精 品 数 学 课 件北 师 大 版定积分的背景定积分的背景曲边梯形的面积曲边梯形的面积一、教学目标：一、教学目标：理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法。逼近，感受在其过程中渗透的思想方法。二、教学重难点：二、教学重难点：重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限）逼近（取极限）难点：对过程中所包含的基本的微积分难点：对过程中所包含的基本的微积分 “以直以直代曲代曲”的思想的理解的思想的理解三、教学方法：三、教学方法：探析归纳，讲练结合探析归纳，讲练结合 曲边梯形的面积曲边梯形的面积A A1. 用一个矩形的面积用一个矩形的面积A A1 1近似代替曲边梯形的面近似代替曲边梯形的面积积A A，得，得如如何何求求曲曲边边梯梯形形的的面面积积? y = f(x)bax yO A1如如何何求求曲曲边边梯梯形形的的面面积积? y = f(x)bax yOA1A2A A A A1 1+ + A A2 2用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A A，得，得如如何何求求曲曲边边梯梯形形的的面面积积? y = f(x)bax yOA1A2A3A4A A A A1 1+ + A A2 2+ + A A3 3+ + A A4 4用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A A，得，得 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积A A近似为近似为如如何何求求曲曲边边梯梯形形的的面面积积? y = f(x)bax yOA A A A1 1+ + A A2 2 + + + + A An nA1AiAn 以直代曲以直代曲, ,无限逼近无限逼近 分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S S。“以直代曲以直代曲”的具体操作过程的具体操作过程曲边梯形的面积曲边梯形的面积 分成很窄的小曲边梯形，分成很窄的小曲边梯形， 然后用矩形面积代替后求和。然后用矩形面积代替后求和。分割分割近似代替近似代替求和求和取极限取极限区间长度：区间长度：x=区间高：区间高：h=小矩形面积：小矩形面积：S=第第i个小区间个小区间 例例1.求求抛抛物物线线y=x2、直直线线x=1和和x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形的的面积。面积。例例1.求抛物线求抛物线y=x2、直线、直线x=1和和x轴所围成的曲边梯形的面积。轴所围成的曲边梯形的面积。 解把底边解把底边0,1分成分成n等份等份,然后在每个分点作底边的垂线然后在每个分点作底边的垂线, 这样这样曲边三角形被分成曲边三角形被分成n个窄条个窄条, 用矩形来近似代替用矩形来近似代替,然后把这些小矩然后把这些小矩形的面积加起来形的面积加起来, 得到一个近似值得到一个近似值: 因此因此, , 我们有理由相信我们有理由相信, , 这个曲边三角形的面积为这个曲边三角形的面积为: : 小结小结: : 求由连续曲线求由连续曲线y y= =f f( (x x) )对应的曲边梯形面积的方法对应的曲边梯形面积的方法 有有理理由由相相信信，分分点点越越来来越越密密时时，即即分分割割越越来来越越细细时时，矩矩形形面面积积和和的的极极限限即即为为曲曲边边形的面积。形的面积。（1 1）分割）分割 （3 3）求面积的和）求面积的和 把这些矩形面积相加作把这些矩形面积相加作为整个曲边形面积为整个曲边形面积S S的近似值。的近似值。 （4 4）取极限）取极限 （2 2）近似代替）近似代替