第第7 7节圆锥曲线的综合问题节圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系第一课时直线与圆锥曲线的位置关系知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破解题规范夯实解题规范夯实知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来【教材导读【教材导读】 若直线和圆锥曲线只有一个公共点若直线和圆锥曲线只有一个公共点, ,则直线和圆锥曲线相切吗则直线和圆锥曲线相切吗? ?提示提示: :不一定相切不一定相切, ,如图如图(1)(1)、(2)(2)所示所示. .即与双曲线渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点即与双曲线渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点; ;与抛物线对与抛物线对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点, ,但此时它们的位置关系是但此时它们的位置关系是相交而不是相切相交而不是相切. .知识梳理知识梳理 当曲线为抛物线时当曲线为抛物线时, ,直线直线l l与抛物线的与抛物线的 平行或重合平行或重合. .(2)(2)若若A0,A0,则则=B=B2 2-4AC.-4AC.当当00时时, ,直线和圆锥曲线直线和圆锥曲线M M有有 公共点公共点; ;当当=0=0时时, ,直线和圆锥曲线直线和圆锥曲线M M相切相切, ,只有只有 公共点公共点; ;当当00时时, ,直线和圆锥曲线直线和圆锥曲线M M 公共点公共点. .渐近线渐近线 对称轴对称轴两个不同的两个不同的一个一个没有没有3.3.直线与圆锥曲线相交时的常见问题的处理方法直线与圆锥曲线相交时的常见问题的处理方法(1)(1)涉及弦长问题涉及弦长问题, ,常用常用“根与系数的关系根与系数的关系”, ,采用设而不求采用设而不求, ,利用弦长公式利用弦长公式计算弦长计算弦长. .(2)(2)涉及弦中点的问题涉及弦中点的问题, ,常用常用“点差法点差法”设而不求设而不求, ,将动点的坐标将动点的坐标, ,弦中点坐弦中点坐标和弦所在直线的斜率联系起来标和弦所在直线的斜率联系起来, ,相互转化相互转化. .(3)(3)特别注意利用公式求弦长时特别注意利用公式求弦长时, ,是在方程有解的情况下进行的是在方程有解的情况下进行的, ,不要忽略不要忽略判别式判别式, ,判别式判别式 是检验所求参数的值是否有意义的依据是检验所求参数的值是否有意义的依据. .大于零大于零【重要结论【重要结论】 1.1.直线与椭圆位置关系的有关结论直线与椭圆位置关系的有关结论(1)(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切; ;(2)(2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切; ;(3)(3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交过椭圆内一点的直线均与椭圆相交. .2.2.直线与抛物线位置关系的有关结论直线与抛物线位置关系的有关结论(1)(1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点, ,两条切两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线线和一条与对称轴平行或重合的直线; ;(2)(2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点, ,一条切一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线线和一条与对称轴平行或重合的直线; ;(3)(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点, ,一条与一条与对称轴平行或重合的直线对称轴平行或重合的直线. .3.3.直线与双曲线位置关系的有关结论直线与双曲线位置关系的有关结论(1)(1)过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点点, ,两条切线和两条与渐近线平行的直线两条切线和两条与渐近线平行的直线; ;(2)(2)过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点, ,一条切线一条切线和两条与渐近线平行的直线和两条与渐近线平行的直线; ;(3)(3)过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点, ,两条与渐两条与渐近线平行的直线近线平行的直线. .夯基自测夯基自测A A 解析解析: :y=kx-k+1=k(x-1)+1,y=kx-k+1=k(x-1)+1,显然直线恒过点显然直线恒过点A(1,1),A(1,1),而点而点A A在椭圆内在椭圆内, ,故直线和椭圆总相交故直线和椭圆总相交. .D D D D A A 解析解析: :抛物线的焦点为抛物线的焦点为F(1,0),F(1,0),准线为准线为x=-1,x=-1,而动圆而动圆C C与直线与直线x+1=0x+1=0相切相切, ,即圆心即圆心C C到准线的距离等于圆的半径到准线的距离等于圆的半径r,r,故圆故圆C C过焦点过焦点F(1,0).F(1,0).答案答案: :1212考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系解析解析: :(1)(1)满足题意的直线共有满足题意的直线共有3 3条条; ;直线直线x=0,x=0,过点过点(0,1)(0,1)且平行于且平行于x x轴的轴的直线以及过点直线以及过点(0,1)(0,1)且与抛物线相切的直线且与抛物线相切的直线( (非直线非直线x=0).x=0).故选故选C.C.反思归纳反思归纳 判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法用方法(1)(1)代数法代数法: :即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x,yx,y的方程组的方程组, ,消消去去y(y(或或x)x)得一元方程得一元方程, ,此方程根的个数即为交点个数此方程根的个数即为交点个数, ,方程组的解即为交方程组的解即为交点坐标点坐标; ;(2)(2)几何法几何法: :即画出直线与圆锥曲线的图象即画出直线与圆锥曲线的图象, ,根据图象判断公共点个数根据图象判断公共点个数. .考点二考点二弦长问题弦长问题 (2)(2)若若|AC|=|BD|,|AC|=|BD|,求直线求直线l l的斜率的斜率. .反思归纳反思归纳 求弦长的方法求弦长的方法(1)(1)定义法定义法: :过圆锥曲线的焦点的弦长问题过圆锥曲线的焦点的弦长问题, ,利用圆锥曲线的定义可优利用圆锥曲线的定义可优化解题过程化解题过程. .(2)(2)点距法点距法: :将直线的方程与圆锥曲线的方程联立将直线的方程与圆锥曲线的方程联立, ,求出两交点的坐标求出两交点的坐标, ,再运用两点间距离公式求弦长再运用两点间距离公式求弦长. .(3)(3)弦长公式法弦长公式法: :根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程二次方程, ,利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式, ,然然后进行整体代入弦长公式求解后进行整体代入弦长公式求解. .(2)(2)设点设点P(0,-1)P(0,-1)满足满足|PA|=|PB|,|PA|=|PB|,求求E E的方程的方程. .中点弦问题中点弦问题考点三考点三 答案答案: : (1)D (1)D 答案答案: : (2)0 (2)0或或-8-8反思归纳反思归纳 (2)(2)根与系数的关系根与系数的关系: :即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组, ,化为化为一元二次方程后由根与系数的关系求解一元二次方程后由根与系数的关系求解. .答案答案: : (1)D (1)D 答案答案: : (2)x+2y-8=0 (2)x+2y-8=0备选例题备选例题 答案答案: :y y2 2=3x=3x(2)(2)椭圆椭圆C C2 2过点过点P P且与且与C C1 1有相同的焦点有相同的焦点, ,直线直线l l过过C C2 2的右焦点且与的右焦点且与C C2 2交于交于A,BA,B两点两点. .若以线段若以线段ABAB为直径的圆过点为直径的圆过点P,P,求求l l的方程的方程. .解题规范夯实解题规范夯实 把典型问题的解决程序化把典型问题的解决程序化直线与圆锥曲线的综合应用直线与圆锥曲线的综合应用答题模板答题模板: :第一步第一步: :由题意列出关于由题意列出关于a,ba,b的关系式的关系式; ;第二步第二步: :求出求出a,ba,b进而写出椭圆方程进而写出椭圆方程; ;第三步第三步: :设出直线方程并与椭圆方程联立设出直线方程并与椭圆方程联立; ;第四步第四步: :利用根与系数的关系利用根与系数的关系, ,求出点求出点M M的坐标进而求得的坐标进而求得OMOM斜率斜率; ;第五步第五步: :得出得出k kOMOM与与l l斜率乘积为定值斜率乘积为定值. .