优秀学习资料 欢迎下载 习题 7 7-1 原长为m5 . 0的弹簧，上端固定，下端挂一质量为kg1 . 0的物体，当物体静止时，弹簧长为m6 . 0现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。 （g 取 9.8） 解：振动方程：cos()xAt ，在本题中，kxmg，所以9.8k ； 9.8980.1km。 取竖直向下为 x 正向， 弹簧伸长为 0.1m 时为物体的平衡位置， 所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1m， 当 t=0 时，x=- A，那么就可以知道物体的初相位为 。 所以：0.1cos98xt（） 即：0.1cos(98 )xt。 7-2有一单摆，摆长m0 . 1l，小球质量g10m，0t时，小球正好经过rad06. 0处，并以角速度0.2rad/s向平衡位置运动。设小球的运动可看作简谐振动，试求： （1）角频率、频率、周期； （2）用余弦函数形式写出小球的振动式。 （g 取 9.8） 解：振动方程：cos()xAt 我们只要按照题意找到对应的各项就行了。 （1）角频率：9.83.13/gradsl， 频率：19.80.522gHzl ， 周期：2229.8lTsg； （2） 振动方程可表示为：cos 3.13At（）， 3.13sin 3.13At （） 根据初始条件，0t 时：cosA，0(1 2sin0(3 43.13A ，象限），象限） 可解得：，-2.32rad95. 3227rad,108 . 802A 所以得到振动方程： rad)32. 213. 3cos(108 . 82t。 7-3. 一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体，最初用手将物体在弹簧原长处托住，然后放手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置是初始位置下方10.0cm处，求： （1）振动频率； （2）物体在初始位置下方cm0 . 8处的速度大小。 解： （1）由题知 2A=10cm，所以 A=0.05m，选弹簧原长下方 0.05m 处为平衡位置； 优秀学习资料 欢迎下载 由0kxm g，知209.81965 10kgmx， 19614km， 振动频率：17()2kHzm； （2）物体在初始位置下方8.0cm处，对应着是 x=0.03m 的位置，所以： 3cos5xA，由22cossin1，有：4sin5 ， 而sinvA ，那么速度的大小为：40.56/5vAm s 。 7-4一质点沿x轴作简谐振动，振幅为cm12，周期为s2。当0t时，位移为cm6，且向x轴正方向运动。求： （1）振动表达式； （2）s5 . 0t时，质点的位置、速度和加速度； （3）如果在某时刻质点位于cm6x，且向x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 解： （1）由题已知 A=0.12m，T=2 s ， 2T 又t=0 时，06xcm，00v ，由旋转矢量图，可知：3 故振动方程为：0.12cos3xtm（）； （2）将 t=0.5 s 代入得： 0.12cos0.12cos0.10436xtm（）， 0.12 sin0.12cos0.188/36vtm s （）， 2220.12cos0.12cos1.03/36atm s （）， 方向指向坐标原点，即沿 x 轴负向； （3）由题知，某时刻质点位于6cm2Ax ， 且向x轴负方向运动，如图示，质点从P位置回到 平衡位置Q处需要走32 ，建立比例式：2tT， 有：56ts 。 Px2A 3Q弹簧缩回到原长然后放手以放手时开始计时取竖直向下为正向写出振动式取解振动方程在本题中所以取竖直向下为正向弹簧伸长为时为物体的平衡位置所以如果使弹簧的初状态为原长那么当时那么就可以知道物体的初相位为即所以形式写出小球的振动式取解振动方程我们只要按照题意找到对应的各项就行了时小球正好经过角频率频率周期振动方程可表示为根据初始条件时可解得所以得到振动方程象限象限一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体最初用手将物体在弹方处的速度大小解由题知所以选弹簧原长下方处为平衡位置优秀学习资料欢迎下载由知振动频率物体在初始位置下方处对应着是的位置所以由有而那么速度的大小为一质点沿轴作简谐振动振幅为周期为当时位移为且向轴正方向运动优秀学习资料 欢迎下载 7-5 两质点作同方向、 同频率的简谐振动， 振幅相等。 当质点 1 在 2/1Ax 处，且向左运动时，另一个质点 2 在 2/2Ax 处，且向右运动。求这两个质点的位相差。 解：由旋转矢量图可知： 当质点 1 在 2/1Ax 处，且向左运动时， 相位为3， 而质点 2 在 2/2Ax 处，且向右运动， 相位为43。 所以它们的相位差为。 7-6. 质量为m的密度计，放在密度为的液体中。已知密度计圆管的直径为d。试证明，密度计推动后，在竖直方向的振动为简谐振动。并计算周期。 解：平衡位置：当FG浮时，平衡点为 C 处。设此时进入水中的深度为 a：mggSa 可知浸入水中为 a 处为平衡位置。 以水面作为坐标原点 O，以向上为 x 轴，质心的位置为 x，分析受力：不管它处在什么位置，其浸没水中的部分都可以用ax来表示，所以力()Fg ax SgaSgS x ，利用牛顿定律：22d xFmdt， 再令：224gSgdmm ，可得：0222xdtxd，可见它是一个简谐振动； 周期为：24mTdg 。 7-7 证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为：mkkkk)(212121。 证明：两根弹簧的串联，由相互作用力相等，有：1 122k xk x，将串联弹簧等效于一根弹簧，仍有：1 122k xk xk x，考虑到xxx21， 弹簧缩回到原长然后放手以放手时开始计时取竖直向下为正向写出振动式取解振动方程在本题中所以取竖直向下为正向弹簧伸长为时为物体的平衡位置所以如果使弹簧的初状态为原长那么当时那么就可以知道物体的初相位为即所以形式写出小球的振动式取解振动方程我们只要按照题意找到对应的各项就行了时小球正好经过角频率频率周期振动方程可表示为根据初始条件时可解得所以得到振动方程象限象限一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体最初用手将物体在弹方处的速度大小解由题知所以选弹簧原长下方处为平衡位置优秀学习资料欢迎下载由知振动频率物体在初始位置下方处对应着是的位置所以由有而那么速度的大小为一质点沿轴作简谐振动振幅为周期为当时位移为且向轴正方向运动优秀学习资料 欢迎下载 可得：12111kkk ，所以：1212k kkkk 代入频率计算式，可得：mkkkkmk)(21212121 。 7-8 当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？ 解：由212PEk x，212kEmv，有：221cos ()2PEk At， 2222211sin ()sin ()22kEmAtk At， （1）当2Ax 时，由cos()xAt， 有：1cos()2t，3sin()2t， 14PEE，34kEE； （2）当12PkEEE时，有：22cos ()sin ()tt 1cos()2t ，20.7072xAA 。 7-9 两个同方向的简谐振动曲线(如图所示) （1）求合振动的振幅。 （2）求合振动的振动表达式。 解：通过旋转矢量图做最为简单。 由图可知，两个振动同频率，且 1A初相：12，2A初相：22 ， 表明两者处于反相状态， 弹簧缩回到原长然后放手以放手时开始计时取竖直向下为正向写出振动式取解振动方程在本题中所以取竖直向下为正向弹簧伸长为时为物体的平衡位置所以如果使弹簧的初状态为原长那么当时那么就可以知道物体的初相位为即所以形式写出小球的振动式取解振动方程我们只要按照题意找到对应的各项就行了时小球正好经过角频率频率周期振动方程可表示为根据初始条件时可解得所以得到振动方程象限象限一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体最初用手将物体在弹方处的速度大小解由题知所以选弹簧原长下方处为平衡位置优秀学习资料欢迎下载由知振动频率物体在初始位置下方处对应着是的位置所以由有而那么速度的大小为一质点沿轴作简谐振动振幅为周期为当时位移为且向轴正方向运动优秀学习资料 欢迎下载 （反相21(21)k ，0 1 2k ， ，） 12AA，合成振动的振幅：21AAA ； 合成振动的相位：22 ； 合成振动的方程：）（）（22cos12tTAAx 。 7-10两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为cm20，与第一个振动的位相差为6。若第一个振动的振幅为cm310。则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？ 解：如图，可利用余弦定理： 由图知 30cos2122122AAAAA=0.01 m A=0.1 m ， 再利用正弦定理：02sinsin30AA，有： 2sin12AA，2。 说明 A与 A间夹角为 /2 ，即两振动的位相差为 /2 。 7-11 一摆在空中作阻尼振动，某时刻振幅为cm30A，经过110ts后，振幅变为cm11A。问：由振幅为0A时起，经多长时间其振幅减为cm3 . 02A？ 解：根据阻尼振动的特征，00cos()txA et，知振幅：teAA0。 cm30A，当110ts时，cm11A，可得：1013e， 上式两边取对数，得：1ln310； 那么当振幅减为20.3Acm时，有：2110te， 两边取对数，有：2ln10t，210ln10101021ln3lg30.4771ts。 7-12 某弹簧振子在真空中自由振动的周期为0T，现将该弹簧振子浸入水中，由于水的阻尼作用，经过每个周期振幅降为原来的 90%，求： 弹簧缩回到原长然后放手以放手时开始计时取竖直向下为正向写出振动式取解振动方程在本题中所以取竖直向下为正向弹簧伸长为时为物体的平衡位置所以如果使弹簧的初状态为原长那么当时那么就可以知道物体的初相位为即所以形式写出小球的振动式取解振动方程我们只要按照题意找到对应的各项就行了时小球正好经过角频率频率周期振动方程可表示为根据初始条件时可解得所以得到振动方程象限象限一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体最初用手将物体在弹方处的速度大小解由题知所以选弹簧原长下方处为平衡位置优秀学习资料欢迎下载由知振动频率物体在初始位置下方处对应着是的位置所以由有而那么速度的大小为一质点沿轴作简谐振动振幅为周期为当时位移为且向轴正方向运动优秀学习资料 欢迎下载 （1）求振子在水中的振动周期T； （2）如果开始时振幅100A厘米，阻尼振动从开始到振子静止求振子经过的路程为多少？ 解： （1）TeAA0 9 . 00AAeT 910ln190. 0ln1TT 又阻尼振动的圆频率： 2202 即 910ln14 .42220222TTT 即 022000014. 1)00014. 01 (49/10ln1TTTTc 从本题解中可知阻尼因子对振幅的影响是比较大的，而对振动的周期影响却很小，有时甚至可以忽略不计。 （2）在整个阻尼振动过程中，振子所经过的路程可近似地表示为： 厘米400409 . 01414)1 (444400020210AAeAeeAAAASTTT 7-13 试画出cos(2)4xAt和cosyBt的李萨如图形。 解：2xy，:2:1xy 又4xy ，可参考书上的图形。 弹簧缩回到原长然后放手以放手时开始计时取竖直向下为正向写出振动式取解振动方程在本题中所以取竖直向下为正向弹簧伸长为时为物体的平衡位置所以如果使弹簧的初状态为原长那么当时那么就可以知道物体的初相位为即所以形式写出小球的振动式取解振动方程我们只要按照题意找到对应的各项就行了时小球正好经过角频率频率周期振动方程可表示为根据初始条件时可解得所以得到振动方程象限象限一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体最初用手将物体在弹方处的速度大小解由题知所以选弹簧原长下方处为平衡位置优秀学习资料欢迎下载由知振动频率物体在初始位置下方处对应着是的位置所以由有而那么速度的大小为一质点沿轴作简谐振动振幅为周期为当时位移为且向轴正方向运动优秀学习资料 欢迎下载 7-14. 质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动： （1） 4cos 864cos 86xtyt ； （2） 4cos 8654cos 86xtyt ； （3） 4cos 8624cos 83xtyt 。试判别质点运动的轨迹。 解：质点参与的运动是频率相同，振幅相同的垂直运动的叠加。 对于cos()xxAt，4cos()yyt的叠加，可推得： 22222cos()sin ()xyxyxyx yA （1）将6x，6y 代入有：2222cos16sin33xyx y， 则方程化为：2212xyx y，轨迹为一般的椭圆； （2）将6x，56y 代入有：2222cos16sinxyx y 则方程化为：2220xyx y，即0xy ，轨迹为一直线； （3）将6x，23y代入有：2222cos16sin22xyx y 则方程化为：2224xy，轨迹为圆心在原点，半径为 4m 的圆。 7-15 在示波器的水平和垂直输入端分别加上余弦式交变电压，荧光屏上出现如图所示的李萨如图形。已知水平方向振动频率为z4H107 . 2，求垂直方向的振动频率。 解：从图中可见，李萨如图形在水平方向的切点 是 2 个，在竖直方向的切点是 3 个，所以： :3: 2xy ， 那么，23xy422.7 10341.8 10()Hz。 弹簧缩回到原长然后放手以放手时开始计时取竖直向下为正向写出振动式取解振动方程在本题中所以取竖直向下为正向弹簧伸长为时为物体的平衡位置所以如果使弹簧的初状态为原长那么当时那么就可以知道物体的初相位为即所以形式写出小球的振动式取解振动方程我们只要按照题意找到对应的各项就行了时小球正好经过角频率频率周期振动方程可表示为根据初始条件时可解得所以得到振动方程象限象限一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体最初用手将物体在弹方处的速度大小解由题知所以选弹簧原长下方处为平衡位置优秀学习资料欢迎下载由知振动频率物体在初始位置下方处对应着是的位置所以由有而那么速度的大小为一质点沿轴作简谐振动振幅为周期为当时位移为且向轴正方向运动优秀学习资料 欢迎下载 思考题 7-1 试说明下列运动是不是简谐振动： （1）小球在地面上作完全弹性的上下跳动； （2）小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动。 答：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件： 描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长等等在运动中保持为常量； 系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动； 在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用。 或者说，若一个系统的运动微分方程能用0222dtd描述时，其所作的运动就是谐振动。 那么， （1）拍皮球时球的运动不是谐振动。第一、球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二、球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力。要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一、描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长等等在运动中保持为常量；二、系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三、在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用。或者说，若一个系统的运动微分方程能用2220ddt描述时，其所作的运动就是谐振动。 （2）小球在图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动。显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点 O；而小球在运动中的回复力为sinmg。题中所述，SR ，故0SR，所以回复力为mg。 （式中负号表示回复力的方向始终与角位移的方向相反） 即小球在 O 点附近的往复运弹簧缩回到原长然后放手以放手时开始计时取竖直向下为正向写出振动式取解振动方程在本题中所以取竖直向下为正向弹簧伸长为时为物体的平衡位置所以如果使弹簧的初状态为原长那么当时那么就可以知道物体的初相位为即所以形式写出小球的振动式取解振动方程我们只要按照题意找到对应的各项就行了时小球正好经过角频率频率周期振动方程可表示为根据初始条件时可解得所以得到振动方程象限象限一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体最初用手将物体在弹方处的速度大小解由题知所以选弹簧原长下方处为平衡位置优秀学习资料欢迎下载由知振动频率物体在初始位置下方处对应着是的位置所以由有而那么速度的大小为一质点沿轴作简谐振动振幅为周期为当时位移为且向轴正方向运动优秀学习资料 欢迎下载 动中所受回复力为线性的。若以小球为对象，则小球在以 O 为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有 mR22dmRmgd t，令Rg2，则有：0222dtd。 7-2 简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的?在什么情况下是异号的?加速度为正值时，振动质点的速率是否一定在增加？反之，加速度为负值时，速率是否一定在减小? 答： 简谐振动的速度： sin()vAt ； 加速度：2cos()aAt ； 要使它们同号，必须使质点的振动相位在第一象限。其他象限的相位两者就是异号的。 加速度为正值时，振动质点的速率不一定在增加，反之，加速度为负值时，速率也不一定在减小。 只有当速度和加速度是同号时，加速度才能使速率增加；反之，两者异号时，加速度使速率减小。 7-3 分析下列表述是否正确，为什么? （1）若物体受到一个总是指向平衡位置的合力，则物体必然作振动，但不一定是简谐振动； （2）简谐振动过程是能量守恒的过程，凡是能量守恒的过程就是简谐振动。 答： （1）的表述是正确的，原因参考 7-1 ； （2）的表述不正确，比如自由落体运动中能量守恒，但不是简谐振动。 7-4 用两种方法使某一弹簧振子作简谐振动。 方法1：使其从平衡位置压缩l，由静止开始释放。 方法2：使其从平衡位置压缩2l，由静止开始释放。 若两次振动的周期和总能量分别用21TT、和21EE 、表示，则它们满足下面那个关系？ （A） 2121EETT （B） 2121EETT （C） 2121EETT （D） 2121EETT 答：根据题意，这两次弹簧振子的周期相同，振幅相差一倍。所以能量不同。选择（B）。 弹簧缩回到原长然后放手以放手时开始计时取竖直向下为正向写出振动式取解振动方程在本题中所以取竖直向下为正向弹簧伸长为时为物体的平衡位置所以如果使弹簧的初状态为原长那么当时那么就可以知道物体的初相位为即所以形式写出小球的振动式取解振动方程我们只要按照题意找到对应的各项就行了时小球正好经过角频率频率周期振动方程可表示为根据初始条件时可解得所以得到振动方程象限象限一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体最初用手将物体在弹方处的速度大小解由题知所以选弹簧原长下方处为平衡位置优秀学习资料欢迎下载由知振动频率物体在初始位置下方处对应着是的位置所以由有而那么速度的大小为一质点沿轴作简谐振动振幅为周期为当时位移为且向轴正方向运动优秀学习资料 欢迎下载 7-5 一质点沿 x 轴作简谐振动， 周期为 T， 振幅为 A， 质点从21Ax 运动到Ax 2处所需要的最短时间为多少？ 答：质点从21Ax 运动到Ax 2处所需要的最短相位变化为4，所以运动的时间为：/48Tt。 7-6 一弹簧振子，沿x轴作振幅为A的简谐振动，在平衡位置0x处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为50J，问振子处于2/Ax 处时；其势能的瞬时值为多少？ 答：由题意，在平衡位置0x处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为50J，所以该振子的总能量为50J，当振子处于2/Ax 处时；其势能的瞬时值为： JEAkkxM5 .124504121212122）（。 弹簧缩回到原长然后放手以放手时开始计时取竖直向下为正向写出振动式取解振动方程在本题中所以取竖直向下为正向弹簧伸长为时为物体的平衡位置所以如果使弹簧的初状态为原长那么当时那么就可以知道物体的初相位为即所以形式写出小球的振动式取解振动方程我们只要按照题意找到对应的各项就行了时小球正好经过角频率频率周期振动方程可表示为根据初始条件时可解得所以得到振动方程象限象限一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体最初用手将物体在弹方处的速度大小解由题知所以选弹簧原长下方处为平衡位置优秀学习资料欢迎下载由知振动频率物体在初始位置下方处对应着是的位置所以由有而那么速度的大小为一质点沿轴作简谐振动振幅为周期为当时位移为且向轴正方向运动