从九章算术谈中国古代数学教育对现代数学教育的启示从九章算术谈中国古代数学教育对现代数学教育的启示摘要：摘要：现代的中学数学教育受欧氏几何的影响甚深，以致过于重视逻辑思维的教育而忽视了数学的应用教育，而以 九章算术为代表的中国古代数学教育所表现出来的恰是与之相反的 “经世致用” 的教学观念。 在现有的教学中加入 “经世致用”的教学观，中西结合，使二者融为一体，必将对目前的数学教学改革有重要的借鉴意义。关键词：关键词：九章算术；中国古代数学教育思想；经世致用1 1九章算术简析九章算术简析1.11.1九章算术是中国古代数学集大成的智慧结晶九章算术是中国古代数学集大成的智慧结晶九章算术是中算的经典之作，从成书伊始，到刘徽作注之后，一直是古代中国算学的教科书，在中国古代数学教育中有着不可动摇的中心地位，其数学内容和数学思想对中国古代历代的数学发展有着不可忽视的作用。该书是在先秦、秦汉时代，人们集腋成裘、不断加工、提炼的数学经典，其中的数学资料大量来源于秦和西汉时期的官简， 经过 200 多年的积累和充实，这些官简逐渐完善，到了西汉末年已经为九章算术的成书提供了成熟的条件，经过一代代学者的研究整理，大约在公元前 1 世纪到公元 1 世纪之间终于完成了九章算术一书1， 在公元 12 世纪， 即东汉中后期， 九章算术 的中心地位被确定下来2。时至今日该书最后定稿于何人之手已不可考，但不可否认的是九章算术 是古代中国人在长期的生产和生活中， 经过不断地归纳总结和学者苦心钻研的智慧结晶。1.21.2九章算术的结构与体系体现了中国古代数学的两个显著特征九章算术的结构与体系体现了中国古代数学的两个显著特征九章算术全书分为九章，共 201 术 246 题。首先从一道题目的结构来看，每一道完整的题目包含了“题、答、术”三个部分。 一般的题目叙述模式是 “今有。 问几何？” 也有一题多问的情况，例如“问孰多，多几何？”2在一道题目中最重要的部分是术，而术又分为两大类，第一类是根据题目所给的已知条件所进行的计算步骤，例如衰分章第 11 题：今有丝一斤，价值三百四十五。今有丝七两一十二铢，问：得钱几何？答曰：一百六十一钱三十二分钱之二十三。术曰：以一斤铢数为法， 以一斤价数，乘七两一十二铢为实，实如法得钱数2。第二类是某一类题目解法的一般性叙述， 最明显的特征是这一类术中不会出现具体的数字，类似于现在的计算法则及公式定理，第二类术共有六十九条。 例如方田章第 24 题：又有田广十八步七分步之五，纵二十三步十一分步之六。问：为田几何？从九章算术谈中国古代数学教育对现代数学教育的启示答曰：一亩二百步十一分步之七。大广田术曰：分母各乘其全，分子从之，相乘为实。分母相乘为法。实如法而一2。其次从章节的编排上来看，全书共分为九章，分别是方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。主要是以难易程度为序，并和题目出现的先后有关系。除此之外， 各章的题目大都是关于生产、生活中某一领域的问题抽象。方田章， “方田以御田畴界域” ，主要涉及的数学内容是各种面积的计算，主要针对的是土地丈量等问题；粟米章， “粟米以御交质变易” ，主要涉及的数学内容是比例的算法，主要针对的是流通消费中的各种问题；衰分章， “衰分以御贵贱禀税” ，主要涉及的数学内容是分配的算法和算术计算，主要针对的是管理分配中出现的一些问题；少广章， “少广以御积冥方圆” ，主要涉及的数学内容是面积体积逆运算的算法、 开平方开立方的算法， 主要针对的是生产中的一些问题；商功章， “商功以御功程积实” ，主要涉及的数学内容是体积算法，所针对的也是生产中的问题； 均输章， “均输以御远近劳费” ， 主要涉及的数学内容是运筹规划，主要针对的是管理中的问题；盈不足章， “盈不足以御隐杂互见” ，主要涉及的数学内容是双设法；方程章， “方程以御错糅正负” ，主要涉及的数学内容是线性方程组；勾股章， “勾股以御高深广远” ，主要涉及的数学内容是直角三角形的各类问题1。从各章的内容可以看出，前几章的内容都源于生活，所涉及的领域也比较明确，但后几章的内容则明显要复杂的多， 虽然大部分题目仍来源于现实生活，但人为加工和人为编题的痕迹已经较为明显，特别是最后一章勾股章，该章的题目较前几章而言，人为编题的痕迹更为突出，显然是为了数学知识的完整性而设置的数学题目。可见，作为中国古代的数学教科书， 九章算术的结构体系体现了中国古代数学的两个显著特征，它既是现实数学问题的缩影，其本身又有着完整的数学体系。2 2九章算术是中国古代初等数学理论形成的标志九章算术是中国古代初等数学理论形成的标志纵观中国古代的数学发展史，可以分为萌芽期、形成期、发展期、兴盛期和衰落期五个时期3。从上古至春秋战国是中国古代数学的萌芽期， 在这个时期古代中国人有了最初的数与形的概念，并形成了十进位值制记数法，墨家的代表之作墨经中更是体现出了早期数学的逻辑形式，数学知识散落在诸子百家的各类经典中，这一时期是九章算术成书前的积累时期。从秦汉到三国是中国古代数学的形成期，在此期间， 九章算术问世，这标志着中国古代初等数学理论的形成。其后魏晋时期的著名数学家刘徽为九章算术作注，全书共分十章，第十章是勾股章续篇，后来独立成书，即海岛算1从九章算术谈中国古代数学教育对现代数学教育的启示经 ，唐代时与九章算术同被列为“十部算经” 。刘徽在注释中不但对所有数学概念都作了解释或逻辑定义，而且还对公式、定理给出了逻辑证明3。虽然在后世 九章算术 还有其他版本的注释， 但刘注无疑是各种翘楚， 一直流传至今。从晋南北朝到隋唐是中国古代数学的发展期。 南北朝时期的著名数学家祖冲之根据自己研究 九章算术的心得体会写就缀术 一书，今已失传。而与缀术同为“十部算经”的孙子算经是九章算术的简编本，64 道题中与九章算术相对应的有23 术，包含49 题凡此种种，不胜枚举。数学越来越受到朝廷的重视，在唐代，国家编选“十部算经”并加注，作为明算科学生的必修教材。 新唐书 中关于明算科举考试章程说道： “凡算学录大义本条为问答。明数造术，详明术理，然后为通。试九章三条， 海岛 、 孙子 、 五曹 、张丘建 、 夏侯阳 、 周髀 、 五经算各一条。4” 九章算术在中国古代数学中的重要地位，由此可略窥一二。宋元时期是中国古代数学的兴盛期。由于宋朝印刷术的发展， 九章算术的流传也不再仅仅局限于手抄本，而有了刊刻本，刊刻本的大量流传使更多的人能够了解和学习九章算术 。唐宋是九章算术流传的高峰期，而唐宋也恰是中国古代数学发展的高峰时期。宋朝人荣棨为杨辉的详解九章算法作序，曾言： “是以国家尝设算科取士，选九章为群经之首，盖犹儒者之六经 ，医家之难素 ，兵法之孙子欤。2”由此可见当时的学者对九章算术之于算学的重要性的认识。而在宋元时期涌现了大量优秀的数学家，其中又以杨辉最为突出，他不仅为九章算术作了注，还写了大量的数学著作。明初至清朝中叶是中国古代数学的衰落期。自元后期起，中国古代数学经历了漫长的沉寂期，珠算取代了筹算， 统治者在文化领域的专制统治（主要表现在以八股取士） ，最终让辉煌灿烂的九章算术陷入了低谷，以致于到了明朝中后期九章算术 在学者眼中变得晦涩难懂，中国古代数学的发展也在很长的一段时间内停滞不前，直到西学东渐， 几何原本的中译本问世，中国古代数学才又有了新的进步。此后至清康熙年间，中国人经过几何原本与九章算术的比较，再一次意识到九章算术的价值，之后九章算术才又重新被作为算学教科书而被人们使用直至清朝末年。由此可见， 九章算术的流传和发展一直与古代中国的数学发展息息相关，从九章算术 的流传状况可略窥中国古代数学发展的兴衰。它是古代中国人的智慧结晶，它的成书标志着中国古代初等数学理论的形成。而“九章”二字在古代中国甚至成为数学的代名词。 九章算术不仅是中国古代数学名著，它所包含的数学知识和数学思想更是影响了一代又一代的中国古代数学学者和中国古代数学教育。因此，我们完全可以透过九章算术来看中国古代数学思想。3 3九章算术所体现的中国古代数学教育思想九章算术所体现的中国古代数学教育思想2从九章算术谈中国古代数学教育对现代数学教育的启示中国古人的思维是以人类活动为对象的， 这和古希腊学者以自然为对象的思维显然不同1。正因为如此，才会造成二者教育目的的不同，中国古代数学教育的目的在于数学知识之外，它所要求的是数学在生活、生产中的实用， 而古希腊数学教育的目的在于数学知识本身，即理论思维的本身。 九章算术作为中国古代的首选数学教科书，自然也体现出了讲究实用的特点。周礼保氏中有言： “养国子以道，乃教之六艺：一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五驭， 五曰六书，六曰九数。 ”这就是“通五经贯六艺”中的 “六艺” ，用现代的话来说六艺就是礼、乐、射、御、书、数，是中国古代儒家要求学生掌握的六种基本技能。 从六艺的内容可以看出古代学生所要学习的是在现实生活中具有实际意义的技能，而非是单纯的理论框架。数作为六艺之一，虽然和儒学经典不可同日而语，但作为一门实用技艺，也得到了朝廷的重视，从“能数会记”被作为评价官员的一项指标便可见一斑。 在唐朝，算学毕业者可不参加乡试直接科举，而在宋朝，算学毕业者，可不参加科举，直接授官。这些都从侧面反映了数学的实用性， 大部分中国古人学习的是实用的数学知识而非理论的数学知识。 九章算术作为数学教科书的重中之重，明算科举的重点考察对象，自然也是一部以实用为主要目的的数学教科书，这一点从九章算术 的一个主要缺陷有术无证，即可看出。给出了方法，却不说明方法的由来，是因为九章算术所要教给学生的是一种可以套用的数学模型，而非严谨的逻辑推理。此外， 九章算术的实用性还体现在其内容的编排上，该书在内容的编排上是以实用性体系为主， 并以数学知识的逻辑联系和数学知识的完整性为辅来编排的。因此，无论是从该书的内容编排还是数学思想来看，都明确的体现出中国古代数学教育的一个鲜明特点，即实用，也就是古人所言的“经世致用”的特点。4 4“经世致用”的教学观及其合理性“经世致用”的教学观及其合理性由教育的目的影响了教育的思想， 进而形成了中国古代独特的教育观经世致用。何谓经世？致力于国家，致力于社会谓之经世。何谓致用？以我之所学化我之所用谓之致用5。换言之，所谓经世致用，就是要把所学的知识应用到现实生活中，为国家和社会的发展贡献自己的力量。在这样的思想指导下， 中国古代的数学教育所表现出的也正是这样以实用为目的的教学观， 学生所要学习的并不是知识本身，而是知识在现实中如何应用，强调的是知识的实用性而不是知识自身的逻辑性。中国文明是农耕文明，在农业经济中，水源是关键，如何合理地分配水源和有效地治水这两大问题就成为零散小国无法完成的难题，在这样的基础上，古代中国形成了中央集权的政治形式， 秦汉后更形成了一个封建大一统的中央集权的帝国。这正如马克思所说的 “一切亚洲政府所必须实现的经济功能，即建立公共3从九章算术谈中国古代数学教育对现代数学教育的启示工程的功能” 。这样一个以国家政权形式出现的经济实体，它的经济功能、公共工程的功能是由“大司农”以至“户部”这样公私财政统一的机构去指挥，例如历代政府大规模的治水活动，就是典型的政府行为。而这些大型工程无不需要大量的学术知识，因此学术的发展是为生产力服务的，而非为了学术本身， 这就是所谓的“学术官守” 。古代中国数学就是在天文历法、土地测量、水利、工程建筑、财政税收这些方面的需求下被推动发展起来的1。在这样的大背景下， “经世致用”应运而生，所有的学术大都是为了要解决现实社会的生活急需而发展的，这与希腊人为了求知而从事学术活动，却置现实社会的生活急需于不顾大不相同。 现实中急需解决的问题有力地推动了中国古代数学的发展。而对于大多数人而言，学术研究并不是他们的目的，如何让自己的生活更加富足美好才是他们的目的，因此，带着实际的目的而进行学习往往也会得到事半功倍的效果。 “经世致用”是“学以致用”的延续和发展，明确而实际的学习目的大大加强了学习的动力。5 5“经世致用”的教学观对现代数学教育的启示“经世致用”的教学观对现代数学教育的启示现代的中学生中很大一部分人不喜欢学习数学， 固然有数学本身抽象难学的因素， 但更主要的是学生们对于学习数学没有明确的目的， 对于大多数学生而言，数学学习仅只是为了应付考试，在这样敷衍式的学习中，学生无法让自己全心地投入到数学学习当中。而中国古代的数学教育在“经世致用”的教学观下，由现实的需要，得到政府的重视， 进而促进了学生学习的积极性。这在今时今日仍然有着重要的借鉴意义。5.15.1 现代数学教育的现状现代数学教育的现状欧几里德的几何原本是西方科学的经典之作，两千多年来，它被译为各种文字流传于世界各地，已然成为学习科学的“圣经” 。正是欧氏几何这样的统治地位形成了柏拉图主义的数学观，这样的数学观认为数学是一个静态的、无可怀疑的真理的集合，它通过逻辑将知识组成一个彼此联系的结构6。这种数学观对我国目前的数学教育具有根深蒂固的影响。欧氏几何是建立在一套严密的公理体系之上的，它具有完整的演绎体系，对培养人的思维具有不可否认的作用，也正因如此，它过于重视逻辑思维， 而轻视非逻辑思维，导致在培养人的创造性方面具有明显的不足。在我国的中学数学教育中保持着完整的欧氏几何体系，极为讲究逻辑性、结构性、严谨性。基于此，当代的中学生普遍认为“数学是数字与图形的结合，以计算为主，包括算术、定理、图像的科目” ， “数学能让人头脑灵活，但数学又是枯燥乏味、不得不学的，是一门深奥、神秘、高深的学问，要学好数学并不容易，但只要努力就一定能学好” 。在这样片面的认识下，学生对数学厌学怕学的情形并不少见，数学教育发4从九章算术谈中国古代数学教育对现代数学教育的启示展的前景可堪忧虑。5.25.2“经世致用”对于现代数学教育的现实意义“经世致用”对于现代数学教育的现实意义“经世致用”不仅是我国宋代以后逐渐形成的一种治学方法，而且也代表着古代中国的一种教学观。然而在新中国成立以后，受苏联教学模式和教学观的影响，柏拉图主义的数学观7作为培养逻辑思维的工具逐渐占领了我国的中学数学课堂， “经世致用”的教学观也因此退位让贤了。不过自 20 世纪下半叶以来，数学正在从幕后走向台前，数学和计算机技术的结合使得数学能够在许多方面直接为社会创造价值， 同时也为数学的发展开拓了广阔的前景，数学应用的巨大发展再次成为数学发展的显著特征之一。而在国际上，西方开始呼吁数学的应用价值， 重视片面训练心智、培养思维的传统数学课程受到人们的批评和怀疑，随之实用功利性的目的逐渐得到重视，以至几经周折演化成当今盛行的“问题解决”8。但是受惯性的影响，我国的数学教育在很长一段时间内对于数学与实际、数学与其他学科的联系未能给予充分的重视，为此在 2003 版普通高中数学课程标准中，也多处强调了应该重视数学的应用性， 并在数学课程中设置了研究性学习，有的学校还开展了数学建模活动。人们越来越意识到数学教育过于注重逻辑而与实际脱离的弊病， 深刻地认识到高中数学在数学应用和联系实际方面需要大力加强。近年来，我国大学、中学数学建模的实践表明，开展数学应用的教学活动符合社会需要，有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于增强学生的应用意识，有利于扩展学生的视野。数学的应用性在我国的数学教育中已经越来越受到人们的重视， 而 “经世致用” 的教学观也必将在未来的中学数学教育中大放异彩。在 2003 版普通高中数学课程标准中，明确提出：高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力9。 高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力9。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用， 逐步形成正确的数学观9。从新课标的上述要求中， 可以看出现代中学数学教育已经越来越重视数学的应用性，但要改变这样的现状，除了教材的改革之外，最重要的是教师数学观的转变，因为教师的数学观直接或间接地影响了他们的课堂教学，进而直接影响到学生最终形成何种数学观。作为中学数学教师，首先应该明确的是数学是一门基础学科，但也是一门应用学科，数学知识的传授并不应该仅仅局限于书本知识或者是考试成绩，中学数学教育的目的也不应该只停留在表面的中高考成绩上，更多的是要达到学以致用的目的。数学教师应该让学生明白，数学在生活中无处不在，它具有非常广泛的用途， 是人类文明和文化的重要组成部分，它的生命力正5从九章算术谈中国古代数学教育对现代数学教育的启示是根植于养育它的社会之中。只有通过教师和学生的共同努力， 学生才能够真正做到发展数学的应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断。最终使学生具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神， 体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观9。“经世致用”是中国古代“学术官守”下的产物，具有一定的局限性，但同样也有其可取之处。目前的数学教育过于重视逻辑思维，而忽视了数学教育的应用性，这与中国古代的数学教育讲究应用而不重逻辑，可谓是数学教育的两个极端，然而他们都有着各自的优势和不足。2003 版的新课标中已经体现出了数学“经世致用”的一面，更对此提出了具体的要求，作为数学教育工作者，中西结合，既不丢弃现有的逻辑思维教育， 又重拾起昔日重视应用的教学观念，这必将是一个较好的选择。参考文献：参考文献：1孙宏安.中国古代数学思想M（2008 版）.大连：大连理工大学出版社，2008，281.2沈康身主编.中国数学史大系第二卷中国古代数学名著 九章算术（1998版）M.北京：北京师范大学出版社，1998，26212.3徐品方.数学简明史M（1992 版）.北京：学苑出版社，1992,253.4新唐书选举志M.北京：中华书局标点本，1975,1162.5 黄晖.恰同学少年EB/OL. http:/book.sina.com.cn/nzt/novel/lit/qtxsn/24.shtml，2007-08-03.6张维忠,汪晓勤等.文化传统与数学教育现代化M.北京：北京大学出版社，2006，102106. 7 Guillermo E. Rosado Handdock. Husserls epistemology of mathematicsand the foundation of platonism in mathematics J . Husserl Studies，1987，4(2)：81-102 8崔德旺，何万生.对我国数学教育改革的几点建议J .天水师范学院学报，2007，27（5） ：63-66.9普通高中数学课程标准M （2008 版） .北京： 人民教育出版社， 2003,111.6从九章算术谈中国古代数学教育对现代数学教育的启示The Inspiration of Chinese Ancient Mathematics EducationThe Inspiration of Chinese Ancient Mathematics EducationTheory on ContemporaryTheory on Contemporary Mathematics EducationMathematics Education from from Nine Chapters on the Mathematical ArtNine Chapters on the Mathematical ArtAbstractAbstract：The modern mathematical teaching in Chinese high schools has beenso greatly influenced by Euclidean geometry that the education of mathematicsapplication is often neglected while the education of logical thinking isover-emphasized. As a masterpiece in traditonal Chinese mathematics educationtheory, Nine Chapters on the Mathematical Art demonstrates a pragmatic teachingconcept, which puts great emphasis on applying mathematic theories into practical use.In contemporary education of mathematics, it is of great significance to carry out thispragmatism and to combine both western and eastern teaching concepts into theteaching process, which will undoubtedly help improve the current teaching situationof mathematics.Key WordsKey Words：Nine Chapters on the Mathematical Art；Chinese AncientMathematics Education Theory；Pragmatism7