九年级数学(上)第三章 证明(三)2.特殊的平行四边形(2)菱形,正方形的性质及判定驶向胜利的彼岸学好几何标志是会“证明”w证明命题的一般步骤:w(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);w(2)根据题意,画出图形;w(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;w(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”.);w(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;w(6)检查表达过程是否正确,完善. 回顾与思考回顾与思考1 1平行四边形的平行四边形的性质性质w定理:平行四边形的对边相等.驶向胜利的彼岸w证明后的结论,以后可以直接运用. BDCA四边形ABCD是平行四边形.AB=CD,BC=DA.w定理:平行四边形的对角相等.四边形ABCD是平行四边形.A=C, B=D.定理:平行四边形的对角线互相平分.四边形ABCD是平行四边形.CO=AO,BO=DO.BDCAO定理:夹在两条平等线间的平等线段相等.MNPQ,ABCD,AB=CD.BDCAMNPQ回顾 思考平行四边形的判定平行四边形的判定驶向胜利的彼岸w定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.w定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的.回顾 思考wAB=CD,AD=BC,w四边形ABCD是平行四边形.BDCABDCAOwABCD,AB=CD,w四边形ABCD是平行四边形.wAO=CO,BO=DO,w四边形ABCD是平行四边形.wA=C,B=D.w四边形ABCD是平行四边形.等腰梯形的性质w定理:等腰梯形同一底上的两个角相等.w定理:等腰梯形的两条对角线相等.w在梯形ABCD中,ADBC,wAB=DC,wAC=DB.w在梯形ABCD中,ADBC,wAB=DC,wA=D, B=C.BDCABDCAw证明后的结论,以后可以直接运用. 回顾 思考等腰梯形的等腰梯形的判定判定定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.在梯形ABCD中,ADBC,A=D或B=C,AB=DC.定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形.在梯形ABCD中,ADBC,AC=DB.AB=DC.BDCABDCAw证明后的结论,以后可以直接运用. 回顾 思考三角形中位线的性质三角形中位线的性质驶向胜利的彼岸w定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.w这个定理提供了证明线段平行,和线段成倍分关系的根据.模型:连接任意四边形各边中点所成的四边形是平行四边形.要重视这个模型的证明过程反映出来的规律:对角线的关系是关键.改变四边形的形状后,对角线具有的关系(对角线相等,对角线垂直,对角线相等且垂直)决定了各中点所成四边形的形状.回顾 思考wDE是ABC的中位,DEBCADEBC,ABCHDEFG驶向胜利的彼岸四边形之间的关系四边形之间的关系 我思我思,我进步我进步1 1w四边形之间有何关系？w特殊的平行四边形之间呢？w还记得它们与平行四边形的关系吗?w能用一张图来表示它们之间的关系吗?四边形平行四边形矩形菱形正方形两组对边分别平行有一个角是直角有一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等一组对边平行另一组对边不平行梯形两腰相等等腰梯形腰与底垂直直角梯形矩形的性质矩形的性质,推论推论驶向胜利的彼岸w定理:矩形的四个角都是直角.w定理:矩形的两条对角线相等.推论(直角三角形性质):直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.回顾 思考w四边形ABCD是矩形,A=B=C=D=900.DBCADBCAwAC,BD是矩形ABCD的两条对角线.AC=BD.在ABC中,ACB=900,AD=BD,ABCD矩形的判定矩形的判定,直角三角形的直角三角形的判定判定驶向胜利的彼岸w定理:有三个角是直角的四边形是矩形.w定理:对角线相等的平行四边形是矩形.w定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.回顾 思考wA=B=C=900,四边形ABCD是矩形.DBCADBCAwAC,BD是ABCD的两条对角线,且AC=DB.四边形ABCD是矩形.ABCD ACB=900.在ABC中,AD=BD=CD,菱形的性质菱形的性质w定理:菱形的四条边都相等.驶向胜利的彼岸 我思我思,我进步我进步2 2已知:如图,四边形ABCD是菱形.w分析:由菱形的定义,利用平行四边形性质可使问题得证.证明: 四边形ABCD是菱形,AB=AD,四边形ABCD是平行四边形.AB=CD,AD=BC.求证:AB=BC=CD=DA. AB=BC=CD=AD.CBDA菱形的性质菱形的性质驶向胜利的彼岸 我思我思,我进步我进步3 3w定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.已知:如图,AC,BD是菱形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O.求证: (1).ACBD; (2).AC平分BAD和BCD, BD平分ADC和ABC. 证明:(1) 四边形ABCD是菱形,AD=CD,AO=CO.w分析:根据平行四边形对角线互相平分和等腰三角形“三线合一”来证明.DO=DO,AODCOD(SSS).AOD=COD=900.DBCAOACBD.(2)AD=AB,DA=DC,ACBD; AC平分BAD和BCD,BD平分ADC和ABC.菱形性质的应用菱形性质的应用驶向胜利的彼岸 例题欣赏例题欣赏4 4w已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形ABCD的面积.解:(1)四边形ABCD是菱形,=2ABD的面积AED=900,(2)菱形ABCD的面积=ABD的面积+CBD的面积AC=2AE=212=24(cm).DBCAE菱形的判定菱形的判定w定理:四条边都相等的四边形是菱形.驶向胜利的彼岸 我思我思,我进步我进步2 2已知:如图,在四边形ABCD中, AB=BC=CD=DA.w分析:利用菱形定义和两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可使问题得证.证明:AB=BC=CD=DA,AB=CD,BC=DA.四边形ABCD是平行四边形.求证:四边形ABCD是菱形.AB=AD,四边形ABCD是菱形.CBDA菱形的判定菱形的判定w定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.驶向胜利的彼岸 我思我思,我进步我进步2 2已知:如图,在ABCD中,对角线ACBD.求证:四边形ABCD是菱形.w分析:要证明ABCD是菱形,就要证明有一组邻边相等即可.w证明:AO=CO.ACBD, DA=DC.四边形ABCD是平行四边形.四边形ABCD是菱形.DBCAO正方形的性质正方形的性质驶向胜利的彼岸 我思我思,我进步我进步4 4w定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.w求证:(1)A=B=C=D=900.w (2)AB=BC=CD=DA.w分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.w证明:四边形ABCD是矩形,也是菱形.A=B=C=D=900,AB=BC=CD=DA.四边形ABCD是正方形,ABCDw已知:四边形ABCD是正方形.正方形的性质正方形的性质驶向胜利的彼岸 我思我思,我进步我进步4 4w定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.w求证:(1).AC=BD,ACBD,AO=CO,BO=DO; (2).AC平分BAD和BCD,BD平分ADC和ABC. w分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.w证明:四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形.AO=CO,BO=DO;AC=BD;四边形ABCD是正方形,ACBD;AC平分BAD和BCD,BD平分ADC和ABC.w已知:四边形ABCD是正方形,AC,BD是它的两条对角线.ABCDO正方形的判定正方形的判定驶向胜利的彼岸 我思我思,我进步我进步4 4w定理:有一个角是直角的菱形是正方形.w求证:四边形ABCD是正方形.w分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形即可.w证明:AB=BC,C=A=900,B=1800-A=900.A=B=C=900.四边形ABCD是矩形.四边形ABCD是菱形,A=900,AB=BC,四边形ABCD是正方形.w已知:四边形ABCD是菱形,A=900.ABCD正方形的判定正方形的判定驶向胜利的彼岸 我思我思,我进步我进步4 4w定理:对角线相等的菱形是正方形.w求证:四边形ABCD是正方形.w分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形(或有一个角是直角的菱形)即可.w证明:AB=BC,四边形ABCD是平行四边形.AC=BD,四边形ABCD是矩形.AB=BC,四边形ABCD是菱形,四边形ABCD是正方形.w已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD.ABCDO正方形的判定正方形的判定驶向胜利的彼岸 我思我思,我进步我进步4 4w定理:对角线互相垂直的矩形是正方形.w求证:四边形ABCD是正方形.w分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一角是直角的菱形(或有一组邻边相等的矩形,或对角线相等的菱形)即可.w证明:ABC=900,四边形ABCD是平行四边形.ACBD,四边形ABCD是菱形.ABC=900.四边形ABCD是矩形,四边形ABCD是正方形.已知:四边形ABCD是矩形,且ACBD.ABCDO菱形的性质菱形的性质驶向胜利的彼岸w定理:菱形的四条边都相等.w定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.回顾 思考w四边形ABCD是菱形,AB=BC=CD=AD.wAC,BD是菱形ABCD的两条对角线.ACBD,AC平分BAD和BCD,BD平分ADC和ABC.CBDADBCAO菱形的判定菱形的判定驶向胜利的彼岸w定理:四条边都相等的四边形是菱形.w定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.回顾 思考w在四边形ABCD中, wAB=BC=CD=AD,四边形ABCD是菱形.wAC,BD是ABCD的两条对角线,ACBD.四边形ABCD是菱形.CBDADBCAO正方形的性质正方形的性质驶向胜利的彼岸w定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.w定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.回顾 思考w四边形ABCD是正方形,A=B=C=D=900,AB=BC=CD=DA.w四边形ABCD是正方形,AC=BD;ACBD;AO=CO,BO=DO;AC平分BAD和BCD,BD平分ADC和ABC.ABCDABCDO正方形的判定正方形的判定驶向胜利的彼岸w定理:有一个角是直角的菱形是正方形.w定理:对角线相等的菱形是正方形.w定理:对角线互相垂直的矩形是正方形.回顾 思考w四边形ABCD是菱形,A=900,四边形ABCD是正方形.w四边形ABCD是菱形,AC=DB.四边形ABCD是正方形.四边形ABCD是正方形.ABCDABCDOw四边形ABCD是矩形,ACBD,知识的升华独立独立作业作业P99习题3.5 1,2,3题.祝你成功！P99习题3.5 2题.独立独立作业作业2.菱形的面积等于其对角线乘积的一半.DBCAOP90习题3.5 3题.独立独立作业作业已知:如图,A,B,C,D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上.仓库P和Q分别位于AD和DC上,且PD=QC. 证明:两条直路BP=AQ,且BPAQ.ABCDPQ结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.条理清晰，因果相应,言必有据.是初学证明者谨记和遵循的原则.下课了!