波函数时刻状态的波函数(不是定态不是定态)设体系未受微扰前的设体系未受微扰前的 不显含时间；体系处于能量为不显含时间；体系处于能量为Ek的的本征态本征态 上。上。为什么？为什么？设设 含时间的具有完全性的本征函数为：含时间的具有完全性的本征函数为：将将用用 展开：展开：概率幅概率幅表明：当体系在表明：当体系在t=0时刻受到时刻受到 作用后，在作用后，在t0的的 时刻，体系可能处于时刻，体系可能处于 原有的各种本征态原有的各种本征态 ，而处于这些态的概率分别为，而处于这些态的概率分别为体系处于体系处于跃迁跃迁t=0能级能级Ekt=t体系处于体系处于能级能级En在在t=0到到t=t的时间内，体系由的时间内，体系由 态跃迁到态跃迁到 态态 的概率就是体系在的概率就是体系在t时刻处于时刻处于 的概率：的概率：EkEn初始初始求解求解 ：若若已知，则由已知，则由求出求出若若未知时，需由含时间的薛定谔方程未知时，需由含时间的薛定谔方程求解求解将将代入代入(5)，得到，得到an(t)满足的微分方程满足的微分方程求出求出an(t)将将(1)、(3)代入代入(5)中：中：用用 左乘左乘(7)两端并对全空间积分，得：两端并对全空间积分，得：(8)改写为：改写为：(9)改写为：改写为：体系从体系从En跃迁到跃迁到Em的玻尔频率的玻尔频率微扰矩阵元微扰矩阵元用微扰理论求用微扰理论求的近似解：的近似解：(只考虑一级近似略去二级和更高级的近似只考虑一级近似略去二级和更高级的近似)设微扰在设微扰在t=0时开始引入，体系处于时开始引入，体系处于 的本征态的本征态 用用 左乘左乘(11)两端并对全空间积分，得：两端并对全空间积分，得：将将an(0)作为作为an(t)代入代入(10)：方程方程(10)的一级近似解为：的一级近似解为：体系在微扰作用下由初态体系在微扰作用下由初态 跃迁到终态跃迁到终态 的几率为：的几率为：例：例：基态基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时 间按指数下降，即间按指数下降，即 参数。求经过长时间后氢原子处在参数。求经过长时间后氢原子处在 2p态态的概率。的概率。 ，其中，其中 为大于零的为大于零的解：按照微扰理论，由状态解：按照微扰理论，由状态 跃迁到状态跃迁到状态 的概率的概率 决定于决定于 ，而，而终态终态2p态是态是三重简并三重简并的，即的，即 设电场沿设电场沿z轴方向，则微扰哈密顿算符为轴方向，则微扰哈密顿算符为 O设氢原子的波函数为设氢原子的波函数为终态：终态：2p态态初态：基态初态：基态跃迁概率为：跃迁概率为： 求求 先求先求其中其中 则则 根据根据 可得可得 当当 时，既有时，既有 故长时间后故长时间后 同理可得：同理可得： 所以长时间后氢原子处于所以长时间后氢原子处于2p态的概率为态的概率为