文数课标版第六节概率与统计的综合问题考点一茎叶图与概率的综合问题考点一茎叶图与概率的综合问题典例典例1甲、乙两位学生参加某项竞赛培训,在培训期间,他们参加的5次预赛成绩的茎叶图记录如下:(1)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙的成绩高的概率;(2)现要从中选派一人参加该项竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适?说明理由.考点突破考点突破解析解析(1)记甲被抽到的成绩为x,乙被抽到的成绩为y,用数对(x,y)表示基本事件:(82,95),(82,75),(82,80),(82,90),(82,85),(82,95),(82,75),(82,80),(82,90),(82,85),(79,95),(79,75),(79,80),(79,90),(79,85),(95,95),(95,75),(95,80),(95,90),(95,85),(87,95),(87,75),(87,80),(87,90),(87,85),基本事件总数n=25,记“甲的成绩比乙的成绩高”为事件A,事件A包含的基本事件如下:(82,75),(82,80),(82,75),(82,80),(79,75),(95,75),(95,80),(95,90),(95,85),(87,75),(87,80),(87,85),事件A包含的基本事件数m=12,所以P(A)=.(2)派甲参赛比较合适.理由如下:=85,=85,=31.6,=50,因为=,100)的这些天中,随机抽取2天深入分析各种污染指标,求这2天的空气质量等级恰好不同的概率.解析解析(1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为1,空气质量良的天数为3,故该样本中空气质量优良的频率为=,估计该月空气质量优良的频率为,从而估计该月空气质量优良的天数为30=12.(2)该样本中轻度污染共4天,分别记为a1,a2,a3,a4;中度污染1天,记为b;重度污染1天,记为c,从中随机抽取2天的所有可能结果为:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b),(a1,c),(a2,a3),(a2,a4),(a2,b),(a2,c),(a3,a4),(a3,b),(a3,c),(a4,b),(a4,c),(b,c),共15个.其中空气质量等级恰好不同的结果有(a1,b),(a1,c),(a2,b),(a2,c),(a3,b),(a3,c),(a4,b),(a4,c),(b,c),共9个.所以这2天的空气质量等级恰好不同的概率为=.考点二频率分布直方图与概率的综合问题考点二频率分布直方图与概率的综合问题典例典例2(2015课标,18,12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频数2814106(1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.解析解析(1)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值;B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.记CA表示事件:“A地区用户的满意度等级为不满意”;CB表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”.由直方图得P(CA)的估计值为(0.01+0.02+0.03)10=0.6,P(CB)的估计值为(0.005+0.02)10=0.25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.规律总结规律总结概率统计解答题的主要依托点是统计图表,正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.2-1从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于155cm和195cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组155,160)、第二组160,165)、第八组190,195,下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列.(1)估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上(含180cm)的人数;(2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图;(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取2名男生,记他们的身高分别为x,y,求满足|x-y|5的概率.解析解析(1)由频率分布直方图知,前五组频率之和为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)5=0.82,则后三组频率之和为1-0.82=0.18,故这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上(含180cm)的人数约为8000.18=144.(2)由频率分布直方图知第八组频率为0.0085=0.04,人数为0.0450=2,由(1)知后三组人数之和为0.1850=9,设第六组人数为m,则第七组人数为9-2-m=7-m,又m+2=2(7-m),所以m=4,即第六组人数为4,第七组人数为3,频率分别为0.08,0.06.频率除以组距分别等于0.016,0.012,频率分布直方图如图所示.(3)由(2)知身高在180,185)(单位:cm)内的人数为4,设为a,b,c,d,身高在190,195(单位:cm)内的人数为2,设为A,B.若x,y180,185)时,有ab,ac,ad,bc,bd,cd,共6种情况;若x,y190,195时,有AB,共1种情况;若x,y分别在180,185),190,195内时,有aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB,共8种情况.所以基本事件的总数为6+8+1=15.事件|x-y|5所包含的基本事件有6+1=7个,故P(|x-y|5)=.考点三统计案例与概率的综合问题考点三统计案例与概率的综合问题典例典例3(2016湖北武汉模拟)随机抽取某城市一年内100天的空气质量指数(AQI)的监测数据,结果统计如下表:AQI0,50(50,100(100,150(150,200(200,300300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数61418272015(1)已知某企业每天的经济损失y(单位:元)与空气质量指数x的关系式为y=若在本年内随机抽取一天,试估计这一天的经济损失超过400元的概率;(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季,其中有8天为严重污染.根据提供的统计数据,完成下面的22列联表,并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”.非严重污染严重污染合计供暖季非供暖季合计100附:K2=P(K2k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828解析解析(1)记“在本年内随机抽取一天,该天的经济损失超过400元”为事件A.由y400,得x200.由统计数据可知,空气质量指数大于200的频数为35,所以P(A)=.(2)根据题设中的数据得到如下22列联表:非严重污染严重污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100将22列联表中的数据代入公式计算,得K2=4.575.因为4.5753.841,所以有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”.规律总结规律总结运用独立性检验的思想,可以考察两个分类变量是否有关系,并且能精确地给出这种判断的可靠程度,此类题在高考中常以选择题或解答题中的某一步的形式出现,并常与频数分布表和频率分布直方图有关知识相结合,难度中等.求解时,一般按以下三个步骤来完成:(1)根据样本数据制成22列联表;(2)根据公式计算K2的值;(3)比较K2的值与临界值的大小关系,作出统计推断.3-1为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系,现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究,且分别记录了每天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下表格:日期4月1日4月7日4月15日4月21日4月30日温差x/101113128发芽数y/颗2325302616(1)从这5天中任选2天,记发芽的种子数分别为m,n,求事件“m,n均不小于25”的概率;(2)从这5天中任选2天,若选取的是4月1日与4月30日的两组数据,请根据这5天中的另外3天的数据,求出y关于x的 回 归 方 程=x+;(3)若由回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2,则认为得到的回归方程是可靠的,试问(2)中所得的回归方程是否可靠?附:解析解析(1)所有的基本事件为(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26),(25,16),(30,26),(30,16),(26,16),共10个.设“m,n均不小于25”为事件A,则事件A包含的基本事件为(25,30),(25,26),(30,26),共3个.所以P(A)=.(2)由题意得=12,=27,xiyi=977,=434,所以=,则=27-12=-3,所以y关于x的回归方程为=x-3.(3)当x=10时,=22,|22-23|2;当x=8时,=17,|17-16|2,所以(2)中所得的回归方程是可靠的.