抽象函数图像的对称四种常见类型及其证明抽象函数图像的对称四种常见类型及其证明关于抽象函数图像的对称问题，下面给出四种常见类型及其证明。一、 设y f (x)是定义在R上的函数， 则函数y f (a x)与函数y 2c f (b x)的图像关于点ba,c对称。2证明：设点A(m,n)是y f (a x)图像上任一点，即f (a m) n，点A关于点ba,c的对称点为A(ba m,2cn)22c fb(bam) 2c f (am) 2cn点A在y 2c f (b x)的图像上。反过来，同样可以证明，函数y 2c f (b x)图像上任一点关于点点在函数y f (a x)图像上。ba,c的对称2故函数y f (a x)与函数y 2c f (b x)的图像关于点说明：可以从图像变换的角度去理解此命题。ba,c对称。2二、设y f (x)是定义在R上的函数，若f (a x) 2c f (b x)，则函数y f (x)的图像关于点 ab,c。2 ab,c2证明：设点A(m,n)是y f (x)图像上任一点，则f (m) n，点A关于点的对称点为A(a bm,2cn)。f (a bm) 2c fb(bm) 2c f (m) 2cn ab,c对称。点A在y f (x)的图像上，故y f (x)的图像关于点2说明： （1）当a b c 0时，奇函数图像关于点(0,0)对称。 （2）易知此命题的逆命题也成立。三、设y f (x)是定义在R上的函数，则函数y f (a x)与函数y f (b x)的图像关于直线x ba对称。2证明：设点A(m,n)是y f (a x)图像上任一点，即f (a m) n，点A关于直线x ba的对称点为A(ba m,n)。2fb(ba m) f (a m) n点A在y f (b x)的图像上反过来，同样可以证明，函数y f (b x)图像上任一点关于x ba的对称点也在2函数y f (a x)的图像上，故函数y f (a x)与函数y f (b x)的图像关于直线x ba对称。2说明：可以从图像变换的角度去理解此命题。易知，函数y fxabab与y fx的图像关于直线x 0对称，由22ba ababy fx f (a x)的图像，由的图像平移得到y fx222 ba ababy f x的图像平移得到y fx f (b x)的图像，它222 们的平移方向和长度是相同的，故函数y f (a x)与y f (b x)的图像关于直线x ba对称。2四、设y f (x)是定义在R上的函数，若f (a x) f (b x)，则函数y f (x)的图像关于直线x ab对称。2ab2证明： 设点A(m,n)是y f (x)图像上任一点， 即f (m) n， 点A关于直线x 的对称点为A(abm,n)。f (a bm) fb(bm) f (m) n点A也在y f (x)的图像上，故y f (x)的图像关于直线x ab对称。2