第二章3数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法学习目标1.了解数学归纳法的基本原理.2.了解数学归纳法的应用范围.3.会用数学归纳法证明一些简单问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点数学归纳法在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下.思考思考1试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？答案答案第一辆自行车倒下；第一辆自行车倒下；任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下.思思考考2由由这这种种思思想想方方法法所所得得的的数数学学方方法法叫叫数数学学归归纳纳法法，那那么么，数数学学归归纳法适用于解决哪类问题？纳法适用于解决哪类问题？答案适合解决一些与正整数答案适合解决一些与正整数n有关的问题有关的问题.梳理数学归纳法的概念及步骤梳理数学归纳法的概念及步骤(1)数学归纳法的定义数学归纳法的定义一一般般地地，当当要要证证明明一一个个命命题题对对于于不不小小于于某某正正整整数数n0的的所所有有正正整整数数n都都成成立时，可以用以下两个步骤：立时，可以用以下两个步骤：证明当证明当 时命题成立；时命题成立；假假设设当当_时时命命题题成成立立，证证明明当当 时时命命题题也成立也成立.在在完完成成了了这这两两个个步步骤骤后后，就就可可以以断断定定命命题题对对于于不不小小于于n0的的所所有有正正整整数数都成立都成立.这种证明方法称为数学归纳法这种证明方法称为数学归纳法.nn0nk1nk(kN，且kn0)(2)数学归纳法适用范围数学归纳法的适用范围仅限于与 有关的数学命题的证明.(3)数学归纳法的基本过程正整数题型探究类型一用数学归纳法证明等式(2)假设当nk(k1，kN)时，等式成立，证明即当nk1时，等式也成立.由(1)(2)可知，原等式对nN均成立.反反思思与与感感悟悟利利用用数数学学归归纳纳法法证证明明代代数数恒恒等等式式时时要要注注意意两两点点：一一是是要要准准确确表表述述nn0时时命命题题的的形形式式，二二是是要要准准确确把把握握由由nk到到nk1时时，命命题题结结构构的的变变化化特特点点.并并且且一一定定要要记记住住：在在证证明明nk1成成立立时时，必必须须使使用用归归纳假设纳假设.证明类型二证明与整除有关的问题例例2求证：求证：x2ny2n(nN)能被能被xy整除整除.证明证证明明(1)当当n1时时，x2y2(xy)(xy)能能被被xy整整除除.(2)假设假设nk(k1，kN)时，时，x2ky2k能被能被xy整除，整除，那么当那么当nk1时，时，x2k2y2k2x2x2ky2y2kx2y2kx2y2kx2(x2ky2k)y2k(x2y2).x2ky2k与与x2y2都能被都能被xy整除，整除，x2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被能被xy整除整除.即当即当nk1时，时，x2k2y2k2能被能被xy整除整除.由由(1)(2)可知，对任意正整数可知，对任意正整数n，命题均成立，命题均成立. 反反思思与与感感悟悟利利用用数数学学归归纳纳法法证证明明整整除除问问题题时时，关关键键是是整整理理出出除除数数因因式式与与商商数数因因式式积积的的形形式式.这这往往往往要要利利用用“添添项项”与与“减减项项”“因因式式分分解解”等等变形技巧来凑出变形技巧来凑出nk时的情形，从而利用归纳假设使问题得证时的情形，从而利用归纳假设使问题得证.跟跟踪踪训训练练2用用数数学学归归纳纳法法证证明明：n3(n1)3(n2)3能能被被9整整除除(nN).证明证明证明(1)当当n1时，时，13233336能被能被9整除，所以结论成立整除，所以结论成立.(2)假设当假设当nk(kN，k1)时结论成立，时结论成立，即即k3(k1)3(k2)3能被能被9整除整除.则当则当nk1时，时，(k1)3(k2)3(k3)3k3(k1)3(k2)3(k3)3k3k3(k1)3(k2)39k227k27k3(k1)3(k2)39(k23k3).因为因为k3(k1)3(k2)3能被能被9整除，整除，9(k23k3)也能被也能被9整除，整除，所以所以(k1)3(k2)3(k3)3也能被也能被9整除，整除，即当即当nk1时结论也成立时结论也成立.由由(1)(2)知，命题对一切知，命题对一切nN成立成立.达标检测1243解析边数最少的凸解析边数最少的凸n边形为三角形，故边形为三角形，故n03.1.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n2)”时，归纳奠基中n0的取值应为A.1 B.2 C.3 D.4答案解析1243解析当解析当n1时，时，n12，故左边所得的项为，故左边所得的项为1aa2.A.1 B.1aa2C.1a D.1aa2a3答案解析1243解解析析34(k1)152(k1)134k552k38134k12552k18134k18152k15652k181(34k152k1)5652k1.3.用数学归纳法证明34n152n1(nN)能被8整除，当nk1时，34(k1)152(k1)1应变形为_. 答案解析81(34k152k1)5652k1(或25(34k152k1)5634k1)1243证明证明(1)当当n1时，左边时，左边1，右边，右边1，等式成立，等式成立.(2)假设当假设当nk(k1，kN)时，等式成立，时，等式成立，即即13(2k1)k2，那么，当那么，当nk1时，时，13(2k1)2(k1)1k22(k1)1k22k1(k1)2.所以当所以当nk1时等式成立时等式成立.由由(1)(2)可知，等式对任意正整数可知，等式对任意正整数n都成立都成立.4.用数学归纳法证明13(2n1)n2(nN).证明规律与方法1.应用数学归纳法时应注意的问题(1)第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是n1，有时需验证n2，n3.(2)对nk1时式子的项数以及nk与nk1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障.(3)“假设nk时命题成立，利用这一假设证明nk1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范.2.判断利用数学归纳法证明问题是否正确(1)要看有无归纳奠基.(2)证明当nk1时是否应用了归纳假设.3.与n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明.其中关键问题是从当nk1时的表达式中分解出nk时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式，这样才能得出结论成立.本课结束