第二模块第二模块 函数函数 ( (必修必修1:1:第一章第一章 函数概念函数概念; ;第二章第二章 基本基本初等函数初等函数();();第三章第三章 函数的应用函数的应用) )第四讲第四讲 函数及其表示函数及其表示回回归课本本1.函数的概念函数的概念设集合集合A,B是非空的是非空的数集数集,如果按照某种确定的如果按照某种确定的对应关系关系f,使使对A中的任意一个数中的任意一个数x,在集合在集合B中中,都有都有唯一确定唯一确定的数的数f(x)和和它它对应,那么就称那么就称f:AB为从集合从集合A到集合到集合B的一个函数的一个函数,记作作y=f(x),x A.其中其中x叫做叫做自自变量量,自自变量的取量的取值范范围叫做叫做这个函数的个函数的定定义域域.自自变量取量取值a,则由法由法则f确定的确定的值y称称为函函数在数在a处的函数的函数值,记作作y=f(a).所有函数所有函数值构成的集合构成的集合y|y=f(x),x A叫做叫做这个函数的个函数的值域域.2.构成函数的要素构成函数的要素:定定义域域 对应关系关系 值域域.3.两个函数的相等两个函数的相等当两个函数的当两个函数的定定义域域和和对应关系关系都分都分别相同相同时,这两个函数两个函数才是同一个函数才是同一个函数.4.常用的函数表示法常用的函数表示法(1)解析法解析法;(2)列表法列表法;(3)图象法象法.5.分段函数分段函数在函数的定在函数的定义域内域内,对于自于自变量量x的不同取的不同取值区区间,有着不同有着不同的的对应法法则,这样的函数通常叫做分段函数的函数通常叫做分段函数.6.映射的概念映射的概念设A B是两个非空集合是两个非空集合,如果按某一个确定的如果按某一个确定的对应关系关系f,使使对于集合于集合A中的中的任意一个任意一个元素元素x,在集合在集合B中都有中都有唯一确定的唯一确定的元元素素y与之与之对应,那么就称那么就称f为从集合从集合A到集合到集合B的一个映射的一个映射,记作作“f:AB”.考点陪考点陪练解析解析:当两个函数的解析式和定当两个函数的解析式和定义域完全相同域完全相同时,这两个函数两个函数相等相等.同同时满足足这两个条件的只有两个条件的只有A,B中中x0,C中中x R,D中中x R.答案答案:A2.设集合集合M=x|0x2,N=y|0y2,则在下面在下面4个个图形中形中,能能表示集合表示集合M到集合到集合N的函数关系的有的函数关系的有( )A. B.C. D.解析解析:由函数的定由函数的定义易知易知成立成立,故故选C.答案答案:C解析解析:A中中f(x)的定的定义域是域是x|x0,g(x)的定的定义域是域是x|x0或或x-1,f(x)与与g(x)的定的定义域不同域不同, f(x)与与g(x)不是相等函数不是相等函数.B中中f(x)=的定的定义域域为x|x R,且且x2,g(x)的定的定义域域为R,f(x)与与g(x)的定的定义域不同域不同, f(x)与与g(x)不是相等函数不是相等函数.C中中f(x)、g(t)虽然自然自变量用不同的字母表示量用不同的字母表示,但定但定义域域 对应关系都相同关系都相同,所以所以f(x)、g(t)表示相同函数表示相同函数.D中中f(n)、g(n)的的对应关系不同关系不同,所以不是相等函数所以不是相等函数.所以所以应选C.答案答案:C评析析:根据函数的三要素根据函数的三要素,从定从定义域域 值域域 对应关系等方面关系等方面对所所给的函数的函数进行分析判断行分析判断.判断两个函数是否相同判断两个函数是否相同,只需判断只需判断这两个函数的定两个函数的定义域与域与对应关系是否相同关系是否相同.即使定即使定义域和域和值域都分域都分别相同的两个函数相同的两个函数,它它们也不一定是相等函数也不一定是相等函数,因因为定定义域域 值域不能唯一地确域不能唯一地确定函数的定函数的对应关系关系.此外此外,两个函数是否相同与自两个函数是否相同与自变量用什么字母表示无关量用什么字母表示无关.4.已知集合已知集合A=(x,y)|y=f(x),x -1,2,集合集合B=(x,y)|x=0,则AB的子集的个数是的子集的个数是( )A.0 B.1C.2 D.不确定不确定解析解析:函数函数f(x)定定义在在-1,2上上,所以由函数定所以由函数定义知当知当x=0时有有唯一的唯一的y与之与之对应,即直即直线x=0与函数与函数图象有唯一交点象有唯一交点,故故AB中有一个元素中有一个元素,有有2个子集个子集.故故选C.答案答案:C5.已知映射已知映射f:AB,其中集合其中集合B=-2,0,4,10,集合集合B中的元素中的元素都是集合都是集合A中的元素在映射中的元素在映射f下的下的对应元素元素,且且对任意的任意的a A,在在B中和它中和它对应的元素是的元素是(a+1)(a-2),那么集合那么集合A中元中元素的个数最多可能是素的个数最多可能是( )A.4 B.6C.8 D.10解析解析:当当(a+1)(a-2)=10时,得得a=4,-3;当当(a+1)(a-2)=4时,得得a=3,-2;当当(a+1)(a-2)=0时,得得a=2,-1;当当(a+1)(a-2)=-2时,得得a=0,1,所以根据映射的定所以根据映射的定义知集合知集合A中元素最多可能有中元素最多可能有4,-3,3,-2,2,-1,0,1,一共一共8个个,故故选C.答案答案:C类型一型一函数的基本概念函数的基本概念解解题准准备:(1)函数是指两个非空数集函数是指两个非空数集A B之之间的一种的一种对应关关系系,它要求集合它要求集合A中的任意一个数中的任意一个数,在集合在集合B中都有唯一的数中都有唯一的数f(x)与之与之对应;(2)两个函数相等是指函数的三要素相同两个函数相等是指函数的三要素相同,由由于函数的于函数的值域是由定域是由定义域和域和对应关系唯一确定关系唯一确定,因此只需判因此只需判定定定定义域与域与对应关系是否相同即可关系是否相同即可.【典例典例1】 (1)函数函数y=f(x),x D与直与直线x=2交点个数交点个数为_. 解析解析 (1)当当x=2 D时,根据函数定根据函数定义A中任何一个自中任何一个自变量在量在B中都有唯一元素和它中都有唯一元素和它对应,即有且只有一个交点即有且只有一个交点;当当x=2D时,无交点无交点.(2)命命题p中两函数的定中两函数的定义域不同域不同,p是假命是假命题,命命题q中两函数中两函数对应关系不同关系不同,q也是假命也是假命题,所以所以p q是假命是假命题.反思感悟反思感悟 两个函数的定两个函数的定义域域 值域和域和对应关系中有一个不关系中有一个不同同,它它们就不表示相等的函数就不表示相等的函数.答案答案 (1)0个或个或1个个(2)假假类型二型二求函数的解析式求函数的解析式解解题准准备:求函数解析式的常用方法有求函数解析式的常用方法有:(1)配凑法配凑法;(2)换元法元法;(3)待定系数法待定系数法;(4)消元法等消元法等.类型三型三分段函数分段函数解解题准准备:(1)对于分段函数于分段函数,一定要明确自一定要明确自变量所属的范量所属的范围,以便于以便于选择与之相与之相应的的对应关系关系;(2)分段函数体分段函数体现了数学的分了数学的分类思想思想,相相应的的问题处理理应分段分段解决解决. 分析分析 先根据先根据f(2)=1求出解析式中参数求出解析式中参数t的值的值,再进一步求再进一步求的值的值. 答案答案 8 反思感悟反思感悟 对于分段函数于分段函数给定自定自变量求函数量求函数值时,应根据自根据自变量的范量的范围,利用相利用相应的解析式直接求解的解析式直接求解;若若给定函数定函数值求求自自变量量,应根据函数每一段的解析式分根据函数每一段的解析式分别求解求解,但但应注意注意检验该值是否在相是否在相应的自的自变量取量取值范范围之内之内. 探究探究 某市某种某市某种类型的出租型的出租车,规定定3千米内起步价千米内起步价8元元(即即行程不超行程不超过3千米千米,一律收一律收8元元).若超若超过3千米千米,除起步价外除起步价外,超超过部分再按部分再按1.5元元/千米收千米收费计价价,若乘客与司机若乘客与司机约定按四舍定按四舍五入以元五入以元计费不找零不找零钱,下下车后乘客付了后乘客付了16元元,则乘客乘乘客乘车里程的范里程的范围是是_.(单位位:千米千米)类型四型四抽象函数抽象函数解解题准准备:抽象函数是一个抽象函数是一个难点点,解决抽象函数解决抽象函数问题,要全面要全面应用所具有的性用所具有的性质展开解展开解题思路思路,通常方法是通常方法是赋值法法,并善于并善于根据根据题目条件目条件寻找找该函数模型函数模型,帮助探求解帮助探求解题思路和方法思路和方法.【典例典例4】 已知函数已知函数对任意的任意的实数数a,b,都有都有f(ab)=f(a)+f(b)成立成立.(1)求求f(0),f(1)的的值;(2)求求证:(3)若若f(2)=m,f(3)=n(m,n均均为常数常数),求求f(36)的的值. 解解 (1)对a,b R,有有f(ab)=f(a)+f(b),令令a=b=0,得得f(0)=f(0)+f(0), f(0)=0.令令a=b=1,得得f(1)=0.错源一源一换元不等价元不等价 剖析剖析 错解中采用了解中采用了换元法元法,但但换元前后元前后变量取量取值范范围不相不相等等,所以所以错解中解中f(x)定定义域域为R是是错的的,f(x)定定义域域应为变量量t的取的取值范范围. 评析评析在应用换元法时应注意在应用换元法时应注意,换元后函数的形式变了但其实换元后函数的形式变了但其实质并没有发生变化质并没有发生变化,所以新元的取值范围必须由原来的变量决所以新元的取值范围必须由原来的变量决定定.错源二源二解析式化解析式化简不等价不等价导致函数定致函数定义域域变大大 剖析剖析 本本题的的错误在于盲目地在于盲目地对函数解析式函数解析式进行化行化简,导致致扩大了自大了自变量量x的取的取值范范围. 答案答案 x|x R,x-1且且x-2技法技法 求函数解析式的方法求函数解析式的方法一一 特殊特殊值法法【典例典例1】 已知已知对一切一切x,y R,关系式关系式f(x-y)=f(x)-(2x-y+1)y都成立都成立,且且f(0)=1,求求f(x).解解题切入点切入点 由由f(x-y)=f(x)-(2x-y+1)y对一切一切x,y R都成立都成立,可根据需要可根据需要对x,y进行行赋值,本本题可令可令x=0.解解 因因为f(x-y)=f(x)-(2x-y+1)y对一切一切x,y R都成立都成立.所以令所以令x=0,得得f(-y)=f(0)-(1-y)y,又又f(0)=1,所以所以f(-y)=y2-y+1,再令再令x=-y,得得f(x)=x2+x+1. 方法与技巧方法与技巧 当所当所给函数的等式中有两个函数的等式中有两个变量量时,可可对这两两个个变量交替用特殊量交替用特殊值代入或使代入或使这两个两个变量相等代入量相等代入,再用已再用已知条件知条件,可求出未知的函数可求出未知的函数. 方法与技巧方法与技巧 已知已知fg(x)=h(x),求求f(x)的的问题,可先用可先用g(x)表表示示h(x),然后再将然后再将g(x)用用x代替代替,即得即得f(x)的解析式的解析式.三三 换元法元法方法与技巧方法与技巧 若已知条件中没有若已知条件中没有给出函数的具体解析式出函数的具体解析式,但但给出了函数的某种关系出了函数的某种关系,可可结合整体思想采用合整体思想采用换元法元法,把解把解析式的某一部分析式的某一部分设为一个一个变量量进行求解行求解,注意新注意新变量的范量的范围.四四 待定系数法待定系数法【典例典例4】 已知已知f(x)是二次函数是二次函数,且且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x+4,求求f(x).解解 设f(x)=ax2+bx+c,f(x+1)+f(x-1)=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x+4.对应得得a=1,b=-2,c=1.所以所以f(x)=x2-2x+1.方法与技巧方法与技巧 已知函数式的构造模式已知函数式的构造模式时可用可用.五五 转化法化法【典例典例5】 设f(x)是定是定义在在(-,+)上的函数上的函数,对一切一切x R,均均有有f(x)+f(x+2)=0,当当-1x1时,f(x)=2x-1.求当求当1x3时,函数函数f(x)的解析式的解析式. 解解 设1x3,则-1x-21.又又对任意的任意的x R,有有f(x)+f(x+2)=0.即即f(x+2)=-f(x).所以所以f(x-2)=-f(x-2)+2=-f(x).又又-1x-21时,f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5.所以所以f(x)=-f(x-2)=-2x+5(1x3).故当故当x (1,3时,f(x)=-2x+5.七七 分段求解法分段求解法