第三章第三章 多端口网络多端口网络（P98） 多端口网络在工程实际中有广泛的应用，我们在第一章中已介绍了多口网络的概念和性质，本章再做系统归纳。主要内容主要内容主要内容主要内容：短路导纳参数短路导纳参数Ysc， 开路阻抗参数开路阻抗参数Zoc， 混合参数混合参数H， 复合复合多口网络（多口网络的连接）多口网络（多口网络的连接） 含源多口网络含源多口网络及等效电路，及等效电路， 星网变换（罗森定理）星网变换（罗森定理） ; (散射矩阵散射矩阵） 不定导纳阵不定导纳阵 l网络解的存在性与唯一性网络解的存在性与唯一性 因为本章由参数建立的是端口方程，存在方程是否有解的问题线性电阻网络解的存在性和唯一性定理（线性电阻网络解的存在性和唯一性定理（充分必要条件充分必要条件）设线性电阻网络电阻网络方程为其中T为系数矩阵，X、B为列向量，当且仅当det（T）0时，该网络有唯一解唯一解。RLCM组成的网络有唯一解的组成的网络有唯一解的充分条件充分条件设网络N仅有RLCM元件构成，当且仅当，网络中不含仅有独立电电压源压源组成的回路回路和仅有独立电流源电流源组成的割集割集时，网络有唯一解 实际网络总是有解的，且在任何时刻都有唯一解都有唯一解。 但由电路模型构成的网络，可能有解，也可能无解；可能有唯一解，也可能不是唯一的。 网络无解或解不唯一说明电路模型设置不合理。3-13-1非含源非含源（独立源独立源）多口网多口网络的常的常见矩矩阵表示法表示法1.（短路）导纳参数：是二端口网络Y参数的推广。把各端口电压看作激励，各端口电流看作是响应。则：1nN(无独立源)(线性)1n+U1-+-UnI1In则：我们用H表示（对矩阵的）转置转置并取共轭共轭运算，称为厄尔米特（Hermite）运算。代入短路导纳参数得：若网络是：Jump如n=2JumpHermite矩阵：Hermite矩阵性质：此处必然用Hermite矩阵，因为短路导纳参数阵一般是复数Back2.(开路）阻抗参数：是二端口网络Z参数的推广。把各端口电流看作激励，各端口电压看作响应。故称为开路阻抗参数。若网络是：则：3.混合参数矩阵：是二端口网络H参数的推广。把一部分端口电压和一部分端口电流看作激励，其余端口电流和端口电压看作响应。电流看作激励的端口称为电流端口，又称为一类端口。电压看作激励的端口称为电压端口，又称为二类端口。N端口网络的互易性：对称斜对称6.复合多口网络：4.传输参数矩阵：N1N2Us1a1a1b1b2a2a2b2bUs检验联接后端口条件的电路实验方法如下（以二端口网络为例，亦可直接观察）：N1N2VUs1a1a1b1b2a2a2b2bN1N2VUs1a1a1b1b若V=0,左边端口条件成立。若V=0,右边端口条件成立。连接有效性的判定：连接有效性的判定：例如对图示网络VZ1Z2Z3Z4Z5Z6VZ1Z2Z3Z4Z5Z6V=0,左边端口条件成立V0,左边端口条件不成立例例： 两两个个二二端端口口并并联联时时，其其端端口口条条件件可可能能被被破破坏坏此此时时上上述述关系式就不成立。关系式就不成立。并联后端口条件破坏。并联后端口条件破坏。1A2A1A1A4A1A2A 2A0A0A10 5 2.5 2.5 2.5 4A1A1A4A10V5V+ +2AN2N1U11U21U1nU2nI1In+ U1 -+ Un -N1N2VIsV=01a2a1a2a1b2b1b2b左侧端口条件成立N1N2VIsV=0右侧端口条件成立VZ1Z2Z3Z4Z5Z6VZ1Z2Z3Z4Z5Z6V=0,左边端口条件成立。V0,左边端口条件不成立。例题若电压端口串、电流端口并（并、串联），则为第二类混合参数矩阵之和。(串、并联)N1N2VIsV=01a1a1b1b左侧端口条件成立l复合n口网络可直接用电路分析和计算化简，也可用复合双口网络分析U1U2Z1 Z3Z4 Z5Z2Z6Z4 Z1Z5Z3Z2 Z6在工程实际中，为保证连接有效，可在连接端口连接端口之间用1：1变压器隔离变压器隔离（保证各自的端口条件成立）。成立1.含源多口网络的表示方法：把所有端口电压看成激励，电流看成响应,短路导纳把激励分成两组：所有端口电压源；端口电压源；所有内部独立源内部独立源N含独含独U1U23-23-2含（独）源多口网含（独）源多口网络同理可得则可以用叠加定理叠加定理处理理则N1与N2并联设N1与N2端口条件成立。则N1与N2串联与非含源一样，也存在有效性问题前面讨论了复合非含源多口网络P112例例：求图 (a)所示含源三口网络的Z参数方程。 (a)解解 图 (a)三口网络可看作由图 (b)和(c)两个三口网络 串联而成。 (b)(c) 将图(b)独立电源置零值,可得图(d)所示网络,通过Y变换可得图(e)。 (d)(e)由图(e)可得图(b)所示网络的Z参数矩阵 Zb为将图(b)中三个端口开路,由叠加定理可得 ：则图(b)所示网络的开路电压列向量Uboc为 ：对于图(c)所示三口网络,可直接写出其端口伏安关系为 ：所以,图(c)所示三口网络的Z参数矩阵Zc为 :开路电压列向量Ucoc为 :则图(a)所示三口网络的Z参数矩阵Zoc和开路电压列向量Uoc分别为 : 因此,所求的Z参数方程为 :3-33-3多口网多口网络的等效的等效电路路U1UnN含独含独U1U2N无独无独I1scInsc11nnN无独无独I1scInsc11nnU1UpU1ocUpocN无独无独U1ocUnoc11nnI1I2一、含源多口网络的等效电路广义诺顿定理广义戴维南定理广义等效电源定理辐射状12430y1y2y4y3Y12Y41Y31Y42Y23Y34华中科大（华工) 何仰赞 电力系统分析 P37星网变换公式变换的目的：星网变换和负荷移植是为了等值地改变电网的连接形态，以便于分析处理。图中各元件导纳为：星形连接的导纳集 ：网形连接的导纳集 ：令：i=1,2， ,n式中将 取对数：定理： 对应于一个连通dendroid图的一组如上式所表示的方程组是唯一地确定S中各导纳值的充分必要条件。 图中共有n个节点，每个节点对应s中的一个导纳；每个支路对应T中的一个导纳，节点与支路的关系符合，构造一个dendroid图G而图G中每个连通的部分恰好有一个回路，其支路数为大于或等于3的奇数。例 如图为一个dendroid图G,它的5个节点对应于S中全部导纳Y1、Y2、Y3、Y4、Y5,而5个支路为T中的一部分导纳Y12、Y14、Y15、 Y25、Y34,其中支路Y12、 Y15和Y25构成一个回路,支路Y14和Y34构成与该回路相连的分树。连通的dendroid图有且只有一个回路！由子方程 （回路部分）对应于该dendroid图G的方程组为可求得：再由方程（除回路外的剩余部分）可求得然后利用和可进一步求得Y1,Y2,Yn例例 在图(a)所示网络中,节点1、2、3、4为可及节点,节点5和6为不可及节点,试消去不可及节点。 解解: 利用Y变换首先消去不可及节点5,得图(b)所示网络,其中: 图(a)为便于分析，把网络节点分类（P137）l可及（达）节点：可加电压、电流源，可测电压、电流的节点。外部节点l半可及（达）节点：可加电压源，可测电压的节点。可连接不可移动l不可及（达）节点：不能测电压、电流的节点。内部节点。图(b)利用星网变换消去不可及节点6,可得图所示网络图(c)其中 :1单口网络的散射参数（1）Ui（Ii）和Ur（Ir）表达：把端口电压和电流看成是入射波和反射波两部分来组成的。3-43-4散射（参数）矩散射（参数）矩阵( (P118P118) )前面介绍了多口网络的Zoc，Ysc，H，T这些参数均为开短路参数，在高频，理想的开短路是困难的（分布参数）。此外有很多场合人们关心的是功率的输出。在这些场合，不需要开短路测试又与功率传输密切相关的散射参数更便利有效。所谓散射参数表示实际上就是一种把各端口电压和电流分解为入射波和反射波的一种表达方式。类似于传输线的分析方法。它可以通过多口网络端口负载的条件来描述网络，是一种数字变换。N无独无独+U-Us R I可见入射电压和入射电流就是匹配情况下的端口电压和电流；而反射电压和电流就是失配情况下，偏离匹配情况电压和电流的度量，失配越严重反射量就越大。P1203-53-5多口网多口网络的的统一表示法（一表示法（P129P129！）多口网路的矩阵表示有无无穷多种多种，不同的表示法在数学上相当于不同坐不同坐标系系间的线性性变换，下面引入统一表示法。设和为两个n维列向量，称为广义端口坐标（变量量），令其中、和a、b、c、d都是任一n阶实常数方阵， 任一2n阶实常数方阵，称为坐标变换阵， 是的逆矩阵。设、和 分别为网络两种不同端口的广义坐标，和 分别为它们对应的坐标变换阵，即则有同理这就是两种广义坐标之间的关系。设网络两种不同参数矩阵不同参数矩阵分别为 ，则有由于这两种参数都存在，有把上式代入有与对比，有利用这一关系可以由一种参数一种参数求出另一种参数。另一种参数。网络性质与表示法无关的性质定义特征矩阵（Characteristic Matrix）K(s)和耗散矩阵D(s)由K(s)和D(s)可以证明以下结论(P131!)l本科时所列的节点方程，是以选定网络N内内某一节点为参参考点而列写的：1.全节点方程全节点方程称为定导纳阵。其方程数等于独立节点数（n-1）， 非奇异， 存在3-63-6 全节点全节点方程与方程与不定不定导纳阵（导纳阵（P131）l若把电位参参点改在电路N的外部外部，则得到电路的全部节点为变量的n个方程。称为全节点方程。求法与原来 相同。显然Yi的行是线性相关的，det（Yi）=0， Yi是奇异的，不存在，称为不定导纳阵不定导纳阵。 此不定意指参考点任意选定由于参考点选在电网络N外，全节点方程和不定导纳阵非常灵活，可用于不同的网络的连接和同一网络的变换。2.意义（应用）In中去掉Ink，就得到以网络N中k节点为参考点的节点电压方程例如，划去的 k行k列得，从Un中去掉Uk、各端U1，U2，U3Un作为激励，（数值上等于各节点电压）各端电流作为零状态响应 I1，I2， In 按线性叠加，可以得到n个端电流表达式NI1I2In+U1+U2+Un设N中不含独立源且零状态NI1I2In+U1+U2+Un称为n端网络的不定导纳参数，其物理意义：j=k，短路驱动点导纳；j不=k，短路转移导纳与多口网络的短路导纳相似，但又有不同。一个是口电流口电流、口电压口电压；这里是端端电压、端电流电压、端电流。若 是除第k端外，其余各端都与参考点短接NI1I2In+U1+U2+Un Yi 称为零和矩阵0003.不定导纳阵不定导纳阵Yi的的基本性质基本性质 n 个端子可对应原网络的n个节点，各端子可与网络外外的参考点之间施加电压源（参考点可能与N相连，也可能不与N相连）每列之和为零J行的代数余因式4.不定导纳阵的不定导纳阵的运算运算：端子接地与浮地端子接地与浮地短路收缩短路收缩开路抑制开路抑制网络并联网络并联求定导纳阵求定导纳阵（1）端子接地与浮地）端子接地与浮地端子接地端子接地 将n端网络的第k个端子选为参考点,相当于把对应的不定导纳矩阵Yi的第k行和第k列删除，得到一个(n1)阶方阵Y。 det Y不再为“零”，故称为定导纳矩阵。定导纳矩阵。 以端子3为公共端构成双口网络:N 3 1 2N 3 1 2例. 三端网络的不定导纳矩阵为: N 1 2 3N 1 2 3端子浮地端子浮地例例 某非含源线性三端网络N,以3端作为公共接地端。当2端短路,1端施以单位冲激电压源时,1端和2端电流的冲激响应分别为 而当1端短路,2端施以单位阶跃电压源时,两个端子电流的阶跃响应分别为现以2端作为公共端,并在3端和公共端之间跨接2电阻,1端施以单位阶跃电压源,试求此时端子1和3电流的单位阶跃响应 。例题图释例题图释求解解 时 时 （1） （2） 则三端网络的不定导纳矩阵为 则3端为公共端时的Y参数矩阵为 因此，以2端为公共端时的Y参数矩阵为 当3端与公共端之间跨接2电阻时以2端为公共端时的Y参数方程为并且联立解得取拉斯反变换可得零状态响应分别为l由不定导纳阵 短路导纳阵：划去相应于公共端的行、列，成为共点（n-1)口网络；l若由短路导纳阵 不定导纳阵：根据零和特性，加上与公共端对应的行、列后，即得将公共端“浮地”后所形成得n端网络的不定导纳阵这种方法能从一种共点组态过渡到另外一种共点组态例：共集电极、共基极三极管 （2）短路收缩（同一网络,又称端子缩并）：将两个或多个端子连接起来形成一个新的端子，相应的行和列相加行和列相加N 1 3 2 1降阶了！假定把端子1和2短接 KVL规则规则：将原网络的不定导纳矩阵第：将原网络的不定导纳矩阵第2 2列列加到第加到第1 1列，再将第列，再将第2 2列划去，或者将列划去，或者将第第1 1列加到第列加到第2 2列列, ,再将第再将第1 1列划去列划去 规则规则：将原网络不定导纳矩阵的第：将原网络不定导纳矩阵的第2 2行加到第行加到第1 1行行, ,再将再将第第2 2行划去，或者将第行划去，或者将第1 1行加到第行加到第2 2行，再将第行，再将第1 1行划去。行划去。 KCL：对应列相加对应行相加应用：电力系统双母线母联开关合上，两节点合并为一个节点这种情况相当于令两节点电压相等，新节点注入电流等于原两个节点地注入电流之和。得到1，2短接后所形成的n-1个端子的不定导纳矩阵例例 四端网络的不定导纳矩阵为如果将端子2和4短路收缩为新端子2，则I2N 1 3 2I3I1U3I3=0I2N 1 3 2I1U3（3）开路抑制（开路扼制、端子的删减、端子的封禁）： 将一个或多个端子开路,其对应的端电流限定为零,端子变成不可及节点。抑制的端钮压进网络内，切断端钮与外部电路的联系要开路抑制的端子电流、电压列向量分别记为I2和U2，其它端子电流、电压列向量分别记为I1和U1 在开路抑制端子k的情况下,划去原网络不定导纳矩阵Yi的第k行和第k列,其他行和列的元素作如下变化:如果开路抑制网络的一个端子开路抑制（抑制了k个端子）后网络的不定导纳矩阵为 若某节点无注入电流（浮游节点），可将其消去；或网络化简也需若某节点无注入电流（浮游节点），可将其消去；或网络化简也需要消去某些节点。节点消去，导纳矩阵将降阶，但奇异性不变。要消去某些节点。节点消去，导纳矩阵将降阶，但奇异性不变。 P137 例363 对于图示四端网络，将端子4接地，端子1和2分别与端子4构成一个端口。这样就改造成了一个共地双口网络，求该双口网络的Y参数矩阵。解解 图中四端网络的不定导纳矩阵为划去Yi的第4行和第4列，得端子4接地的定导纳矩阵 为了得到双口网络，必须开路抑制端子3。将 分块则双口网络的Y参数矩阵为 定义：定义： 指网络N1和N2具有公共的参考点,且N1和N2的 对应端子相连接 （4）网络并联）网络并联KCL简记为KVL简记为N1和N2的不定导纳矩阵方程分别为则由KVL： 得 总总网网络络的的不不定定导导纳纳矩矩阵阵等等于于各各个个并并联联网网络络的的不定导纳矩之和不定导纳矩之和。两n端网络并联：I2N1 1 3 2I3I1U3N2 1 3 2n端网络与m端网络并联（ n m ） 当相并联的两个网络的端子数目不等时，需先对端子数目少的网络补充孤立节点，在原不定导纳矩阵 中插入零行和零列，形成增广不定导纳矩阵 ，然后再相加。增广网络补零法将 m 阶增广到n阶后相加 2 1 4 3 G1G2G3 1 2C 4 3 可以把一个复杂的n端网络写成由n个二端网络n次并联生成的5.几种几种常用元件常用元件的不定导纳阵的不定导纳阵P139-P141作为作业验证几个6. 由不定导纳阵求多端口网络的由不定导纳阵求多端口网络的短路导纳矩阵短路导纳矩阵P141P144短路导纳矩阵（多口网络的赋定关系或约束）端口电流与电压的N直接按定义求，并不好求。下面介绍借助于不定导纳阵求短路导纳阵的方法。设多端口网络N的不定导纳阵为Yi则相应的全节点方程全节点方程为这里用J表示In。设网络N可以构成m个端口个端口，对应原来的2m个端子个端子(相当于2m个节点个节点)，如图所示。N无独立源（3-6-10）该m端口网络（短路）导纳参数为Ysc，相应的方程为所谓由不定导纳阵求短路导纳阵就是把（3-6-8）（3-6-9）端口电压与端钮电压的关系为N无独立源（3-6-11）由（3-6-11）还可得（3-6-12）端口电流与端钮电流的关系为把（3-6-11）、 （3-6-12）写成矩阵形式该矩阵记为该矩阵记为K1上式简写为记为记为I记为记为J记为记为0（3-6-14）人为引入人为引入下列变量（3-6-13）把（3-6-10）、 （3-6-13）写成矩阵形式记为记为Un记为记为U记为记为H该矩阵记为该矩阵记为K22 K1上式简写为（3-6-15）（3-6-14）（3-6-15）把（3-6-8）式 代入（3-6-14）得 由（3-6-15）式得 （3-6-18）把（3-6-18）式代入上式得（3-6-17）利用0列向量，回代消去H图a为一个有公共端的三端口网络，它的Y参数方程是：如果将1F电容器接在端子（1）与（2）之间，如图b所示，求这个二端口网络的短路导纳矩阵（P6习题2-16）N1F（b）IaUaUbIb+-+-N+-U2I2+-U1I1 1 2 4+-U3 3I3-（a）N1F（b）IaUaUbIb+-+-N+-U2I2+-U1I1 1 2 4+-U3 3I3-（a）解：（1）分析则原方程原方程可以当做节点电压方程。其系数矩阵为定导纳阵定导纳阵Yn。因为改接后改接后的二端口网络没有公共端没有公共端，显然不能通过3端子的开路抑制来实现。下面应用P143公式（公式（3-6-17）的方法处理。当然以原4端为接地端，抑制3端可以，另法作业SNI2I1 12 4 3I3I4（a）图变为N1 I1 I2 2 1 S 2 I3 33 444（2）求解做4端子浮地端子浮地运算（由不定导纳阵的零和特性）可根据式（3-6-17）求解:先写出K1SNI2I1 12 4 3I3I4N1F（b）IaUaUbIb+-+-先化简大家可以验证，上面的求解过程是较简单较简单的，因为有固定的公式。还有校验功能，即如果在计算中H1、H2对应块不一致不一致或后后一半行一半行不是线性相关的，则计算有问题！把上式代入得与H1、H2对应块H1、H2对应对应块上式第三行与第四行是线性相关的，任取一行，有代入前式化简得2 2、 含（独）源多口网含（独）源多口网络表征方程表征方程1 1、 非含源（独立源）多口网非含源（独立源）多口网络的常的常见矩矩阵表示法表示法3 3、 含源多口网含源多口网络的等效的等效电路路含源多口罗森定理4 4、 散射（参数）矩散射（参数）矩阵（不要求）（不要求）小结小结3） 运算：运算：端子接地与浮地；短路收缩（同一网络）；开路抑制（端口删减）：网络并联：两n端网络并联，n端网络与m端网络并联（ n m ）由不定导纳阵求多端口网络的短路导纳矩阵2） 基本性质基本性质5、 不定导纳阵不定导纳阵1） 定义定义本章结束！本章结束！N+-U2I2+-U1I1 12 4+-U3 3I3-N1F（b）IaUaUbIb+-+-N+-U2I2+-U1I1 1 2 4+-U3 3I3-（a）SNI2I1 12 4 3I3I4（a）图变为N1 I1 I2 2 1 S 2 I3 33 444