2 2 实际问题的函数建模实际问题的函数建模 1.1.了解数学建模，掌握根据已知条件建立函数关系式的了解数学建模，掌握根据已知条件建立函数关系式的方法；方法； ( (重点重点) )2. 2. 增强应用数学的意识以及分析问题、解决问题的能力增强应用数学的意识以及分析问题、解决问题的能力. . ( (难点难点) ) 在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画。可以用函数刻画。 问题问题1 1 当人的生活环境温度改变时，人体代谢率也当人的生活环境温度改变时，人体代谢率也有相应的变化，表中给出了实验的一组数据，这些数据能说有相应的变化，表中给出了实验的一组数据，这些数据能说明什么？明什么？环境温度环境温度/ /（o oC C）4 41010202030303838代谢率代谢率/4185J/4185J/（h hm m2 2） 60604444404040.540.55454 解析：解析：在这个实际问题在这个实际问题中出现了两个变量：一个是环境中出现了两个变量：一个是环境温度；另一个是人体的代谢率。不难看出，对于每一个环境温度；另一个是人体的代谢率。不难看出，对于每一个环境温度都有唯一的人体代谢率与之对应，这就决定了一个函数温度都有唯一的人体代谢率与之对应，这就决定了一个函数关系。实验数据已经给出了几个特殊环境温度时的人体代谢关系。实验数据已经给出了几个特殊环境温度时的人体代谢率，为了使函数关系更直观，我们将表中的每一对实验值在率，为了使函数关系更直观，我们将表中的每一对实验值在直角坐标系中表示出来。在医学研究中，为了方便，常用折直角坐标系中表示出来。在医学研究中，为了方便，常用折线把它们连接起来。线把它们连接起来。/ /（）/41854185J/(hJ/(hm m2 2)38 4038 40 根据图像，可以看出下列性质：根据图像，可以看出下列性质： （1 1）代谢率曲线在小于）代谢率曲线在小于2020o oC C的范围内是下降的，的范围内是下降的，在大于在大于3030o oC C的范围内是上升的；的范围内是上升的； （2 2）环境温度在）环境温度在2020o oC C 3030o oC C时，代谢率较低，时，代谢率较低，并且较稳定，即温度变化时，代谢率变化不大；并且较稳定，即温度变化时，代谢率变化不大；（3 3）环境温度太低或太高时，它对代谢率有较大影响。）环境温度太低或太高时，它对代谢率有较大影响。 所以，临床上做所以，临床上做“基础代谢率基础代谢率”测定时，室温要保持在测定时，室温要保持在2020o oC C 3030o oC C之间，这样可以使环境温度影响最小。之间，这样可以使环境温度影响最小。通过图像，更好地通过图像，更好地把握环境温度与人把握环境温度与人体代谢关系体代谢关系 问题问题2 2 某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新专用设备和制作模具花去了专用设备和制作模具花去了200000200000元，生产每件工艺品的元，生产每件工艺品的直接成本为直接成本为300300元，每件工艺品的售价为元，每件工艺品的售价为500500元，产量元，产量x x对对总成本总成本C C、单位成本、单位成本P P、销售收入、销售收入R R以及利润以及利润L L之间存在什么之间存在什么样的函数关系？表示了什么实际含义？样的函数关系？表示了什么实际含义？解解 总成本总成本C C与产量与产量x x的关系的关系 C=200000+300xC=200000+300x；单位成本单位成本P P与产量与产量x x的关系的关系 P=300+200000 /xP=300+200000 /x；销售收入销售收入R R与产量与产量x x的关系的关系 R=500x R=500x ； 利润利润L L与产量与产量x x的关系的关系 L=R-C=200x-200000L=R-C=200x-200000。 以上各式建立的是函数关系。以上各式建立的是函数关系。（1 1）从利润关系式可见，希望有较大利润应增）从利润关系式可见，希望有较大利润应增加产量。加产量。 若若x1000,x1000 x1000 ，则可盈利，则可盈利. . (2)(2)从单位成本从单位成本P P与产量与产量x x的关系的关系P=300+200000/xP=300+200000/x 可见，为了降低成本，应增加产量，以形成规模效益。可见，为了降低成本，应增加产量，以形成规模效益。 解决应用题的一般程序是：解决应用题的一般程序是：审题审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；建模：建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，将文字语言转化为数学语言，利用数学知识， 建立相应的数学模型；建立相应的数学模型；解模：解模：求解数学模型，得出数学结论；求解数学模型，得出数学结论；提升总结提升总结还原：还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问将用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题题数学建模过程：数学建模过程：实际问题实际问题抽象概括抽象概括数学模型数学模型推推理理演演算算数学模型的解数学模型的解还原说明还原说明实际问题的解实际问题的解思考思考：（：（1 1）总费用由哪些部分组成？）总费用由哪些部分组成？ （2 2）每一部分费用的表达式是什么？）每一部分费用的表达式是什么？例例1 1 某公司一年需要一种计算机元件某公司一年需要一种计算机元件80008000个个, ,每天需同样多的元件用于组装每天需同样多的元件用于组装整机整机. .该元件每年分该元件每年分n n次进货次进货, ,每次购买每次购买元件的数量均为元件的数量均为x,x,购一次货需手续费购一次货需手续费500500元元. .已购进而未使用的元件要付库已购进而未使用的元件要付库存费存费, ,可以认为平均库存量为可以认为平均库存量为 x x件件, ,每个元件的库存费是一年每个元件的库存费是一年2 2元元. .请核算一下请核算一下, ,每年进货几次花每年进货几次花费最小费最小? ? 分析：分析：1.1.每次进货量每次进货量x x与进货次数与进货次数n n的关系：的关系： (n1,nz)(n1,nz)2.2.进货次数为：进货次数为：3.3.全年的手续费是：全年的手续费是：4.4.一年的总库存费为：一年的总库存费为：5.5.其它费用：其它费用：即即n=4n=4时时, ,总费用最少，故以每年进货总费用最少，故以每年进货4 4次为宜次为宜. .令总费用为令总费用为F F4000+C当且仅当当且仅当 ，例例2 2 电声器材厂在生产扬声电声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要器的过程中，有一道重要的工序：使用的工序：使用ABAB胶黏合胶黏合扬声器中的磁钢与夹板扬声器中的磁钢与夹板. .长期以来长期以来, ,由于对由于对ABAB胶的胶的用量没有一个确定的标准用量没有一个确定的标准, ,经常出现用胶过多经常出现用胶过多, ,胶水外溢胶水外溢; ;或或用胶过少用胶过少, ,产生脱胶产生脱胶, ,影响了产品质量影响了产品质量. .经过实验经过实验, ,已有一些恰已有一些恰当用胶量的具体数据如表当用胶量的具体数据如表. .序号序号1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010磁钢面积磁钢面积/cm/cm2 211.011.019.419.426.226.246.646.656.656.667.267.2125.2125.2189.0189.0247.1247.1443.4443.4用胶量用胶量/g/g0.1640.1640.3960.3960.4040.4040.6640.6640.8120.8120.9720.9721.6881.6882.862.864.0764.0767.3327.332现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的关系胶量的关系思考如下问题思考如下问题：（1 1）磁钢面积与用胶量间是否具有函数关系？用什么方法）磁钢面积与用胶量间是否具有函数关系？用什么方法可以确定是什么函数关系？可以确定是什么函数关系？（2 2）确定函数类型后，如何求出具体的函数解析式？）确定函数类型后，如何求出具体的函数解析式？解解 以以磁钢面积磁钢面积x x为横坐标为横坐标, ,用胶量用胶量y y为纵坐标为纵坐标, ,建立直角建立直角坐标系坐标系. .根据上表数据描点根据上表数据描点. .01234567850 100150200250300350400450500 x/cm2y/gy/gy/g根据点的分布特点根据点的分布特点, ,用用y=ax+by=ax+b表示其关表示其关系系取点取点(56.6,0.812),(189.0,2.86)(56.6,0.812),(189.0,2.86)代入代入y=ax+by=ax+b, ,得方程组得方程组: :解得：解得： a=0.015 47, b=-0.06350a=0.015 47, b=-0.06350这条直线是这条直线是 ： y=0.015 47x-0.063 50y=0.015 47x-0.063 50注：取不同的的点代入会得到不同直线，要注意检验注：取不同的的点代入会得到不同直线，要注意检验是否符合实际问题。是否符合实际问题。数据拟合数据拟合: : 通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合. .实际数据实际数据画出散点图画出散点图选择函数模型选择函数模型求出函数模型求出函数模型检验检验用函数模型解答实际问题用函数模型解答实际问题不合乎实际不合乎实际合乎实际合乎实际提升总结：提升总结：数据拟合过程：数据拟合过程： 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高身高/cm6060707080809090100100110110体重体重/kg6.136.137.907.909.999.9912.1512.1515.0215.0217.5017.50身高身高/cm120120130130140140150150160160170170体重体重/kg20.9220.9226.8626.8631.1131.1138.8538.8547.2547.2555.0555.05(1)(1)根据表提供的的数据根据表提供的的数据, ,能否建立一个恰当的函数模型能否建立一个恰当的函数模型, ,使使它能近似地反映这个地区未成年男性体重它能近似地反映这个地区未成年男性体重y y与身高与身高x x的的函数关系函数关系? ?试写出这个函数模型的关系式；试写出这个函数模型的关系式；变式练习：变式练习：解：解：(1)(1)以身高为横坐标以身高为横坐标, ,体重为纵坐标体重为纵坐标, ,画出散点图画出散点图根据图的分布特根据图的分布特点点, ,设设y=ay=ab bx x这一这一函数来近似刻画函数来近似刻画其关系其关系; ;y/kgx/cm取两点取两点(70,7.90),(160,47.25),(70,7.90),(160,47.25),代入代入y=ay=ab bx x 得：得：用计算器得：用计算器得：a a 2, b2, b 1.021.02这样就得到函数模型：这样就得到函数模型：y=2y=2 1.021.02x x解析解析: : (2) (2)将将x=175x=175代入代入y=2y=2 1.021.02x x，得，得y=2y=2 1.021.02175175用计算器得：用计算器得：y y 63.98 63.98由于由于 7878 63.9863.98 1.221.2,1.221.2,所以这个男生偏胖。所以这个男生偏胖。(2)(2)若体重超过相同身高男性体重的平均值的若体重超过相同身高男性体重的平均值的1.21.2倍为偏胖倍为偏胖, ,低于低于0.80.8倍为偏瘦倍为偏瘦, ,那么这个地区一名身高为那么这个地区一名身高为175175, ,体重为体重为7878的在校男生的体重是否正常的在校男生的体重是否正常? ?1.1.一家旅社有一家旅社有100100间相同的客房，经过一段时间的经营实践间相同的客房，经过一段时间的经营实践, ,旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：系：每间每天房价每间每天房价住房率住房率2020元元1818元元1616元元1414元元6565757585859595要使每天收入达到最高，每间定价应为（要使每天收入达到最高，每间定价应为（ ）A.20A.20元元 B.18B.18元元 C.16C.16元元 D.14D.14元元C C2.2.将进货单价为将进货单价为8080元的商品按元的商品按9090元一个售出时，能卖出元一个售出时，能卖出400400个，已知这种商品每个涨价个，已知这种商品每个涨价1 1元，其销售量就减少元，其销售量就减少2020个，为个，为了取得最大利润，每个售价应定为了取得最大利润，每个售价应定为( )( ) A.95 A.95元元 B.100B.100元元 C.105C.105元元 D.110D.110元元A A为常数为常数) )，已知四月份该产品的产量为已知四月份该产品的产量为1.371.37万件，万件，请问：用以上那个函数作模拟函数较好？说明理由。请问：用以上那个函数作模拟函数较好？说明理由。 3.3.某工厂今年某工厂今年1 1月、月、2 2月、月、3 3月生产某产品分别为月生产某产品分别为1 1万件、万件、1.21.2万件、万件、1.31.3万件，为估计以后每月的产量，以这三个月的产万件，为估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y y与月份与月份x x的关的关系，模拟函数可选用二次函数或系，模拟函数可选用二次函数或解：解：设二次函数为：设二次函数为：由已知得由已知得所以所以当当x=4x=4时，时，又对于函数又对于函数 由已知得：由已知得：所以所以当当x=4x=4时，时，由四月份的实际产量为由四月份的实际产量为1.371.37万件万件, ,选用函数选用函数 作模拟函数较好。作模拟函数较好。1.1.解决应用问题的步骤解决应用问题的步骤; ;2.2.数据拟合的过程数据拟合的过程. .