第第6 6节二次函数与幂函数节二次函数与幂函数知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破易混易错辨析易混易错辨析知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来【教材导读【教材导读】 1.1.一元二次不等式恒成立的充要条件是什么一元二次不等式恒成立的充要条件是什么? ?2.2.幂函数幂函数y=xy=x(为常数为常数) )的奇偶性与的奇偶性与有什么关系有什么关系? ?提示提示: :是奇数时是奇数时,y=x,y=x为奇函数为奇函数;是偶数时是偶数时,y=x,y=x是偶函数是偶函数. .知识梳理知识梳理 1.1.二次函数二次函数(1)(1)定义定义形如形如 的函数叫做二次函数的函数叫做二次函数. .(2)(2)表示形式表示形式一般式一般式:y=:y= ; ;顶点式顶点式:y= :y= , ,其中其中 为抛物线顶点坐标为抛物线顶点坐标; ;零点式零点式:y=:y= , ,其中其中x x1 1,x,x2 2是抛物线与是抛物线与x x轴交点的轴交点的横坐标横坐标. .y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)axax2 2+bx+c(a0) +bx+c(a0) a(x-h)a(x-h)2 2+k(a0) +k(a0) ( (h,kh,k) )a(x-xa(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)(a0) )(a0) R R R R 2.2.幂函数幂函数(1)(1)幂函数的概念幂函数的概念形如形如y=xy=x(R R) )的函数称为幂函数的函数称为幂函数, ,其中其中x x是是 ,为为 . .自变量自变量常数常数2.2.对幂函数对幂函数y=xy=x, ,当当00时时, ,其图象经过其图象经过(0,0)(0,0)点和点和(1,1)(1,1)点点, ,且在第一象限且在第一象限内单调递增内单调递增; ;当当00时时, ,其图象不过其图象不过(0,0)(0,0)点点, ,经过经过(1,1)(1,1)点点, ,且在第一象限且在第一象限内单调递减内单调递减. .夯基自测夯基自测B B A A2.2.如果函数如果函数f(xf(x)=x)=x2 2-ax-3-ax-3在区间在区间(-,4(-,4上单调递减上单调递减, ,则实数则实数a a的取值范的取值范围是围是( ( ) )(A)8,+)(A)8,+)(B)(-,8(B)(-,8(C)4,+)(C)4,+)(D)-4,+)(D)-4,+)B B 答案答案: :1 1或或2 25.5.函数函数f(xf(x)=x)=x2 2+2(a-1)x+2+2(a-1)x+2在区间在区间(-,3(-,3上是减函数上是减函数, ,则实数则实数a a的取值范的取值范围是围是. .解析解析: :二次函数二次函数f(xf(x) )的对称轴是的对称轴是x=1-a,x=1-a,由题意知由题意知1-a3,1-a3,所以所以a-2.a-2.答案答案: :(-,-2(-,-2考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一 幂函数的图象与性质幂函数的图象与性质解析解析: :(1)(1)分别作出分别作出f(x),g(x),h(xf(x),g(x),h(x) )的图象的图象, ,如图所示如图所示. .可知当可知当0x10xg(x)f(xh(x)g(x)f(x).).(2)(2)由题意知由题意知m m2 2-2m-3-2m-3为奇数且为奇数且m m2 2-2m-30,-2m-30,由由m m2 2-2m-2m-3030得得-1m3,-1mg(x)f(x(1)h(x)g(x)f(x) )(2)2(2)2反思归纳反思归纳 利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧: :结合幂值的特点利结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂用指数幂的运算性质化成同指数幂, ,选择适当的幂函数选择适当的幂函数, ,借助其单调性进行借助其单调性进行比较比较. .解析解析: :由题意知由题意知m m2 2-m-1=1,-m-1=1,解得解得m=2m=2或或m=-1,m=-1,当当m=2m=2时时,m,m2 2-2m-3=-3,f(x)=x-2m-3=-3,f(x)=x-3-3符合题意符合题意, ,当当m=-1m=-1时时,m,m2 2-2m-3=0,f(x)=x-2m-3=0,f(x)=x0 0不合题意不合题意. .综上知综上知m=2.m=2.故选故选A.A.考点二考点二二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质考查角度考查角度1 1: :二次函数图象的识别问题二次函数图象的识别问题. .【例【例2 2】 (2016(2016洛阳模拟洛阳模拟) )对数函数对数函数y=logy=loga ax(ax(a00且且a1)a1)与二次函数与二次函数y=(a-1)xy=(a-1)x2 2-x-x在同一坐标系内的图象可能是在同一坐标系内的图象可能是( () )解析解析: :若若0a1,0a1,a1,则则y=logy=loga ax x单调递增单调递增,y=(a-1)x,y=(a-1)x2 2-x-x开口开口向上向上, ,其图象的对称轴在其图象的对称轴在y y轴右侧轴右侧, ,排除排除B.B.故选故选A.A.反思归纳反思归纳 辨析二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标辨析二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面着手讨论或逐项排除以及图象与坐标轴的交点等方面着手讨论或逐项排除. .考查角度考查角度2:2:利用二次函数图象研究最值问题利用二次函数图象研究最值问题. .【例【例3 3】 已知函数已知函数f(xf(x)=x)=x2 2-2(a+2)x+a-2(a+2)x+a2 2,g(x)=-x,g(x)=-x2 2+2(a-2)x-a+2(a-2)x-a2 2+8.+8.设设H H1 1(x)=maxf(x),g(x),H(x)=maxf(x),g(x),H2 2(x)=minf(x),g(x)(maxp,q(x)=minf(x),g(x)(maxp,q 表示表示p,qp,q中中的较大值的较大值,minp,q,minp,q 表示表示p,qp,q中的较小值中的较小值).).记记H H1 1(x)(x)的最小值为的最小值为A,HA,H2 2(x)(x)的最大值为的最大值为B,B,则则A-BA-B等于等于( () )(A)16 (A)16 (B)-16(B)-16(C)a(C)a2 2-2a-16-2a-16(D)a(D)a2 2+2a-16+2a-16反思归纳反思归纳 (1) (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型: :轴定轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动区间定、轴动区间定、轴定区间动, ,不论哪种类型不论哪种类型, ,解决的关键都是解决的关键都是对称轴与区间的关系对称轴与区间的关系, ,当含有参数时当含有参数时, ,要依据对称轴与区间的关系进要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论行分类讨论. .(2)(2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解, ,最值一般在区最值一般在区间的端点或顶点处取得间的端点或顶点处取得. .考查角度考查角度3:3:利用二次函数图象研究根的分布问题利用二次函数图象研究根的分布问题. .【例【例4 4】 已知关于已知关于x x的方程的方程(m+3)x(m+3)x2 2-4mx+2m-1=0-4mx+2m-1=0的两根异号的两根异号, ,且负根的且负根的绝对值比正根大绝对值比正根大, ,则实数则实数m m的取值范围是的取值范围是. .答案答案: : m|-3m0 m|-3m0)+x+1=0(a0)有两个实根有两个实根x x1 1,x,x2 2. .(1)(1)求求(1+x(1+x1 1)(1+x)(1+x2 2) )的值的值; ;(2)(2)求证求证:x:x1 1-1-1且且x x2 2-1;2x+m)2x+m恒成立恒成立, ,求实数求实数m m的取值范围的取值范围. .(2)(2)由题意由题意,x,x2 2-x+12x+m-x+12x+m在在-1,1-1,1上恒成立上恒成立. .则则mxmx2 2-3x+1-3x+1在在-1,1-1,1上恒成立上恒成立, ,令令g(xg(x)=x)=x2 2-3x+1,x-1,1,-3x+1,x-1,1,易知易知g(xg(x) )在在x-1,1x-1,1上是减函数上是减函数, ,所以所以g(x)g(x)minmin=g(1)=-1,=g(1)=-1,应有应有m-1.m-1.因此实数因此实数m m的取值范围是的取值范围是(-,-1).(-,-1).备选例题备选例题 (2)(2)当当a,ba,b满足满足M(a,b)2M(a,b)2时时, ,求求|a|+|b|a|+|b| |的最大值的最大值. .【例【例2 2】 设函数设函数f(xf(x)=x)=x2 2-2x+2,xt,t+1,t-2x+2,xt,t+1,tR R, ,求函数求函数f(xf(x) )的最小值的最小值. .易混易错辨析易混易错辨析 用心练就一双慧眼用心练就一双慧眼忽视对忽视对“轴动区间定轴动区间定”的讨论而致误的讨论而致误【典例【典例】 若若f(xf(x)=-4x)=-4x2 2+4ax-4a-a+4ax-4a-a2 2在区间在区间0,10,1内有最大值内有最大值-5,-5,则则a=a=. .易错提醒易错提醒: :当已知二次函数在某区间上的最值求参数时当已知二次函数在某区间上的最值求参数时, ,要根据对称轴与要根据对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论确定各种情况时的最值已知区间的位置关系进行分类讨论确定各种情况时的最值, ,建立方程求解建立方程求解参数参数. .同时注意数形结合思想的应用同时注意数形结合思想的应用. .