2.3.2双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质一、双曲线的简单几何性质一、双曲线的简单几何性质标准方准方程程(a0,b0)(a0,b0)(a0,b0)(a0,b0)图形形焦点焦点_F F1 1(-c,0),F(-c,0),F2 2(c,0)(c,0)F F1 1(0,-c),F(0,-c),F2 2(0,c)(0,c)标准方准方程程 (a0,b0) (a0,b0)(a0,b0)(a0,b0)焦距焦距_范范围_或或_,_,y_y_或或_,_,x_x_对称性称性对称称轴:_;:_;对称中心称中心:_:_顶点点_轴实轴: :线段段_,_,长:_;:_;虚虚轴: :线段段_,_,长:_;:_;半半实轴长:_,:_,半虚半虚轴长:_:_离心率离心率e=_e=_渐近近线_|F|F1 1F F2 2|=2c|=2cx-ax-axaxaR Ry-ay-ayayaR R坐坐标轴原点原点A A1 1(-a,0),A(-a,0),A2 2(a,0)(a,0)A A1 1(0,-a),A(0,-a),A2 2(0,a)(0,a)A A1 1A A2 22a2aB B1 1B B2 22b2ba ab b(1,+)(1,+)思考思考: :双曲双曲线的的渐近近线确定确定时, ,其其标准方程能确定准方程能确定吗? ?提示提示: :不能不能. .每条双曲线对应唯一一组渐近线每条双曲线对应唯一一组渐近线, ,但当渐近线确定时但当渐近线确定时, ,它对应无数条双曲线且焦点可能在它对应无数条双曲线且焦点可能在x x轴上轴上, ,也可能在也可能在y y轴上轴上. .二、等二、等轴双曲双曲线等等轴双曲双曲线是指是指_的双曲的双曲线. .判断判断:(:(正确的打正确的打“”, ,错误的打的打“”) )(1)(1)等等轴双曲双曲线的离心率是的离心率是 .(.() )(2)(2)等等轴双曲双曲线的的渐近近线方程与双曲方程与双曲线方程有关方程有关.(.() )(3)(3)离心率是离心率是 的双曲的双曲线为等等轴双曲双曲线.(.() )实轴和虚和虚轴等等长提示提示: :(1)(1)正确正确.a=b,c= a,.a=b,c= a,(2)(2)错误错误.等轴双曲线中等轴双曲线中,a=b,a=b,渐近线方程为渐近线方程为y=x,y=x,与双曲线方程无关与双曲线方程无关. .(3)(3)正确正确. .满足等轴双曲线的定义满足等轴双曲线的定义. .答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)【知识点拨知识点拨】1.1.对双曲线的几何性质的四点说明对双曲线的几何性质的四点说明(1)(1)双曲线的范围反映了其图象是两支双曲线的范围反映了其图象是两支, ,且在范围内向两方无且在范围内向两方无限延伸限延伸. .(2)(2)双曲线既是中心对称图形双曲线既是中心对称图形, ,又是轴对称图形又是轴对称图形.(0,0).(0,0)为对称为对称中心中心, ,坐标轴为对称轴坐标轴为对称轴. .(3)(3)双曲线的离心率对开口大小的影响双曲线的离心率对开口大小的影响. .双曲线的离心率双曲线的离心率e= e= 反映了双曲线开口的大小反映了双曲线开口的大小,e,e越大越大, ,双曲双曲线的开口就越大线的开口就越大, ,这可以从离心率对渐近线斜率的影响上得这可以从离心率对渐近线斜率的影响上得以理解以理解.(.(以双曲线以双曲线 (a0,b0)(a0,b0)为例为例) ) (e1),e (e1),e越大越大, ,渐近线渐近线y= xy= x斜率斜率的绝对值越大的绝对值越大, ,即即 越大越大, ,这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔得开阔. .由此可见由此可见, ,双曲线的离心率越大双曲线的离心率越大, ,它的开口就越大它的开口就越大. .(4)(4)双曲线渐近线的理解双曲线渐近线的理解. .双曲线的渐近线是两条直线双曲线的渐近线是两条直线, ,当当x,yx,y趋向于无穷大时趋向于无穷大时, ,双曲线双曲线将无限地与渐近线接近将无限地与渐近线接近, ,但永远没有交点但永远没有交点. .因为焦点在因为焦点在x x轴上和轴上和y y轴上的渐近线方程分别为轴上的渐近线方程分别为y= xy= x和和y= x,y= x,容易混淆容易混淆, ,所以常把双曲线标准方程右边的常数写所以常把双曲线标准方程右边的常数写成成0,0,分解因式即得渐近线方程分解因式即得渐近线方程. .2.2.双曲线与椭圆的六点不同双曲线与椭圆的六点不同双曲线双曲线椭圆椭圆曲线曲线两支曲线两支曲线封闭的曲线封闭的曲线顶点顶点两个顶点两个顶点四个顶点四个顶点轴轴实、虚轴实、虚轴长、短轴长、短轴渐近线渐近线有渐近线有渐近线无渐近线无渐近线离心率离心率e1e10e10e1a,b,ca,b,c关系关系a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a a2 2-b-b2 2=c=c2 2类型类型 一一 由双曲线标准方程求几何性质由双曲线标准方程求几何性质 【典型例题典型例题】1.(20131.(2013宜春高二宜春高二检测) )双曲双曲线x x2 2- =-1- =-1的的渐近近线方程方程为( () )A.y=3xA.y=3x B.y= x B.y= xC.y= xC.y= x D.y= x D.y= x2.(20132.(2013南昌高二南昌高二检测) )设双曲双曲线 (0ab)(0a0,n0,n0时焦点在时焦点在x x轴上轴上,m0,m0时焦点时焦点在在y y轴上轴上. .【解析解析】1.1.选选D.D.方法一方法一: :把双曲线方程化为标准方程得把双曲线方程化为标准方程得 -x-x2 2=1,=1,焦点在焦点在y y轴上轴上,a= ,b=1,a= ,b=1,渐近线方程为渐近线方程为y= x= x.y= x= x.方法二方法二: :把方程中把方程中“-1-1”化为化为“0 0”得得x x2 2- =0- =0即即y= x.y= x.2.2.选选D.D.由条件知由条件知l : : 即即bx+ay-ab=0,bx+ay-ab=0, 即即ab= cab= c2 2. .16a16a2 2(c(c2 2-a-a2 2)=3c)=3c4 4即即3e3e4 4-16e-16e2 2+16=0,+16=0,解得解得e e2 2=4=4或或 . .ba0,e=ba0,e=e=2.e=2.3.3.把方程把方程x x2 2-16y-16y2 2=1=1化为标准方程得化为标准方程得x x2 2- =1,- =1,由此可知半实轴长由此可知半实轴长a=1,a=1,半虚轴长半虚轴长b= ,c=b= ,c=所以焦点坐标为所以焦点坐标为(- ,0),( ,0),(- ,0),( ,0),离心率离心率e=e=顶点坐标为顶点坐标为(-1,0),(1,0),(-1,0),(1,0),渐近线方程为渐近线方程为y= x.y= x.【拓展提升拓展提升】1.1.由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤2.2.求双曲线离心率的两种方法求双曲线离心率的两种方法【变式式训练】求双曲求双曲线9y9y2 2-4x-4x2 2=-36=-36的的顶点坐点坐标、焦点坐、焦点坐标、实轴长、虚、虚轴长、离心率和、离心率和渐近近线方程方程. .【解题指南解题指南】首先把方程化为标准形式首先把方程化为标准形式, ,再确定焦点位置再确定焦点位置, ,然然后研究性质后研究性质. .【解析解析】双曲线的方程化为标准形式是双曲线的方程化为标准形式是a a2 2=9,b=9,b2 2=4,a=3,b=2,c=4,a=3,b=2,c=又双曲线的焦点在又双曲线的焦点在x x轴上轴上, ,所以顶点坐标为所以顶点坐标为(-3,0),(3,0),(-3,0),(3,0),焦点坐标为焦点坐标为(- ,0),( ,0).(- ,0),( ,0).实轴长实轴长2a=6,2a=6,虚轴长虚轴长2b=4.2b=4.离心率离心率e= e= 渐近线方程为渐近线方程为y= x.y= x.类型类型 二二 利用几何性质求双曲线标准方程利用几何性质求双曲线标准方程 【典型例题典型例题】1.(20131.(2013唐山高二唐山高二检测) )已知双曲已知双曲线的的渐近近线为y= x,y= x,焦点焦点坐坐标为(-4,0),(4,0),(-4,0),(4,0),则双曲双曲线方程方程为( () )A. A. B. B.C.C. D. D.2.(20132.(2013汝阳高二汝阳高二检测) )双曲双曲线的离心率等于的离心率等于2,2,且与且与椭圆 有相同的焦点有相同的焦点, ,求此双曲求此双曲线的的标准方程准方程. .【解题探究解题探究】1.1.只根据渐近线方程能确定双曲线焦点的位置只根据渐近线方程能确定双曲线焦点的位置吗吗? ?2.2.求双曲线的标准方程常用的方法是什么求双曲线的标准方程常用的方法是什么? ?探究提示探究提示: :1.1.不能不能. .因为渐近线确定时因为渐近线确定时, ,双曲线不确定双曲线不确定. .2.2.求双曲线的标准方程常用的方法是待定系数法求双曲线的标准方程常用的方法是待定系数法. .【解析解析】1.1.选选D.D.双曲线的渐近线为双曲线的渐近线为y= x,y= x,焦点在焦点在x x轴上轴上, ,双曲线方程可设为双曲线方程可设为x x2 2- =(0),- =(0),即即 =1,a=1,a2 2=,b=,b2 2=3,=3,焦点坐标为焦点坐标为(-4,0),(4,0),(-4,0),(4,0),c=4.c=4.c c2 2=a=a2 2+b+b2 2=4=16=4=16=4,=4,双曲线方程为双曲线方程为2.2.椭圆椭圆 的焦点坐标为的焦点坐标为(-4,0)(-4,0)和和(4,0),(4,0),则可设双曲线方程为则可设双曲线方程为 (a0,b0),(a0,b0),c=4,c=4,又双曲线的离心率等于又双曲线的离心率等于2,2,即即 =2,=2,a=2,ba=2,b2 2=c=c2 2-a-a2 2=12.=12.故所求双曲线方程为故所求双曲线方程为【互互动探究探究】题2 2中中, ,把把“相同的焦点相同的焦点”改改为“相同的相同的顶点点”, ,双曲双曲线的方程如何的方程如何? ?【解析解析】椭圆椭圆 的顶点为的顶点为(-5,0),(5,0),(-5,0),(5,0),(0,-3),(0,3),(0,-3),(0,3),当顶点为当顶点为(-5,0),(5,0)(-5,0),(5,0)时时, ,焦点在焦点在x x轴上轴上, ,且且a=5,a=5,又又 =2,=2,c=10,c=10,从而从而b b2 2=75,=75,标准方程为标准方程为当顶点为当顶点为(0,-3),(0,3)(0,-3),(0,3)时时, ,焦点在焦点在y y轴上轴上, ,且且a=3,a=3,又又e= =2,e= =2,c=6,bc=6,b2 2=c=c2 2-a-a2 2=36-9=27,=36-9=27,标准方程为标准方程为综上可知综上可知, ,双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为 或或【拓展提升拓展提升】待定系数法求双曲线标准方程的步骤待定系数法求双曲线标准方程的步骤当双曲线的焦点不明确时当双曲线的焦点不明确时, ,方程可能有两种形式方程可能有两种形式, ,此时应注意此时应注意分类讨论分类讨论, ,为了避免讨论为了避免讨论, ,也可设双曲线方程为也可设双曲线方程为mxmx2 2-ny-ny2 2=1(mn0),=1(mn0),从而直接求得从而直接求得. .【变式式训练】(2013(2013亳州高二亳州高二检测) )双曲双曲线与与椭圆有相同焦点有相同焦点, ,且且经过点点( ,4),( ,4),求双曲求双曲线的方程的方程. .【解题指南解题指南】椭圆的焦点在椭圆的焦点在y y轴上轴上,可以直接设双曲线方可以直接设双曲线方程为程为 也可以直接设成也可以直接设成 再列方程再列方程( (组组) )求解求解. .【解析解析】方法一方法一: :由题意知双曲线焦点为由题意知双曲线焦点为F F1 1(0,-3),F(0,-3),F2 2(0,3),(0,3),可设双曲线方程为可设双曲线方程为 点点( ,4)( ,4)在曲线上在曲线上, ,代入得代入得a a2 2=4=4或或a a2 2=36(=36(舍舍),),双曲线的方程为双曲线的方程为方法二方法二: :由题意知双曲线的焦点为由题意知双曲线的焦点为F F1 1(0,-3),F(0,-3),F2 2(0,3),(0,3),可设双曲线的方程为可设双曲线的方程为 (a0,b0).(a0,b0).由条件知由条件知, ,点点( ,4)( ,4)在双曲线上在双曲线上, ,2a=2a=a=2,ba=2,b2 2=c=c2 2-a-a2 2=3=32 2-2-22 2=5, =5, 双曲线的方程为双曲线的方程为类型类型 三三 与双曲线的渐近线有关的问题与双曲线的渐近线有关的问题 【典型例题典型例题】1.(20131.(2013黄黄冈高二高二检测) )已知双曲已知双曲线 的一条的一条渐近近线方程方程为y= x,y= x,则该双曲双曲线的离心率的离心率e e为. .2.2.已知双曲已知双曲线中心在原点中心在原点, ,对称称轴为坐坐标轴, ,且且过点点P(3,-1),P(3,-1),一条一条渐近近线与直与直线3x-y=103x-y=10平行平行, ,求双曲求双曲线的的标准方程准方程. .【解题探究解题探究】1.1.根据根据 能确定焦点的位置吗能确定焦点的位置吗? ?2.2.由双曲线上的点及渐近线能确定焦点的位置吗由双曲线上的点及渐近线能确定焦点的位置吗? ?探究提示探究提示: :1.1.因为因为m,nm,n的符号不定的符号不定, ,所以由所以由 不能确定焦点的不能确定焦点的位置位置. .2.2.能能. .可根据点与渐近线的位置关系确定焦点的位置可根据点与渐近线的位置关系确定焦点的位置. .【解析解析】1.1.当双曲线的焦点在当双曲线的焦点在x x轴上时轴上时, ,渐近线方程为渐近线方程为y= x,y= x,离心率离心率当双曲线的焦点在当双曲线的焦点在y y轴上时轴上时, ,渐近线方程为渐近线方程为y= x,y= x, 这时这时离心率离心率故双曲线的离心率为故双曲线的离心率为 或或 . .答案答案: : 或或2.2.由已知由已知, ,双曲线中心在原点双曲线中心在原点, ,坐标轴为对称轴坐标轴为对称轴, ,由于其中一由于其中一条渐近线与直线条渐近线与直线l:3x-y=10:3x-y=10平行平行, ,所以所以, ,双曲线的一条渐近线方程为双曲线的一条渐近线方程为3x-y=0,3x-y=0,即即y=3x.y=3x.可设双曲线方程为可设双曲线方程为9x9x2 2-y-y2 2=(0).=(0).由于双曲线过点由于双曲线过点P(3,-1),P(3,-1),所以所以93932 2-(-1)-(-1)2 2=,=,即即=80.=80.所求双曲线的标准方程为所求双曲线的标准方程为【拓展提升拓展提升】1.1.求双曲线渐近线方程的两种方法求双曲线渐近线方程的两种方法2.2.根据渐近线方程求双曲线方程根据渐近线方程求双曲线方程(1)(1)若双曲线的渐近线方程为若双曲线的渐近线方程为y= x,y= x,则双曲线方程可表则双曲线方程可表示为示为 (0).(0).(2)(2)与双曲线与双曲线 (a0,b0)(a0,b0)共渐近线的双曲线方程共渐近线的双曲线方程可表示为可表示为 (a0,b0,0);(a0,b0,0);与双曲线与双曲线(a0,b0)(a0,b0)共渐近线的双曲线方程可表示为共渐近线的双曲线方程可表示为(a0,b0,0).(a0,b0,0).【变式式训练】求一条求一条渐近近线方程是方程是3x+4y=0,3x+4y=0,一个焦点是一个焦点是(4,0)(4,0)的双曲的双曲线的的标准方程准方程. .【解析解析】方法一方法一: :双曲线的渐近线方程可写成双曲线的渐近线方程可写成因此双曲线的方程可写成因此双曲线的方程可写成 (0).(0).由焦点在由焦点在x x轴上轴上, ,知知0,0,双曲线的方程可写成双曲线的方程可写成由由c=4,c=4,知知16+9=16,16+9=16,即即=故所求双曲线的标准方程为故所求双曲线的标准方程为方法二方法二: :由已知条件知双曲线的焦点在由已知条件知双曲线的焦点在x x轴上且轴上且解得解得a= ,b= ,c=4,a= ,b= ,c=4,所以双曲线的标准方程为所以双曲线的标准方程为【易错误区易错误区】混淆双曲混淆双曲线的位置关系的位置关系导致列致列错方程致方程致误【典例典例】(2012(2012湖北高考湖北高考) )如如图, ,双曲双曲线 (a,b0)(a,b0)的两的两顶点点为A A1 1,A,A2 2, ,虚虚轴两端点两端点为B B1 1,B,B2 2, ,两焦点两焦点为F F1 1,F,F2 2. .若以若以A A1 1A A2 2为直径的直径的圆内切于菱形内切于菱形F F1 1B B1 1F F2 2B B2 2, ,切点分切点分别为A,B,C,D,A,B,C,D,则(1)(1)双曲双曲线的离心率的离心率e=e=. .(2)(2)菱形菱形F F1 1B B1 1F F2 2B B2 2的面的面积S S1 1与矩形与矩形ABCDABCD的面的面积S S2 2的比的比值= =. .【解析解析】(1) = (1) = , ,化简得化简得: :a a2 2+ac-c+ac-c2 2=0,=0,即即e e2 2-e-1=0.-e-1=0.又又e1,e1,则则(2)(2)由题意知由题意知:S:S1 1=2bc,=2bc,在在OFOF2 2B B2 2中连接中连接OA,OA,则则|AF|AF2 2|=b,|=b,矩形矩形ABCDABCD边长边长|AD|= ,|AB|= ,S|AD|= ,|AB|= ,S2 2= ,= ,则则答案答案: :(1)(1) (2)(2)【误区警示误区警示】【防范措施防范措施】1.1.位置关系不要混乱位置关系不要混乱解决解析几何问题解决解析几何问题, ,常常在复杂的图形中常常在复杂的图形中, ,容易混淆位置关系容易混淆位置关系, ,解题时解题时, ,要搞清要搞清a,b,ca,b,c的几何意义的几何意义, ,从而准确地列出方程从而准确地列出方程, ,本例本例中中, ,圆的半径是圆的半径是a,a,也是原点到菱形也是原点到菱形F F1 1B B1 1F F2 2B B2 2的四边的距离的四边的距离. .2.2.转化思想不要忘记转化思想不要忘记解题中解题中, ,往往第往往第(1)(1)问的结论对第问的结论对第(2)(2)问的影响很大问的影响很大, ,所以做题所以做题时要把第时要把第(2)(2)问的解题靠拢第问的解题靠拢第(1)(1)问的结论问的结论, ,如本例中如本例中, ,离心率离心率在第在第(1)(1)问中已求出问中已求出, ,要善于借用要善于借用, ,把把(2)(2)中的比例关系转化为中的比例关系转化为离心率的关系离心率的关系. .3.3.数形结合协助解题数形结合协助解题解题时解题时, ,要强化数形结合的作用要强化数形结合的作用, ,“数缺形时少直观数缺形时少直观, ,形缺数时形缺数时难入微难入微”, ,了解数与形结合的重要性了解数与形结合的重要性, ,对解题有很大的帮助对解题有很大的帮助. .如如本例本例, ,若要借助图形若要借助图形, ,转化结果就会轻松求解转化结果就会轻松求解. .【类题试解解】(2013(2013唐山高二唐山高二检测) )已知双曲已知双曲线的方程的方程为 (a0,b0),(a0,b0),双曲双曲线的一个焦点到一条的一个焦点到一条渐近近线的距的距离离为 c(cc(c为双曲双曲线的半焦距的半焦距长),),则双曲双曲线的离心率的离心率为( () )A.A. B.B. C.C. D.D.【解析解析】选选B.B.渐近线取渐近线取y= xy= x即即bx-ay=0.bx-ay=0.焦点取焦点取F F2 2(c,0),(c,0),则则 从而从而3b= c,3b= c,解得解得e=e=1.1.双曲双曲线 的焦点到的焦点到渐近近线的距离的距离为( () )A.2A.2 B.2 C. B.2 C. D.1 D.1【解析解析】选选A.A.双曲线的焦点是双曲线的焦点是(-4,0)(-4,0)和和(4,0),(4,0),渐近线方程为渐近线方程为y= x,y= x,焦点到渐近线的距离是焦点到渐近线的距离是2.2.双曲双曲线2x2x2 2-y-y2 2=8=8的的实轴长是是( () )A.2A.2 B.2 B.2 C.4 C.4 D.4 D.4【解析解析】选选C.C.将双曲线方程将双曲线方程2x2x2 2-y-y2 2=8=8化为化为a=2,a=2,实轴长实轴长2a=4.2a=4.3.3.与与椭圆 +y+y2 2=1=1共焦点且共焦点且过点点P(2,1)P(2,1)的双曲的双曲线方程是方程是( () )A. -yA. -y2 2=1=1 B. -y B. -y2 2=1=1C.C. D.x D.x2 2- =1- =1【解析解析】选选B.B.椭圆椭圆 +y+y2 2=1=1的焦点为的焦点为( ,0),( ,0),因为双曲线与因为双曲线与椭圆共焦点椭圆共焦点, ,所以排除所以排除A,C.A,C.又双曲线又双曲线 -y-y2 2=1=1经过点经过点(2,1),(2,1),故选故选B.B.4.4.已知等已知等轴双曲双曲线的焦距的焦距为4,4,则该等等轴双曲双曲线的方程的方程为. .【解析解析】当焦点在当焦点在x x轴上时轴上时, ,方程设为方程设为 则则2a2a2 2=4,=4,aa2 2=2,=2,即双曲线方程为即双曲线方程为 同理焦点在同理焦点在y y轴上时轴上时, ,双曲线方程为双曲线方程为答案答案: : 或或 5.5.双曲双曲线 (a0,b0)(a0,b0)的一条的一条渐近近线方程方程为y= x,y= x,则该双曲双曲线的离心率的的离心率的值为. .【解析解析】由已知得由已知得 所以所以 故故即即 所以所以e=e=答案答案: :6.6.中心在原点中心在原点, ,焦点在焦点在x x轴上的一上的一椭圆与一双曲与一双曲线有共同的焦有共同的焦点点F F1 1,F,F2 2, ,且且|F|F1 1F F2 2|=2 ,|=2 ,椭圆的的长半半轴与双曲与双曲线半半实轴之差之差为4,4,离心率之比离心率之比为37.37.求求这两条曲两条曲线的方程的方程. .【解析解析】由已知由已知:c= ,:c= ,设椭圆长、短半轴长分别为设椭圆长、短半轴长分别为a,b,a,b,双曲线半实轴、半虚轴长分别为双曲线半实轴、半虚轴长分别为m,n,m,n,则则解得解得a=7,m=3.b=6,n=2.a=7,m=3.b=6,n=2.椭圆方程为椭圆方程为 双曲线方程为双曲线方程为