反之, 能否用导数的符号来判断函数(hnsh)的单调性呢?可见函数的单调(dndio)性与导数的符号有关.第1页/共45页第一页，共46页。一、一、函数函数(hnsh)单调单调性的判定法性的判定法若定理定理(dngl) 1. 设函数设函数则 在 I 内单调递增(递减(djin) .证证: 无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明 在 I 内单调递增.在开区间 I 内可导,证毕第2页/共45页第二页，共46页。例如例如(lr)(lr)1 1、定理、定理1 1的结论对无穷区间的结论对无穷区间(q jin)(q jin)也成立也成立. .说明说明(shumng)(shumng)：第3页/共45页第三页，共46页。oxy2、如果函数的导数仅在个别点处（甚至无数个点，只要它们不构成一个区间）为 0, 而在其余的点处均满足定理(dngl)1, 则定理(dngl)1仍成立。 如：第4页/共45页第四页，共46页。3、有些函数在它的定义区间上不是(b shi)单调的。如：但它在部分(b fen)区间上单调, 那么怎么来求它的单调区间呢?oxy4、函数y=|x|, x = 0为其连续不可导点。但它在部分区间(q jin)上单调。那么，又怎么来求它的单调区间(q jin)呢?oxyy=|x|第5页/共45页第五页，共46页。的点的点( (单调区间单调区间(q jin)(q jin)分界点分界点) )来划分函数的定义区来划分函数的定义区间间(q jin), (q jin), 就能保证函数的导数在各个部分区间就能保证函数的导数在各个部分区间(q jin)(q jin)内保持固定符号内保持固定符号, , 从而可得单调区间从而可得单调区间(q (q jin)jin)及函数的单调性。及函数的单调性。结论结论: : 如果函数在定义区间上连续如果函数在定义区间上连续, ,除去有限个导除去有限个导数不存在的点（甚至无数个点，只要它们不构成一数不存在的点（甚至无数个点，只要它们不构成一个个(y )(y )区间）外，导数都存在且连续区间）外，导数都存在且连续, , 那么只那么只要用方程：要用方程：第6页/共45页第六页，共46页。(1)确定(qudng)函数定义域; (2)求出 的点, 以这些点为分界点划分(hu fn)定义域为多个子区间;(3)确定 在各子区间(q jin)内的符号, 从而定出(x)在各子区间(q jin)的单调性。一般步骤一般步骤第7页/共45页第七页，共46页。例例1.确定确定(qudng)函数函数的单调(dndio)区间.解解:令得故的单调(dndio)增区间为的单调减单调减区间为第8页/共45页第八页，共46页。例例2 2 讨论函数讨论函数(hnsh) (hnsh) 的单调性。的单调性。解解 定义域为定义域为列表列表(li bio)(li bio)讨论如下讨论如下: :的不可的不可(bk)(bk)导点导点第9页/共45页第九页，共46页。例例3 3 证明证明(zhngmng)(zhngmng)不等式不等式 下面(xi mian)利用函数的单调性, 来证明不等式和判断方程的根的存在性及其个数。1.1.证明不等式证明不等式: :关键是根据关键是根据(gnj)(gnj)所证不等式及所给区所证不等式及所给区间构造辅助函数间构造辅助函数, ,并讨论它在指定区间内的单调性。并讨论它在指定区间内的单调性。证明：二、简单应用二、简单应用第10页/共45页第十页，共46页。（2）.证证明明(zhngmng)时, 成立(chngl)不等式证证: 令从而(cng r)因此且证证证明 第11页/共45页第十一页，共46页。例例4 4 证明方程证明方程(fngchng) (fngchng) 有且仅有一个正有且仅有一个正根。根。 证证有且仅有一个有且仅有一个(y )(y )正根。正根。2.2.讨论方程讨论方程(fngchng)(fngchng)根的问题根的问题由零值定理得：由零值定理得：第12页/共45页第十二页，共46页。二、最大值与最小值问题(wnt) 一、函数(hnsh)的极值及其求法 第四节第四节函数(hnsh)的极值与 最大值最小值 第三三章 第14页/共45页第十四页，共46页。定义定义(dngy):在其中(qzhng)当时,(1) 则称 为 的极大值点极大值点 ,称 为函数的极大值极大值 ;(2) 则称 为 的极小值点极小值点 ,称 为函数的极小值极小值 .极大值点与极小值点统称(tngchng)为极值点 .一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法第15页/共45页第十五页，共46页。问题问题(wnt):(wnt):请指出右图中的极值及极值点。请指出右图中的极值及极值点。oxyy= (x)Mmab （1）由极值(j zh)定义知:极值(j zh)是函数的局部性态。即只是函数在一个邻域内最大的值和最小的值, 故它只可能在(a, b)的内点处取得。 而函数而函数(hnsh)(hnsh)的最大值与最小值则是指整个定义域内的最大值与最小值则是指整个定义域内区间区间a , ba , b的整体性态的整体性态, , 可在可在a, ba, b的内点取得的内点取得, ,也可在也可在a, a, bb的的端点取得。端点取得。 （2 2）一个函数可能有若干个极小值或极大值；但在定）一个函数可能有若干个极小值或极大值；但在定义区间内却最多只有一个最大最小值。（义区间内却最多只有一个最大最小值。（个数个数） （3 3）极小值可能比极大值还大；函数的最大值大于等于最小值。）极小值可能比极大值还大；函数的最大值大于等于最小值。（大小大小）注意注意:第16页/共45页第十六页，共46页。定理定理(dngl)1(dngl)1(极值的必要条件极值的必要条件) )设函数设函数 y =(x) y =(x) 在点在点 处可导。处可导。 若若 为函数的极值点为函数的极值点 ( (即即 为极值为极值) )， 则则注意注意(zh y):为极大值点为极小值点不是(b shi)极值点对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或不存在的点.第17页/共45页第十七页，共46页。定理定理2(极值第一极值第一(dy)判判别法别法)且在空心(kng xn)邻域内有导数(do sh),(1) “左左正正右右负负” ,(2) “左左负负右右正正” ,第18页/共45页第十八页，共46页。求极值的一般(ybn)步骤为:(1)给出定义域;(3)考察这些点两侧导函数(hnsh)的符号，从而确定极值点;(4)求出极值(j zh)点的函数值,即为极值(j zh)。(2)并找出定义域内所有驻点及连续不可导点;第19页/共45页第十九页，共46页。例例1.求函数求函数的极值(j zh) .解解:1) 求导数(do sh)2) 求极值(j zh)可疑点令得令得3) 列表判别是极大值点， 其极大值为是极小值点， 其极小值为第20页/共45页第二十页，共46页。定理定理3(极值第二极值第二(dr)判别法判别法)二阶导数(do sh) , 且则 在点 取极大值 ;则 在点 取极小值 .证证: (1)存在(cnzi)由第一判别法知(2) 类似可证 .第21页/共45页第二十一页，共46页。例例2.求函数求函数的极值(j zh) . 2) 求导数(do sh)3) 求驻点(zh din)令得驻点4) 判别因故 为极小值 ;又故需用第一判别法判别.解：解：1 1）定义域为）定义域为：第22页/共45页第二十二页，共46页。二、最大值与最小值问题二、最大值与最小值问题(wnt)则其最值只能(zh nn)在极值(j zh)点或端点处达到 .求函数最值的方法求函数最值的方法: :(1) 求 在 内的极值可疑点(2) 最大值最小值第23页/共45页第二十三页，共46页。特别特别(tbi): 当 在 内只有一个极值可疑点时, 当 在 上单调单调时,最值必在端点(dun din)处达到.若在此点取极大(j d) 值 , 则也是最大 值 . (小) 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点 .(小)第24页/共45页第二十四页，共46页。例例3.求函数求函数在闭区间(q jin)上的最大值和最小值 .解解: 显然显然(xinrn)且故函数(hnsh)在取最小值 0 ;在及取最大值 5.第25页/共45页第二十五页，共46页。1.平均(pngjn)成本最小例4 某工厂生产产量(chnling)为 x (件)时, 生产成本函数(元)为求该厂生产(shngchn)多少件产品时, 平均成本达到最小? 并求出其最小平均成本和相应的边际成本.三、函数最值在经济中的应用三、函数最值在经济中的应用使平均成本最低时的产量故此时，边际成本等于平均成本！第26页/共45页第二十六页，共46页。即，平均成本达到即，平均成本达到(d do)最小的必要条件是：最小的必要条件是：边际成本等于边际成本等于(dngy)平均成本！平均成本！一般(ybn)地，第27页/共45页第二十七页，共46页。2.最大利润(lrn) 设总成本函数为C(x), 总收益函数为R(x), 其中x为产量, 则在假设(jish)产量和销量一致的情况下, 总利润函数为 假设产量为 时, 利润达到最大, 则由极值的必要条件和极值的第二充分条件, L(x)必定(bdng)满足: 可见, 当产量水平 使得边际收益等于边际成本时, 可能获得最大利润.L(x) = R(x) C(x)第28页/共45页第二十八页，共46页。存在一个取得最大利润的生产水平(shupng)? 如果存在, 找出它来.售出该产品(chnpn) x 千件的收入是例例5.设某工厂生产某产品设某工厂生产某产品(chnpn)x千件的成本是千件的成本是解解: 售出 x 千件产品的利润为问是否故在 x2 = 3.414千件处达到最大利润, 而在 x1= 0.586千件处发生局部最大亏损. 第29页/共45页第二十九页，共46页。内容内容(nirng)小结小结1. 连续函数的极值(j zh)(1) 极值(j zh)可疑点 :使导数为0 或不存在的点(2) 第一充分条件过由正正变负负为极大值过由负负变正正为极小值(3) 第二充分条件为极大值为极小值定理3 第30页/共45页第三十页，共46页。最值点应在极值(j zh)点和边界点上找 ;应用题可根据(gnj)问题的实际意义判别 .思考思考(sko)与练习与练习2.连续函数的最值连续函数的最值1. 设则在点 a 处( ).的导数存在 ,取得极大值 ;取得极小值;的导数不存在.B提示提示: 利用极限的保号性第31页/共45页第三十一页，共46页。2.设设在的某邻域内连续, 且则在点处(A) 不可(bk)导 ;(B) 可导, 且(C) 取得(qd)极大值 ;(D) 取得(qd)极小值 .D提示提示: 利用极限的保号性 .第32页/共45页第三十二页，共46页。3.设设是方程(fngchng)的一个(y )解,若且则在(A) 取得(qd)极大值 ;(B) 取得极小值 ;(C) 在某邻域内单调增加 ;(D) 在某邻域内单调减少 .提示提示:A第33页/共45页第三十三页，共46页。第五节第五节曲线(qxin)的凹凸性、拐点 第三三章 第34页/共45页第三十四页，共46页。但从A到B的曲线是向下弯(或凸)的; 从B到C的曲线是向上弯(或凹)的。显然(xinrn),曲线的弯曲方向和弯曲方向的转变点对我们研究函数的性态是十分重要的. 这就是下面讨论的凹性与拐点.BAC如图如图: :曲线曲线(qxin)(qxin)弧弧ABAB是单增的曲线是单增的曲线(qxin).(qxin).第35页/共45页第三十五页，共46页。定义定义(dngy) . 设函数设函数在区间(q jin) I 上连续 ,(1) 若恒有则称图形(txng)是凹的;(2) 若恒有则称图形是凸凸的 .连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点拐点 .拐点第36页/共45页第三十六页，共46页。定理定理1.(凹凸凹凸(ot)判定法判定法)(1) 在 I 内则 f (x) 在 I 内图形(txng)是凹的 ;(2) 在 I 内则 f (x) 在 I 内图形(txng)是凸的 .设函数在区间I 上有二阶导数注意：如果注意：如果 不存在的点不构成一个区间，不存在的点不构成一个区间，在其余的点同号，也不影响曲线的凹凸性。在其余的点同号，也不影响曲线的凹凸性。第37页/共45页第三十七页，共46页。例例1.判断判断(pndun)曲曲线线的凹凸(o t)性.解解:故曲线(qxin)在上是向上凹的.说明说明:1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在 两侧异号异号, 则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变 .在其两侧二阶导数不变号,第38页/共45页第三十八页，共46页。例例2.求曲线求曲线(qxin)的拐点(ui din). 解解:不存在(cnzi)因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线的拐点 .凹凸第39页/共45页第三十九页，共46页。对应(duyng)例例3.求曲线求曲线(qxin)的凹凸(o t)区间及拐点.解解: 1) 求2) 求拐点可疑点坐标令得3) 列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及均为拐点.凹凹凸第40页/共45页第四十页，共46页。内容内容(nirng)小结小结曲线凹凸与拐点(ui din)的判别+拐点(ui din) 连续曲线上(有切线)的凹凸分界点第41页/共45页第四十一页，共46页。思考思考(sko)与与练习练习上则或的大小(dxio)顺序是 ( )提示提示(tsh): 利利用用单调增加 ,及B设在第42页/共45页第四十二页，共46页。的连续性及导函数(hnsh)例例7.填空题填空题(1) 设函数(hnsh)其导数(do sh)图形如图所示,单调减区间为 ;极小值点为 ;极大值点为 .提示提示:的正负作 f (x) 的示意图. 单调增区间为 ;第43页/共45页第四十三页，共46页。 .在区间(q jin) 上是凸弧 ;拐点(ui din)为 提示提示(tsh):的正负判断. 形在区间 上是凹弧; 则函数 f (x) 的图 (2)设函数设函数的图形如图所示,第44页/共45页第四十四页，共46页。感谢您的欣赏(xnshng)！第45页/共45页第四十五页，共46页。内容(nirng)总结反之, 能否用导数的符号来判断函数的单调性呢。第1页/共45页。1、定理1的结论对无穷区间也成立.。y=|x|。1.证明(zhngmng)不等式:关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数,并讨论它在指定区间内的单调性。问题:请指出右图中的极值及极值点。（1）由极值定义知:极值。(3)考察这些点两侧导函数的符号，从而确定极值点。(4)求出极值点的函数值,即为极值。故需用第一判别法判别.。解：1）定义域为：。故此时，边际成本等于平均成本第四十六页，共46页。