第二章2.2用样本估计总体2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征学习目标1.正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.2.理解用样本的基本数字特征来估计总体的基本数字特征.知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠栏目索引知识梳理 自主学习知识点一众数、中位数、平均数1.众数、中位数、平均数定义(1)众数：一组数据中重复出现次数的数.(2)中位数：把一组数据按的顺序排列，处在位置(或中间两个数的)的数叫做这组数据的中位数.(3)平均数：如果n个数x1，x2，xn，那么(x1x2xn)叫做这n个数的平均数.最多从小到大中间平均数答案2.三种数学特征与频率分布直方图的关系众数众数是最高长方形的中点所对应的数据，表示样本数据的中心值中位数(1)在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等，由此可以估计中位数的值，但是有偏差；(2)表示样本数据所占频率的等分线平均数(1)平均数等于每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和；(2)平均数是频率分布直方图的重心，是频率分布直方图的平衡点知识点二标准差、方差1.标准差(1)平均距离与标准差标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示.则用如下公式来计算标准差：(2)计算标准差的步骤2.方差标准差的平方s2叫做方差.其中，xi(i1,2，n)是，n是，是.样本数据样本容量样本平均数返回答案题型探究重点突破题型一众数、中位数、平均数的简单运用例1某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5500500035003000250020001500(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；解析答案(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)解析答案(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法.解在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平.解析答案反思与感悟跟踪训练1在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：成绩(单位：m)1.501.601.651.701.751.801.851.90人数23234111分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.解析答案题型二平均数和方差的运用例2甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；解析答案(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.解两台机床所加工零件的直径的平均值相同，解析答案反思与感悟跟踪训练2某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其质量，分别记录抽查数据如下(单位：kg)：甲：10210199981039899乙：110115908575115110(1)这种抽样方法是哪一种方法？解采用的抽样方法是：系统抽样.解析答案(2)试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品比较稳定.解析答案题型三频率分布与数学特征的综合应用例3已知一组数据：125121123125127129125128130129126124125127126122124125126128(1)填写下面的频率分布表：分组频数频率121,123)123,125)125,127)127,129)129,131合计解析答案20.13843200.150.40.20.150.1(2)作出频率分布直方图；解频率分布直方图如下：解析答案(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数.解在125,127)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数126，事实上，众数的精确值为125.解析答案反思与感悟跟踪训练3某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.求：(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数；解由图可知众数为65，又第一个小矩形的面积为0.3，设中位数为60x，则0.3x0.040.5，得x5，中位数为60565.解析答案(2)高一参赛学生的平均成绩.解 依题意，平均成绩为550.3650.4750.15850.1950.0567，平均成绩约为67.解析答案分类讨论思想思想方法例4某班有四个学习小组，各小组人数分别为10,10，x,8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数.分析由于x未知，因此中位数不确定，需讨论.分析解后反思解析答案返回当堂检测123451.下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是()A.平均数B.中位数C.方差D.众数解析由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度.C解析答案123452.一组样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x等于()A.21B.22C.20D.23A解析答案123453.一组样本数据a,3,5,7的平均数是b，且a，b是方程x25x40的两根，则这个样本的方差是()A.3B.4C.5D.6解析x25x40的两根是1,4.当a1时，a,3,5,7的平均数是4；当a4时，a,3,5,7的平均数不是1.所以a1，b4，则方差为s25.C解析答案123454.一次选拔运动员的测试中，测得7名选手中的身高(单位：cm)分布的茎叶图如图所示.记录的平均身高为177cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，则x等于()A.5B.6C.7D.8解析由题意知，101103x8977，解得x8.D解析答案123455.某 学 员 在 一 次 射 击 测 试 中 射 靶 10次 ， 命 中 环 数 如 下 ：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4则：(1)平均命中环数为_；7(2)命中环数的标准差为_.解析s2(77)2(87)2(77)2(97)2(57)2(47)2(97)2(107)2(77)2(47)24，s2.2解析答案课堂小结返回1.一组数据中的众数可能不止一个，中位数是唯一的，求中位数时，必须先排序.2.利用直方图求数字特征：(1)众数是最高的矩形的底边的中点.(2)中位数左右两边直方图的面积应相等.(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.3.标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度.方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差.