第2课时抛物线的几何性质的应用第二章2.3.2抛物线的几何性质学习目标XUEXIMUBIAO1.掌握抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PARTONE知识点直线与抛物线的位置关系1.直线与抛物线的位置关系与公共点个数位置关系公共点个数相交 公共点相切 公共点相离 公共点有两个或一个有且只有一个无2.直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程k2x22(kbp)xb20的解的个数.当k0时，若0，则直线与抛物线有 个不同的公共点；当0时，直线与抛物线有 个公共点；当0)的通径长为2a.()思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU2题型探究PARTTWO例1已知直线l：yk(x1)与抛物线C：y24x，问：k为何值时，直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？题型一直线与抛物线的位置关系反思感悟直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况.跟踪训练1平面内一动点M(x，y)到定点F(0,1)和到定直线y1的距离相等，设M的轨迹是曲线C.(1)求曲线C的方程；解x24y.(2)在曲线C上找一点P，使得点P到直线yx2的距离最短，求出P点的坐标；当x02时，取得最小值，此时P(2,1).(3)设直线l：yxm，问当实数m为何值时，直线l与曲线C有交点？424(4m)0，m1.所以当m1时，直线l和曲线C有交点.例2已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分.(1)求抛物线E的方程；题型二与弦长中点弦有关的问题所以抛物线的方程为y24x.(2)求直线AB的方程.解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x24，y1y22.由得，(y1y2)(y2y1)4(x2x1)，所以所求直线AB的方程为y12(x2)，即2xy30.(2)传统法：设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去x(或y)得关于y(或x)的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍，从而求斜率.跟踪训练2已知抛物线y26x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.命题角度1抛物线中的定点(定值)问题例3已知点A，B是抛物线y22px(p0)上的两点，且OAOB.(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；题型三抛物线性质的综合应用多维探究多维探究(2)求证：直线AB过定点.反思感悟在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化.跟踪训练3如图，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值.命题角度2对称问题例4在抛物线y24x上恒有两点A，B关于直线ykx3对称，求k的取值范围.反思感悟在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化.跟踪训练4已知抛物线yx23上存在关于直线xy0对称的相异两点A，B，求A，B两点间的距离.核心素养之数学运算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN与抛物线有关的最值问题典例求抛物线yx2上的点到直线4x3y80的最小距离.素养评析(1)求抛物线上一点到定直线的距离的最值，最常见的解题思路：一是利用抛物线的标准方程进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以计算函数最值来解决.二是转化两平行线间距离代入两平行线间距离公式可求得.(2)探究运算思路，选择运算方法，能提升数学运算能力，同时促进数学思维发展，形成良好的数学运算素养.3达标检测PARTTHREE1.过点P(0,1)与抛物线y2x有且只有一个交点的直线有A.4条 B.3条 C.2条 D.1条解析当斜率不存在时，过P(0,1)的直线是y轴，与抛物线y2x只有一个公共点.当斜率存在时，设直线为ykx1.12345消去y，得k2x2(2k1)x10，当k0时，符合题意；与抛物线只有一个交点的直线共有3条.2.已知点A(2,0)，抛物线C：x24y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|MN|等于12345解析如图所示，由抛物线定义知|MF|MH|，所以|MF|MN|MH|MN|.由MHNFOA，3.已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，设C的焦点为F，则直线BF的斜率为123454.过抛物线y24x的顶点O作互相垂直的两弦OM，ON，则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为_.1612345同理可得N的横坐标x24k2，可得x1x216.5.已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y2x4所得的弦长|AB| ，求此抛物线的方程.12345求抛物线的方程常用待定系数法和定义法；直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化.课堂小结KETANGXIAOJIE