1.1.全微分的定义全微分的定义2.2.可微条件可微条件3. 3. *全微分在数值计算中的应用全微分在数值计算中的应用4. 高阶微分高阶微分第第3节多元函数的导数与微分节多元函数的导数与微分3.2 全微分全微分(Total Differential)2013年4月1南京航空航天大学 理学院 数学系应用应用 一元函数一元函数 y = f (x) 的微分的微分近似计算近似计算估计误差估计误差推广推广多元函数的微分多元函数的微分-全微分全微分1.全微分的定义全微分的定义23(2) 偏导数连续偏导数连续下面小节中两个定理给出了可微与偏导数的关系下面小节中两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1) 函数可函数可微微函数函数 z = f (x, y) 在点在点 (x, y) 可可微微由微分定义由微分定义 :得得函数在该点连续函数在该点连续偏导数存在偏导数存在 函数可微函数可微 定理定理142、可微的条件、可微的条件同样可证同样可证证明证明 由全增量公式由全增量公式得到对得到对 x 的偏增量的偏增量因此有因此有 5反例反例: 函数函数易知易知 但但因此因此,函数在点函数在点 (0,0) 不可微不可微 .注意注意: 定理定理2 的逆定理不成立的逆定理不成立 .偏导数存在函数偏导数存在函数 不一定可微不一定可微 !即即:6说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在定理定理3 (充分条件充分条件)证明证明789推广推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如例如, 三元函数三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示习惯上把自变量的增量用微分表示,记作记作故有下述叠加原理故有下述叠加原理称为称为偏微分偏微分.的全微分为的全微分为于是于是See P35n元函数的全微分10See P35See P35：n n元函数的全微分的定义元函数的全微分的定义若若 11解解所求全微分所求全微分12解解13解解所求全微分所求全微分1415证证令令则则同理同理16不存在不存在.1718多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导193 *全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用也可写成也可写成20解解由公式得由公式得214. 高阶微分高阶微分 See P.45.如如22如如23、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的求法；、多元函数全微分的求法；、多元函数连续、可导、可微的关系、多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）小结小结24思考题思考题25练练 习习 题题-0.119 -0.125 262728练习题答案练习题答案29