第二章 变形岩石的应变分析基础:二维应变分析: 赤平投影（定量几何分析）、剪应变（定量运动学）大小变化: 变化过程：构造模拟（正演、反演）：数学与物理方法主要参考书： J.G.RamsayandM.I.Huber,1983,TheTechniqueofModernStructuralGeologyVolume1StrainAnalysis现代构造地质学方法第一卷应变分析，地质出版社，1991。郑亚东、常志忠，1985，岩石有限应变测量及韧性剪切带，地质出版社。卡片模拟实验及结果的简单分析l实验装置及设计结果及其分析一、位移(Displacement)和变形(Deformation)的基本概念l天然岩石，在特定的地质环境下，受到应力作用而发生质点间的相对位移l经过一定的时间，改变了原有地质结构的形态和方位，而形成的新的构造和组构。1 位移的基本形式l刚体平移 Translation 物体相对于外部坐标作整体的平移(直移)l刚体旋转 Rotation 物体相对于外部坐标作整体的旋转单元体相对 于坐标的位移基本型式l体变 Dilation 物体内各个质点的相对位置发生了变化，改变了物体的大小l形变 Distortion（变歪）物体内各个质点的相对位置发生了变化，改变了物体的形状l应变 Strain 物体在应力作用下的形状和大小的改变量。有时也涉及其旋转的成分2. 应变的度量l应力状态 是指某一瞬间作用于物体上的应力分布情况，应力场是随时间而变化的。l应变 是指物体在变形前后状态的比较，是经过一段时间的变形后两种状态的比较。（1）长度应变Longitudinal strainlExtension 线应变（伸长度）l变形后单位长度的改变量l e=(l-l)/l=l/l-1l l/l=1+elQuadratic elongation 平方长度比l =( l/l)2=(1+e)2lNatural strain 自然应变 =l/lll dl/l =ln(l/l)=ln (1+e)lllll（2）剪应变 Shear strainlAngular shear strain, 角剪应变 ,l变形前相互垂直的两条直线，变形后其夹角偏离直角偏离直角的量。 l lShear strain 剪应变 =tan l关于角剪应变的取值，特别注意对某一直线而言，由其顺时针旋转对某一直线而言，由其顺时针旋转90所成直角，所成直角，若若变变形后原直角减小，其形后原直角减小，其值为值为正！正！否则，原直角增加时，则取负值！否则，原直角增加时，则取负值！如图中如图中OY线线y=为正值，而x则为负值l剪应变（ ）的正负取值也可表达为：如果原始垂线相对于特定如果原始垂线相对于特定方向顺时针旋转，角剪应方向顺时针旋转，角剪应变变取负值；取负值；如果原始垂线相对于特定如果原始垂线相对于特定方向逆时针旋转，角剪应方向逆时针旋转，角剪应变变取正值；取正值；如右图，如右图，A A B B 、B B C C 取正值，取正值，C C A A 取负值！取负值！3 有限应变finite strain和无限小应变infinitesimal strainl有限应变(finite strain)：物体变形的最终状态和初始状态的对比所发生的变化l递进变形 progressive deformationl增量应变 incremental strainl无限小应变(infinitesimal strain)4 均匀变形（homogeneous）和非均匀变形（ inhomogeneousdeformation）l物体内各点的应变状态相同的变形称均匀变形。l变形前的直线在变形后仍是直线；l变形前的平行线在变形后仍然平行。l其中的单位圆变形后成为椭圆，称为应变椭圆l其中任何一小单元的应变性质（大小和方向）可以代表整个物体的变形特征。非均匀变形：物体内各点的应变特征随其位置而发生变化的变形。l连续变形：物体内从一点到另一点的应变状态是逐渐改变的。l不连续变形：如断裂。l不连续变形(DiscontinuousDeformation)：如断裂构造l应变相容性(straincompatibility,Hudleston,1999,JSG):Twoormorestraintypescoordinatewitheachother简单剪切的卡片模型示观察尺度的影响二、二维应变的位移矢量和坐标变换方程l位移矢量displacementvectorl质点的初始位置和最终位置的连线（方向和距离）并不代表质点的真正位移路径displacementpathxxlx=x+uly=y+v2 刚体旋转lx=cosx+sinyly=-sinx+cosy1 刚体平移xppuvxyppxyylx=ax+byly=cx+dylx=Ax+Byly=Cx+Dyl3简单剪切lx=x+y=tanly=ylA=0,l4双轴伸缩lx=(1+ex)x,x/x=1+exly=(1+ey)y,y/y=1+eylA=(A-A)/A=(1+ex)(1+ey)-1l5纯剪切PureshearlA=0,l(1+ex)(1+ey)=1l(1+ex)=1/(1+ey)xypPxxypPyxxxyyl5普通剪切lgeneralshearl简单剪切lx=x+yly=yl叠加单轴伸缩lx=xly=(1+ey)y.lx=x+yly=(1+ey)yyxpppl6一般的均匀应变lx=ax+byly=cx+dy系数为a,b,c,dl或lx=(dx-by)/(ad-bc)ly=(-cx+ay)/(ad-bc)l直线的变形ly=mx+kly=(c+dm)/(a+bm)x+(ad-bc/(a+bm)klx=ax+byly=cx+dylx=Ax+Byly=Cx+Dy三、应变椭圆及其参数l1应变椭球/圆strain ellipse的概念l单位球体经均匀变形后成为的椭球体称为应变椭球（strain ellipsoid），以椭球的形态和方位来形象地表达岩石的应变状态。l二维应变分析中，一个单位球体变形后成为椭球。l在x, y, z坐标系下，单位球体方程：x2+y2+z2=1l经均匀变形后变成椭球，具有三个相互垂直的主轴，可以证明，这些主轴变形前也是相互垂直的（课后请大家自己证明）l单位球体半径为1，则应变椭球主半径分别为1+e1, 1+e2和1+e3,即11/2, 21/2, 31/2，一般12 3l在x, y, z坐标中，方程为: x2/1+y2/2+z2/3=1l这是应变椭球的方程,平面二维下，可变化为应变椭圆。l2简单前切应变椭圆的简单推导l（坐标变换方程下）二维单位圆，圆心在（0，0）其方程：x2+y2=1(1)其中任一点（x,y),经简单剪切后到达（x,y），则x=x+y,y=y-欧拉方程（2）将（2）代入（1）式，可得：x2+2xy+(1+2)y2=1（3）这是一个椭圆的方程,称为应变椭圆应变椭圆的通用方程是：Ax2+Bxy+Cy2=1A、B和C为常数l简单剪切条件下应变椭圆方程的计算实例边长为2的正方形简单剪切后形成的椭圆及坐标系如图，其内接圆为单位半径圆。正方形中x轴上质点保持不动，其余质点沿平行x轴方向成比例移动，上方向右，下方向左，上、下边缘点移动距离为5/6。单位圆圆心在（0，0），其方程：x2+y2=1(1)根据坐标关系，其中任一点（x,y),经简单剪切后到达（x1,y1），则x1=x+5/6y,y1=y（2）即x=x1-5/6y1,y=y1（3）将（3）代入（1）式，可得：x12-5/3x1y1+61/36y12=1（4）这与x2+2xy+(1+2)y2=1是同一个椭圆的方程l3 初始为椭圆变形后的应变方程初始椭圆方程：lx2-2mxy+ny2=1经变形后仍为椭圆，其方程为： px2-2qxy+ry2=1 其中：p=(ld2+2mcd+nc2)/(ad-bc)2q=m(ad+bc)+lbd+nac/(ad-bc)2r=(lb2+2mab+na2)/(ad-bc)24 应变椭圆的参数l应变椭圆的长轴11/2、短轴21/2的大小l长轴X轴的夹角 和及其旋转角=-11/221/2ppl长轴11/2=(1+e1)=a2+b2+c2+d2+(a2+b2+c2+d2)24(ad-bc)21/2/2l短轴21/2=(1+e2)=a2+b2+c2+d2-(a2+b2+c2+d2)24(ad-bc)21/2/21 1）应变椭圆长、短轴应变值应变椭圆长、短轴应变值 1 11/21/2和和 2 21/21/2l应变主轴与X轴的夹角tan2=2(ac+bd)/(a2+b2-c2-d2)l变形前应变主轴与X轴的夹角 tan2=2(ab+cd)/(a2-b2+c2-d2)l旋转角度及其相互关系tan=tan(-)=(b-c)/(a+d)2 2）应变椭圆应变主轴，以及变形前应变主轴与应变椭圆应变主轴，以及变形前应变主轴与x x轴轴间的夹角间的夹角、 和旋转角度和旋转角度及其相互关系及其相互关系11/221/2ppl tan2=tan(2-2)l tan=+/2l=1/2（a2-b2+c2-d2)cos2+(ab+cd)sin2 +1/2(a2+b2+c2+d2) 其中=(1+e)2l任意最终与X轴成角的直线的线应变l= 1/2（d2+c2-a2-b2)cos2-(ac+bd)sin2+ 1/2(a2+b2+c2+d2) /(ad-bc)2 其中=1/= 1/(1+e)23 3）任意初始与任意初始与X X轴成轴成 角的直线的线应变角的直线的线应变 l变形后应变椭圆的主应变轴的方向（）l为获得最大(长轴)与最小值(短轴)，可令：4 4）任意初始与任意初始与X X轴成轴成 角的直线与主应变轴角的直线与主应变轴l坐标变换方程常数a=1 b= c=0 d=1，应变椭圆参数为：l1 = (1+e1) 2 = 2+2+(4+2) 1/2/2 l2 = (1+e2) 2 = 2+2-(4+2) 1/2/2ltan2 = 2/ ltan2= -2/ ltan =/2l详细的推导过程，请参阅Ramsay和Huber的原著之附录B。5）比较典型变形，如简单剪切的应变椭圆参数四、应变对象中线的长度和角度变化 l1长度变化l初始与应变椭圆长轴成角，变形后成角的直线。lx=x 11/2 , y=y 21/2 (上图)lx= 1/2 cos, y= 1/2 sin （下图）lcos=x=x/ 11/2 , lsin =y=y/ 21/2 , lcos2+ sin 2=1,l=1/= 1 cos2+ 2 sin 2l=1 cos2+ 2 sin 2p1(x,y)p(x,y)1/2yxyX2 角度变化lsin=1/2sin/21/2lcos=1/2cos/11/2p1(x,y)p(x,y)1/2lx= 1/2 cos, y= 1/2 sin lcos=x=x/ 11/2 lsin =y=y/ 21/2 l无长度应变线=1（右上角式）得tan2=(1-1)/(1-2)tan2=2(1-1)/1(1-2)当体积不变2=1/1tan2=1/1因1大于1，故一定小于45度lx= 1/2 cos, y= 1/2 sin l=1 cos2+ 2 sin 22 角度变化lTan=y/x=y21/2/x11/2 =tan(2/1)1/ 2=(tan)/RR=(1/2)1/ 2l角度变化与主应变的绝对值无关，即与面积变化无关；只取决于主应变的轴比。p1(x,y)p(x,y)1/2lx=x 11/2 , y=y 21/2 lx= 1/2 cos, y= 1/2 sin 3剪应变lx2+y2=1lxx/1+yy/2=1(椭圆切点)lSubstituting using: x=11/2cos, y=21/2sinlxcos/11/2+ysin/21/2=1lDistancepfromcoordinateorigintolinePQlp=(1/(cos2/1+sin2/2)1/2lInTrianglePOQlSec=1/2/p=(cos2/1+ysin2/2)1/2xy3剪应变l=(12)/(12)1/2sincos=(R-2+1/R)1/2sincoslUsingfollowingequationstosubstitutetolsin=1/2sin/21/2cos=1/2cos/11/2l=(12)/(12)1/21/2cos/11/21/2sin/21/2l/=1/2(21)sin2l=(R2-1)tan/(1+R2tan2)xy3剪应变lSec=1/2/p=(cos2/1+ysin2/2)1/2l2=tan2=Sec2-1=(cos2/1+ysin2/2)-1lSubstitutingusingl=1 cos2+ 2 sin 2l=(12)/(12)1/2sincos=(R-2+1/R)1/2sincosxyl最大剪应变:针对=(12)/(12)1/2sincosl令d/d=0,l得(12)/(12)1/2cos2=0l或(12)/(12)1/2=0l或cos2=0,则=45l或=tan-1(1/R)lmax=(12)/2(12)1/2=1/2(R-2+1/R)lmin=(21)/2(12)1/2=1/2(2-R-1/R)l详细的推导过程，请参阅Ramsay和Huber的原著之附录D！五、长度变化的地质意义l能干性或强硬度（competence),l能干性差异是造成构造变形的重要条件。l1 香肠构造(boudinage)，布丁构造l不同能干性的岩石相间成层的岩系，受到平行层的拉伸（可能有或无垂直层面的压缩），而形成的构造。l易流动的非能干层（相对软弱层）可以通过内部的塑性流动而均匀伸长来调节应变。l能干层不易发生塑性流变，受到不断加强的平行层的拉伸，使其在某些初始的微小缺陷处产生应力集中，最终发生断裂，进一步伸展使断块分离，形成断面形态各异、三维上通常呈长而平行的柱状体，貌似平行排列的一排排放在橱窗里的法国香肠，故称为石香肠 boudins（Lohest等，1909）。石香肠的断面形态反映了岩层间能干性的差异矩形：最能干的层在内部应变很小时就出现脆性破裂，形成垂直层面的张裂。菱形：能干层发生剪切破裂。透镜状或藕节形：能干性差异较小，强岩层先与弱的基质一起发生一定程度的变薄并细颈化，进而被张裂或剪裂而拉断。肿缩构造：pinchandswellstructurel在石香肠断块的间隔的颈部构造，反映了二维应变椭圆的主应变的情况。l或由变形过程中的分泌的结晶物质所充填。单轴拉伸 11，2 =1l或由相邻的弱岩层呈褶皱挤入，形成楔入褶皱11，2 50，l强硬层在变形初期基本未发生层内变形而褶皱，Wi /d大，形成肠状构造（ptygmatic structure)。l 则1+e=l/ll当能干性差异小，l1/22 1，巧克力方盘构造 12 =1，一组香肠构造l2区 1 1 2 ， 一个方向褶皱；另一个方向伸长 1 = 1 2 ，长条状褶皱l3区 1 12 ， 全面缩短，复杂褶皱思考与讨论 作为构造定量化研究的重要方法，有限应变分析方法推广应用的难点何在：理论、技术方法、测量根据本章内容，结合你自己/导师的课题方向，有那些方法可以借鉴？如何借鉴？有什么难点？预期目标？