第二节 向量组的线性相关性注意注意定义定义4 4则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关定理向量组定理向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示证明证明 充分性充分性 设设 中有一个向量（比如中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.即有即有三、线性相关性的判定故故因因 这这 个数不全为个数不全为0，故故 线性相关线性相关.必要性必要性设设 线性相关，线性相关，则有不全为则有不全为0的数使的数使 因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，不妨设则有不妨设则有即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.证毕证毕.线性相关性在线性方程组中的应用线性相关性在线性方程组中的应用结论结论定理定理2 2下面举例说明定理的应用下面举例说明定理的应用.证明证明（略）（略）解解例例4解解例例5分析分析证一证一证二 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式记作B=AK.设Bx=0,以B=AK代入，得A(Kx)=0.因为矩阵A的列向量组线性无关，所以可推知Kx=0.又因 ,知方程Kx=0只有零解x=0.所以矩阵B的列向量组 线性无关.证三 把已知条件合写成记作B=AK.因 ,知K可逆，根据前面所述矩阵秩的性质4知R(B)=R(A)，因为A的列向量组线性无关，根据定理4知，B的3个列向量线性无关，即列向量线性无关。本例给出三种证法，这三种证法都是常用的。证一的关键步骤是：按定义4把证明向量组线性无关转化为证明齐次线性方程组没有非零解。证二的证明过程与证一相同，只是在叙述时改用矩阵形式。证三也采用矩阵形式，并用了矩阵的秩的有关知识，还用了定理4，从而可以不涉及线性方程而直接证得结论。线性相关性是向量组的一个重要性质，下面介绍与之有关的一些简单的结论。定理定理5 5证明证明说明说明说明说明例7 设向量组a1,a2,a3线性相关，向量组a2,a3,a4线性无关，证明a1能由a2,a3线性表示；a4不能由a1,a2,a3线性表示。证 因a2,a3,a4线性无关，由定理5知a2,a3线性无关，而a1,a2,a3线性相关，由定理5知a1能由a2,a3线性表示。 用反证法 .假设a4能由a1,a2,a3表示，而由 知a1能由a2,a3表示，因此a4能由a2,a3线性表示，这与a2,a3,a4线性无关矛盾。