二次函数与面积之铅垂高一教学目的1.让学生经历探索的过程， 观察图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，促进培养学生解决问题的能力2理解用“鉛锤高，水平宽”求不规则三角形面积的方法，并用此方法解决二次函数与几何图形的综合题中有关三角形面积计算的问题。二重点难点1 灵活应用铅垂高进行二次函数与几何图形的综合题中有关三角形面积计算的问题。2 铅垂高的寻找方法，以及用坐标表示线段三教学方法先让学生阅读理解，自主探究，引导学生掌握方法，讲练结合四教学过程例 1 阅读材料：如图 12-1，过ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC 的“水平宽”(a)，中间的这条直线在ABC 内部线段的长度叫ABC 的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：SABC解答下列问题：如图 12-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交 x 轴于点 A(3,0)，交 y 轴于点 B.(1)求抛物线和直线 AB 的解析式；(2)点 P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当 P 点运动到顶点C 时，求CAB 的铅垂高 CD 及SCAB；(3)是否存在一点 P，使 SPAB=说明理由.AhB铅垂高C水平宽a图 12-11ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.29SCAB，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请8yCBD1O1Ax图 12-2例 1 解：(1)设抛物线的解析式为：y1 a(x 1) 41 分把 A（3,0）代入解析式求得a 1所以y1 (x 1) 4 x 2x 3 3 分设直线 AB 的解析式为：y2 kx b由y1 x 2x 3求得 B 点的坐标为(0,3) 4 分把A(3,0)，B(0,3)代入y2 kx b中解得：k 1,b 3所以y2 x 36 分(2)因为 C 点坐标为(,4)所以当 x时，y14，y22所以 CD4-228 分2222SCAB1 10 分32 3(平方单位) 222(3)假设存在符合条件的点P，设 P 点的横坐标为 x，PAB 的铅垂高为 h，则h y1 y2 (x 2x 3) (x 3) x 3x 12 分由 SPAB=得：9SCAB8193(x23x) 3282化简得：4x 12x 9 0解得，x 将x 3232代入y1 x 2x 3中，23 15解得 P 点坐标为( ,) 14 分24总结：求不规则三角形面积时不妨利用铅垂高。 铅垂高的表示方法是解决问题的关键， 要学会用坐标表示线段。例 2 （2010 广东省中考拟） 如图 10， 在平面直角坐标系中， 二次函数y ax bx c(a 0)的图象的顶点为 D 点，与 y 轴交于 C 点，与x轴交于 A、B 两点， A 点在原点的左侧，B2点的坐标为（3，0） ，OBOC ，tanACO（1）求这个二次函数的表达式13（2）经过 C、D 两点的直线，与x轴交于点 E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N 两点，且以MN 为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度（4）如图 11，若点 G（2，y）是该抛物线上一点，点P 是直线 AG 下方的抛物线上一动点，当点 P 运动到什么位置时，APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和APG 的最大面积.y _C _D _E _A _OB _x _A_Oy _B _x _图 10C _D _G _图 111）方法一：由已知得：C（0，3） ，A（1，0）a b c 09a 3b c 0c 3将 A、B、C 三点的坐标代入得a 1b 2c 3解得：2y x 2x 3所以这个二次函数的表达式为：方法二：由已知得：C（0，3） ，A（1，0）设该表达式为：y a(x 1)(x 3)将 C 点的坐标代入得：a 12y x 2x 3所以这个二次函数的表达式为：（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）（2）方法一：存在，F 点的坐标为（2，3）理由：易得 D（1，4） ，所以直线 CD 的解析式为：y x 3E 点的坐标为（3，0）由 A、C、E、F 四点的坐标得：AECF2，AECF以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形存在点 F，坐标为（2，3）方法二：易得 D（1，4） ，所以直线 CD 的解析式为：y x 3E 点的坐标为（3，0）以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形F 点的坐标为（2，3）或（2，3）或（4，3）代入抛物线的表达式检验，只有（2，3）符合存在点 F，坐标为（2，3）（3）如图，当直线 MN 在 x 轴上方时，设圆的半径为R（R0） ，则 N（R+1，R） ，yR 代入抛物线的表达式，解得1 1721MRRN当直线 MN 在 x 轴下方时，设圆的半径为r（r0） ，则 N（r+1，r） ，AO1MrrNBxr 代入抛物线的表达式，解得1 1721 171 172或2圆的半径为（4）过点 P 作 y 轴的平行线与 AG 交于点 Q，易得 G（2，3） ，直线 AG 为y x 1设 P（x，x 2x 3） ，则 Q（x，x1） ，PQ x x 222DSAPG SAPQ SGPQx 当1(x2 x 2)3212时，APG 的面积最大11527,SAPG的最大值为4，8此时 P 点的坐标为2随堂练习 1 （2010 江苏无锡）如图，矩形ABCD 的顶点 A、B 的坐标分别为（-4，0）和（2，0） ，BC=2 3设直线 AC 与直线 x=4 交于点 E（1）求以直线 x=4 为对称轴，且过 C 与原点 O 的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点 E；（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为 N，M 是该抛物线上位于 C、N 之间的一动点，求CMN 面积的最大值yD DC CE EA AO O B Bx=4x2【答案】解： （1）点 C 的坐标(2,23)设抛物线的函数关系式为y a(x 4) m，16a m 0383a ,m .4a m 2363则，解得y 36(x 4) 2833所求抛物线的函数关系式为4k b 0343k ,b 2k b 2333设直线 AC 的函数关系式为y kx b,则，解得y 33x 433，点 E 的坐标为(4,直线 AC 的函数关系式为8 3)3y 把 x=4 代入式，得38 38 3(44)2633，此抛物线过 E 点（2） （1）中抛物线与x 轴的另一个交点为 N（8，0） ，设 M（x，y） ，过 M 作 MGx 轴于G，则 SCMN=SMNG+S 梯形 MGBCS1(8 x) y 12(y 23)(x 2) 12(8 2)23CBN=23y 3x 83 3(36x 2433x) 3x 83 32x 53x 832=32(x 5) 2932,=93当 x=5 时，SCMN 有最大值2课下练习 1(本题满分 12 分)已知：如图一次函数 y轴交于点 B；二次函数y1x1 的图象与 x 轴交于点 A，与 y2121x bxc 的图象与一次函数 yx1 的图象交于 B、C 两22点，与 x 轴交于 D、E 两点且 D 点坐标为(1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形 BDEC 的面积 S；(3)在 x 轴上是否存在点 P，使得PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点 P，若不存在，请说明理由第 24 题图1A(,0)2y x axbx23 （2010 山东临沂） 如图， 二次函数的图象与轴交于,B(2,0)两点，且与y轴交于点C.（1）求该抛物线的解析式，并判断ABC的形状；（2）在x轴上方的抛物线上有一点D,且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P,使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.第 26 题图1【答案】解：根据题意，将A（2,0）,B（2,0）代入 y=-x2+ax+b 中， 11ab 0, 4242ab 0.得3a ,2b 1.解这个方程，得全品中考网3所以抛物线的解析式为 y=-x2+2x+1.当 x=0 时，y=1.所以点 C 的坐标为（0，1） 。522OA OC所以在AOC 中，AC=2.22OB OC在BOC 中，BC=5.152 2.AB=OA+OB=21252 AB24因为 AC2+BC2=4.所以ABC 是直角三角形。 3,1（2）点 D 的坐标是2.（3）存在。由（1）知，ACBC,若以 BC 为底边，则BCAP,如图（1）所示，可求得直线 BC 的解析式为1y x12.直线 AP 可以看作是由直线 AC 平移得到的，所以设1y xb2直线 AP 的解析式为，11将 A（2,0）代入直线 AP 的解析式求得 b=4,所11y x24.以直线 AP 的解析式为图 1311x4.因为点P既在抛物线上， 又在直线AP上， 所以点P的纵坐标相等， 即-x2+2x+1=2x151x2 22（不合题意，舍去）.解得53当 x=2时，y=2.53所以点 P 的坐标为（2，2）.若以 AC 为底边，则BPAC，如图（2）所示，可求得直线 AC 的解析式为y 2x1.直线 BP 可以看作是由直线 AC 平移得到的，所以设直线 BP 的解析式为y 2xb，将 B（2,0）代入直线 BP 的解析式求得 b=-4,所以直线BP 的解析式为 y=2x-4.因为点 P 既在抛物线上，又在直线 BP 上，所以点 P图 23的纵坐标相等，即-x2+2x+1=2x-45x1 ,x2 22解得（不合题意，舍去）.5当 x=-2时，y=-9.5所以点 P 的坐标为（-2，-9）.535综上所述，满足题目的点P 的坐标为（2，2）或（-2，-9）123x x 4422(本题 10 分)如图，已知二次函数 y=的图象与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于 B、C 两点，其对称轴与 x 轴交于点 D，连接 AC(1)点 A 的坐标为_ ，点 C 的坐标为_ ；(2)线段 AC 上是否存在点 E，使得 EDC 为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点 E 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点 P 为 x 轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得 PAC的面积为 S，则 S 取何值时，相应的点P 有且只有 2 个?解： （1）A（0，4） ，C（8，0） 2 分（2）易得 D（3，0） ，CD=5设直线 AC 对应的函数关系式为y kx b，1k ,b 4,1解得则2y x 4 328k b 0.b 4.分当 DE=DC 时，OA=4，OD=3DA=5，E1（0，4） 4 分115，） 5 分42当 CD=CE 时，如图，过点 E 作 EGCD，当 ED=EC 时，可得E2（EGCGCE则CEG CAO，OAOCAC即EG 5，CG 2 5，E3（8 2 5，5） 6 分115，） ，E3（8 2 5，5） 42（3）如图，过 P 作 PHOC，垂足为 H，交直线 AC 于点 Q综上，符合条件的点 E 有三个：E1（0，4） ，E2（131设 P（m，m2m 4） ，则 Q（m，m 4） 422当0 m 8时，PQ=（1m23m 4）(1m 4)=1m2 2m，42241128(m 2m) (m 4)216，7 分APCAPQ240 S 16； 8 分S SCPQ S当2 m 0时，PQ=（1m 4）(1m23m 4)=1m2 2m，24241128( m 2m) (m 4)216，APCCPQAPQ240 S 20 9 分S S S故S 16时，相应的点 P 有且只有两个