第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式公式名公式名公式公式两角和与两角和与差的正弦差的正弦两角和与两角和与差的余弦差的余弦两角和与两角和与差的正切差的正切1.1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式【即时应用即时应用】(1)(1)判断下列式子的正误判断下列式子的正误.(.(请在括号内打请在括号内打“”“”或或“”)”)cos15=cos(45-30)=cos45-cos30( )cos15=cos(45-30)=cos45-cos30( )sin15=sin(45-30)=cos45sin30-sin45cos30sin15=sin(45-30)=cos45sin30-sin45cos30 ( ) ( )cos15=cos(60-45)=cos60cos45+ sin60sin45cos15=cos(60-45)=cos60cos45+ sin60sin45 ( ) ( )cos15cos15=cos(60=cos(60-45-45)=cos60)=cos60cos45cos45-sin60-sin60sin45sin45 ( ) ( ) (2)(2)计算计算sin72cos18+cos72sin18=_.sin72cos18+cos72sin18=_.(3)(3)计算计算cos72cos12+sin72sin12=_.cos72cos12+sin72sin12=_.【解析解析】(1)cos15=cos(45-30)=cos45cos30+ (1)cos15=cos(45-30)=cos45cos30+ sin45sin30,sin45sin30,故故错误；错误；sin15=sin(45-30)= sin15=sin(45-30)= sin45cos30-cos45sin30sin45cos30-cos45sin30，故，故错误错误;正确，正确，cos15=cos(60-45)=cos60cos45+sin60sin45,cos15=cos(60-45)=cos60cos45+sin60sin45,故故错误错误. .(2)(2)原式原式=sin(72+18)=sin90=1.=sin(72+18)=sin90=1.(3)(3)原式原式=cos(72-12)=cos60= .=cos(72-12)=cos60= .答案：答案：(1) (2)1 (3)(1) (2)1 (3)2.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式公式名公式名公式公式二倍角的正弦二倍角的正弦二倍角的余弦二倍角的余弦二倍角的正切二倍角的正切【即时应用即时应用】(1)(1)思考：二倍角公式思考：二倍角公式tan2= tan2= 中对任意的中对任意的都成立都成立吗？吗？提示：提示：不一定不一定, ,当当k+ 2k+ (kZ)k+ 2k+ (kZ)时，公式成时，公式成立立. .(2) sin15cos15(2) sin15cos15的值等于的值等于_._.【解析解析】 sin15cos15= 2sin15cos15 sin15cos15= 2sin15cos15= sin30= sin30=答案：答案：(3)(3)若若tan= tan= 则则tan2=_.tan2=_.【解析解析】答案：答案：热点考向热点考向 1 1 三角函数的化简三角函数的化简【方法点睛方法点睛】三角函数化简的技巧、方法和要求三角函数化简的技巧、方法和要求(1)(1)寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；(2)(2)正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；殊角的三角函数值；(3)(3)一些常规技巧：一些常规技巧：“1”1”的代换、正切化弦、和积互化、异角的代换、正切化弦、和积互化、异角化同角等化同角等(4)(4)三角函数的化简常用方法是：异名三角函数化为同名三角三角函数的化简常用方法是：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化角的三角函数互化(5)(5)化简要求：化简要求：能求出值的应求出值；能求出值的应求出值；使三角函数种数尽使三角函数种数尽量少；量少；使项数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使分母不含三角函数；尽量尽量使被开方数不含三角函数使被开方数不含三角函数. .【提醒提醒】公式的逆用、变形用十分重要，特别是公式的逆用、变形用十分重要，特别是1+cos2= 1+cos2= 2cos2cos2 2,1-cos2=2sin,1-cos2=2sin2 2,形式相似，容易出错，应用时要加形式相似，容易出错，应用时要加强强“目标意识目标意识”. .【例例1 1】化简下列各式：化简下列各式：【解题指南解题指南】(1)(1)若注意到化简式是开平方根和若注意到化简式是开平方根和22是是的二的二倍，倍，是是 的二倍，以及其范围不难找到解题的突破口；的二倍，以及其范围不难找到解题的突破口；(2)(2)由于分子是一个平方差，分母可通过二倍角公式化简，若由于分子是一个平方差，分母可通过二倍角公式化简，若注意到这两大特征，不难得到解题的切入点注意到这两大特征，不难得到解题的切入点. .【规范解答规范解答】(1)(1)因为因为 2,2,所以所以 =|cos|=cos,=|cos|=cos,又因为又因为所以所以所以，原式所以，原式= =答案：答案：(1) (2)1(1) (2)1【互动探究互动探究】把本例中的把本例中的(2)(2)改为改为【解析解析】原式原式= = 答案：答案：【反思反思感悟感悟】1.1.在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于限于22是是的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意同时还要注意2, +, -2, +, -三个角的内在联系，三个角的内在联系，cos2= sin( cos2= sin( 2)=2sin( )cos( )2)=2sin( )cos( )是常用的三角变换是常用的三角变换. .2.2.化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次、消化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次、消元、切化弦、异名化同名、异角化同角是常用的化简技巧元、切化弦、异名化同名、异角化同角是常用的化简技巧. .3.3.常用的公式变形：常用的公式变形：【变式备选变式备选】不查表求不查表求sinsin2 220+cos20+cos2 280+ sin20cos8080+ sin20cos80的值的值. .【解析解析】sinsin2 220+cos20+cos2 280+ sin20cos8080+ sin20cos80= (1= (1cos40)+ (1+cos160)+ sin20cos80cos40)+ (1+cos160)+ sin20cos80=1=1 cos40+ cos160+ sin20cos(60+20) cos40+ cos160+ sin20cos(60+20)=1=1 cos40+ (cos120cos40 cos40+ (cos120cos40sin120sin40)+sin120sin40)+ sin20(cos60cos20 sin20(cos60cos20sin60sin20)sin60sin20)热点考向热点考向 2 2 三角函数的求值三角函数的求值【方法点睛方法点睛】三角函数的求值主要有两种类型，即给角求值，三角函数的求值主要有两种类型，即给角求值，给值求值给值求值. .(1)(1)给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相消，从而化为特殊角的三角函数函数相消，从而化为特殊角的三角函数. .(2)(2)给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异差异. .一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代用，同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的入，从而达到解题的目的. .【例例2 2】若若 的值的值. .【解题指南解题指南】本题可以利用本题可以利用 的变换，同时要注意的变换，同时要注意x x的范围和符号，求出的范围和符号，求出sinxsinx和和cosxcosx代入原式求解；也可以化简代入原式求解；也可以化简原式后得到二倍角与和角的三角函数，利用原式后得到二倍角与和角的三角函数，利用 的变换，再利用两角差的余弦和二倍角公式求解的变换，再利用两角差的余弦和二倍角公式求解. .【规范解答规范解答】方法一：由方法一：由【反思反思感悟感悟】1.1.此题若将此题若将 的左边展开成的左边展开成 再求再求cosx,sinxcosx,sinx的值就很繁琐，把的值就很繁琐，把 作为整体，并注意角的变换作为整体，并注意角的变换 这样就可运用二这样就可运用二倍角公式倍角公式. .化难为易，化繁为简是三角恒等变换的关键化难为易，化繁为简是三角恒等变换的关键. .2.2.解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角. .【变式训练变式训练】(2012(2012山东高考山东高考) )若若 , sin2=, sin2= 则则sin=( )sin=( )【解析解析】选选D.D.由于由于 ，则，则22 ,，所以，所以cos20.cos20.因为因为sin2=sin2=所以所以又又cos2=1-2sincos2=1-2sin2 2，所以所以【变式备选变式备选】已知已知 求求sin(+)sin(+)的值的值. .【解析解析】又又sin(+)=-sinsin(+)=-sin+(+)+(+)热点考向热点考向 3 3 三角函数的给值求角三角函数的给值求角【方法点睛方法点睛】1.1.三角函数的给值求角问题的一般思路三角函数的给值求角问题的一般思路(1)(1)求出该角的某一三角函数值；求出该角的某一三角函数值；(2)(2)确定角的范围；确定角的范围；(3)(3)根据角的范围写出角根据角的范围写出角. .2.2.三角函数给值求角时应注意的问题三角函数给值求角时应注意的问题求角的某一三角函数值时求角的某一三角函数值时, ,尽量选择在该角所在范围内是单调的尽量选择在该角所在范围内是单调的函数，这样函数，这样, ,由三角函数值才可以唯一确定角由三角函数值才可以唯一确定角. .(1)(1)若角的范围是若角的范围是(0, ),(0, ),选正、余弦皆可选正、余弦皆可; ;(2)(2)若角的范围是若角的范围是(0,),(0,),选余弦较好选余弦较好; ;(3)(3)若角的范围为若角的范围为 则选正弦则选正弦. .【例例3 3】已知已知cos=cos=(1)(1)求求tan2tan2的值；的值；(2)(2)求求.【解题指南解题指南】(1)(1)利用同角三角函数关系式求出利用同角三角函数关系式求出sin,tan,sin,tan,再再求出求出tan2tan2；(2)(2)把把写成写成-(-)-(-)，根据已知条件求出，根据已知条件求出的的正弦，正弦，-的正弦，求出的正弦，求出coscos，根据范围确定角，根据范围确定角. .【规范解答规范解答】(1)(1)由由(2)(2)由由由由=-(-),=-(-),得得cos=coscos=cos-(-)-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=coscos(-)+sinsin(-)【反思反思感悟感悟】根据三角函数值求角时，一定要先确定角的范围根据三角函数值求角时，一定要先确定角的范围. .另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式sinBcosAsinBcosAsinAcosBsinAcosB两端同除以两端同除以cosAcosBcosAcosB得得tanB=tanAtanB=tanA等变化技巧也经常用等变化技巧也经常用到到. .【变式训练变式训练】已知已知 、均为锐均为锐角，求角，求+的值的值. .【解析解析】热点考向热点考向 4 4 三角函数的综合应用三角函数的综合应用【方法点睛方法点睛】三角函数公式和三角函数性质的关系三角函数公式和三角函数性质的关系(1)(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数性质中往渗透在研究三角函数性质中. .需要利用这些公式需要利用这些公式, ,先把函数解析先把函数解析式化为式化为y=Asin(x+y=Asin(x+) )的形式的形式, ,再进一步探讨定义域、值域和最再进一步探讨定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质. .(2)(2)注意特殊角三角函数值、诱导公式等基础知识的应用，主要注意特殊角三角函数值、诱导公式等基础知识的应用，主要考查基本运算能力考查基本运算能力【例例4 4】已知函数已知函数f(x)=2sin(-x)cosx.f(x)=2sin(-x)cosx.(1)(1)求求f(x)f(x)的最小正周期；的最小正周期；(2)(2)求求f(x)f(x)在区间在区间 上的最大值和最小值上的最大值和最小值. .【解题指南解题指南】先利用诱导公式和倍角公式进行恒等变换，再求三先利用诱导公式和倍角公式进行恒等变换，再求三角函数的性质角函数的性质. .【规范解答规范解答】(1)f(x)=2sin(-x)cosx=2sinxcosx=sin2x,(1)f(x)=2sin(-x)cosx=2sinxcosx=sin2x,函数函数f(x)f(x)的最小正周期为的最小正周期为.(2)(2)由由f(x)f(x)在区间在区间 上的最大值为上的最大值为1 1，最小值为，最小值为【反思反思感悟感悟】利用三角函数公式进行三角恒等变形，要求熟练利用三角函数公式进行三角恒等变形，要求熟练掌握公式和变换技巧，强化运算能力掌握公式和变换技巧，强化运算能力. .以基本三角函数的性质为以基本三角函数的性质为基础求基础求y=Asin(x+y=Asin(x+) )的性质，有时给出角的范围时要注意的性质，有时给出角的范围时要注意x+x+的范围的变化的范围的变化. .【变式训练变式训练】(2013(2013三明模拟三明模拟) )已知函数已知函数f(x)=f(x)=(1)(1)求求f(x)f(x)的最小正周期的最小正周期. .(2)(2)若将若将f(x)f(x)的图象向右平移的图象向右平移 个单位个单位, ,得到函数得到函数g(x)g(x)的图的图象，求函数象，求函数g(x)g(x)在区间在区间0,0,上的最大值和最小值上的最大值和最小值. .【解析解析】(1)f(x)= sin(x+ )+sin x= cos x+sin x=(1)f(x)= sin(x+ )+sin x= cos x+sin x=2( sin x+ cos x)=2sin(x+ ),2( sin x+ cos x)=2sin(x+ ),所以所以f(x)f(x)的最小正周期为的最小正周期为2.2.(2)(2)将将f(x)f(x)的图象向右平移的图象向右平移 个单位个单位, ,得到函数得到函数g(x)g(x)的图象的图象. .g(x)=f(x- )=2sing(x)=f(x- )=2sin(x- )+ (x- )+ =2sin(x+ ),=2sin(x+ ),xx0,0,时，时，x+ x+ , ,当当x+ = x+ = ，即，即x= x= 时，时，sin(x+ )=1,g(x)sin(x+ )=1,g(x)取得最大值取得最大值2.2.当当x+ = ,x+ = ,即即x=x=时时,sin(x+ )=- ,g(x),sin(x+ )=- ,g(x)取得最小值取得最小值-1.-1.【变式备选变式备选】已知函数已知函数 (1)(1)求函数求函数f(x)f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程的最小正周期和图象的对称轴方程; ;(2)(2)求函数求函数f(x)f(x)在区间在区间 上的值域上的值域. .【解析解析】(1)f(x)=cos(2x- )+2sin(x- )sin(x+ )(1)f(x)=cos(2x- )+2sin(x- )sin(x+ )= cos2x+ sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx)= cos2x+ sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx)= cos2x+ sin2x+sin= cos2x+ sin2x+sin2 2x-cosx-cos2 2x x= cos2x+ sin2x-cos2x=sin(2x- ),= cos2x+ sin2x-cos2x=sin(2x- ),周期周期T= =,T= =,由由函数图象的对称轴方程为函数图象的对称轴方程为 (kZ).(kZ).(2)(2)f(x)=sin(2x- )f(x)=sin(2x- )在区间在区间 上单调递增，在区间上单调递增，在区间 上单调递减，上单调递减，当当x= x= 时，时，f(x)f(x)取最大值取最大值1.1.又又当当 时，时，f(x)f(x)取最小值取最小值函数函数f(x)f(x)在区间在区间 上的值域为上的值域为1.(20111.(2011福建高考福建高考) )若若tan=3tan=3，则，则 的值等于的值等于( )( )(A)2(A)2(B)3(B)3(C)4(C)4(D)6(D)6【解析解析】选选D. D. 的值的值等于等于6.6.2.(20112.(2011福建高考福建高考) )若若(0(0， ) )，且，且sinsin2 2+cos2= +cos2= 则则tantan的值等于的值等于( )( )【解析解析】选选D.sinD.sin2 2+cos2=+cos2=sinsin2 2+(1-2sin+(1-2sin2 2)= )= sinsin2 2=又又(0, ),sin=(0, ),sin=cos=cos=3.(20123.(2012重庆高考重庆高考) )设设tan,tantan,tan是方程是方程x x2 2-3x+2=0-3x+2=0的两根的两根, ,则则tan(+)tan(+)的值为的值为( )( )(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3【解析解析】选选A.A.由根与系数的关系可知由根与系数的关系可知tan+tan=3,tantan=2,tan+tan=3,tantan=2,4.(20134.(2013漳州模拟漳州模拟) )已知已知tan =2,tan =2,则则 =( )=( )【解析解析】选选C. C. 5.(20135.(2013南平南平模拟模拟) )已知已知tan(x+ )=2,tan(x+ )=2,则则 的值为的值为_._.【解析解析】由由tan(x+ )=2,tan(x+ )=2,可得可得答案：答案：