习题习题习题习题习题习题 7 5 ( 7 5 ( 7 5 (第第第第第第 191 191 191 页页页页页页) ) )1. 求下列函数展开成麦克劳林级数并求其成立的区间求下列函数展开成麦克劳林级数并求其成立的区间:1习题习题习题习题习题习题 7 5 ( 7 5 ( 7 5 (第第第第第第 191 191 191 页页页页页页) ) )23第八章第八章第八章第八章 微分方程微分方程微分方程微分方程 一、一、一、一、 微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念4 ( (一一一一) ) ) )引例引例引例引例解解解解: : 设曲线方程设曲线方程设曲线方程设曲线方程 y y = = y y( (x x), ),由题意由题意 且满足且满足由由例例1. 已知一曲线通过点已知一曲线通过点 (1, 2), 且在该曲线上且在该曲线上任一点任一点M(x, y)处的切线斜率为其横坐标的处的切线斜率为其横坐标的 2 倍倍,求这曲线方程求这曲线方程.5例例2. 只在重力下只在重力下(不计空气阻力不计空气阻力), 一质量为一质量为 m 的的质点自由下落质点自由下落, 求质点运动的规律求质点运动的规律(位置与时间的位置与时间的解解解解: : 设物体下落的铅垂线为设物体下落的铅垂线为设物体下落的铅垂线为设物体下落的铅垂线为 x x 轴轴轴轴, , 向下为正向下为正向下为正向下为正, , 点点点点 o o 为质点运动的起点为质点运动的起点为质点运动的起点为质点运动的起点, ,由牛顿第二定律由牛顿第二定律F = ma,(a 加速度加速度, F 作用力作用力)质点只受重力作用质点只受重力作用 F = mg关系关系).xo则则 x = x(t).6对对 t 两次积分两次积分： 由初始时刻由初始时刻 t = 0, 质点的初始位置质点的初始位置 x = 0 及初及初始速度为始速度为 0, 即即 7 ( (二二二二) ) ) )基本概念基本概念基本概念基本概念 表示未知函数表示未知函数、未知函数的导数与自变量之未知函数的导数与自变量之说明：说明：说明：说明：1. 未知函数是一元函数的未知函数是一元函数的微分方程微分方程微分方程微分方程称为称为常微分方程常微分方程常微分方程常微分方程,方程中可以不出现自变量方程中可以不出现自变量 x 与未知函数与未知函数 y,数或微分必须出现数或微分必须出现. 未知函数是多元函数的未知函数是多元函数的微分方程微分方程微分方程微分方程称为称为偏微分方程偏微分方程偏微分方程偏微分方程,如如但但 y 的导的导定义定义定义定义: :间关系的方程间关系的方程, 称为称为微分方程微分方程微分方程微分方程. 其一般形式其一般形式：82. 方程中出现的方程中出现的未知函数的各阶导数的最高阶数未知函数的各阶导数的最高阶数未知函数的各阶导数的最高阶数未知函数的各阶导数的最高阶数, 称为微分方程的称为微分方程的阶阶阶阶.如如: 例例1 为一阶为一阶, 例例2 为二阶为二阶.3. 能使方程成为恒等式的函数能使方程成为恒等式的函数, 称为微分方程的称为微分方程的解解解解. 特别地特别地：(1) 带有与方程阶数相同个数的任意常数带有与方程阶数相同个数的任意常数(且相互独立且相互独立)n 阶方程的通解的一般形式阶方程的通解的一般形式：的解称为微分方程的的解称为微分方程的通解通解通解通解. (2) 确定了通解中任意常数的解称为微分方程的确定了通解中任意常数的解称为微分方程的特解特解特解特解.请同学们讨论请同学们讨论：习题习题8-2 (第第206页页) 194. 由实际情况提出的可确定通解中任意常数的条由实际情况提出的可确定通解中任意常数的条件称为件称为初始条件初始条件初始条件初始条件.初始条件个数初始条件个数初始条件个数初始条件个数 = = 通解中任意常数个数通解中任意常数个数通解中任意常数个数通解中任意常数个数 = = 方程阶数方程阶数方程阶数方程阶数如如: 求微分方程满足初始条件的特解问题求微分方程满足初始条件的特解问题, 称为称为微分方程的微分方程的初值问题初值问题初值问题初值问题, 形式为形式为：10证证证证：代入方程左端代入方程左端:= 1 = 右端右端证毕证毕11解解解解: :消去了消去了 C1, C2 的关系式就是所要求的微分方程的关系式就是所要求的微分方程. 即为所求微分方程即为所求微分方程.12 一阶微分方程的一般形式一阶微分方程的一般形式: 二、一阶二、一阶二、一阶二、一阶微分方程微分方程微分方程微分方程一阶微分方程有时也可写成如下的对称形式一阶微分方程有时也可写成如下的对称形式:两种形式是等价的两种形式是等价的.( (一一) ) 变量可分离的微分方程变量可分离的微分方程13 若一个一阶微分方程可化成若一个一阶微分方程可化成的形式的形式,则称此方程为则称此方程为可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.或或可分离变量方程的解法可分离变量方程的解法:两边积分两边积分, 得得 则有则有为方程为方程的的隐式通解隐式通解.14解解解解: :+ C即为所求微分方程的通解即为所求微分方程的通解.15解解解解: :所以所求特解所以所求特解：163.解解解解: :其为所求微分方程的通解其为所求微分方程的通解.即即17则称则称 f (x, y) 为为 k k 次齐次函数次齐次函数次齐次函数次齐次函数.则则 f (x, y) 为为零次齐次函数零次齐次函数零次齐次函数零次齐次函数,若方程可表为若方程可表为:则称此方程为则称此方程为齐次微分方程齐次微分方程齐次微分方程齐次微分方程.的形式的形式,( ( ( ( ( (二二二二二二) ) ) ) ) ) 齐次微分方程齐次微分方程齐次微分方程齐次微分方程齐次微分方程齐次微分方程且有且有18例例:解法：解法：解法：解法：分离变量分离变量:(积分积分, 回代回代)齐次方程齐次方程齐次方程齐次方程19解解解解: : 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解:分离变量分离变量：回代回代即为所求通解即为所求通解.20分析分析分析分析: :计算比较繁琐计算比较繁琐, 现把现把 x 与与 y的地位互换一下的地位互换一下,从而有下列解法从而有下列解法.21解解解解: :分离变量分离变量:所以所求所以所求通通解解:222. 求微分方程满足所给初值条件的特解求微分方程满足所给初值条件的特解: 解解解解: :则方程通解为则方程通解为所以方程特解为所以方程特解为原齐次方程可化为原齐次方程可化为两边积分得两边积分得23( ( ( (三三三三) ) ) ) 一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程 一阶线性微分方程的一般形式一阶线性微分方程的一般形式:其中其中 P(x), Q(x) 为已知的连续函数为已知的连续函数. 说明：说明：说明：说明：一次一次一次一次, 故称为故称为线性方程线性方程线性方程线性方程.2) P(x), Q(x) 可为任意可为任意的的连续函数连续函数.1) 方程中未知函数方程中未知函数 y 及其导数及其导数 的次数均为的次数均为243) 方程中方程中 Q(x) 称为称为自由项自由项自由项自由项或或干扰项干扰项干扰项干扰项, 非齐次项非齐次项非齐次项非齐次项.称为称为一阶齐次线性方程一阶齐次线性方程一阶齐次线性方程一阶齐次线性方程. .称为称为一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程. .(1)(2)( (1 1) )变量可分离微分方程变量可分离微分方程变量可分离微分方程变量可分离微分方程 (1) (1) 的通解的通解的通解的通解25先求出对应的齐次线性方程先求出对应的齐次线性方程(1)的通解的通解：以以 C(x)代替代替C, 即令即令把所令把所令 y 代入方程代入方程：(C: 任意常数任意常数)得非齐次线性方程得非齐次线性方程得非齐次线性方程得非齐次线性方程 (2) (2) 的通解的通解的通解的通解：求出求出 C(x) :(2)(2)常数变易法常数变易法常数变易法常数变易法26非齐次线性方程非齐次线性方程(2)的的通解结构通解结构通解结构通解结构:= I + II 非齐次通解非齐次通解y=+=非齐次特解非齐次特解 +对应齐次通解对应齐次通解27例例1：解：解：解：解：x28例例2：解解解解: :29例例2：30所以所以则所求的特解为则所求的特解为例例2：31例例3.解解解解: :32 课课课课 外外外外 作作作作 业业业业 习题习题习题习题8-3 (8-3 (第第第第212212页页页页) ) 1(3), 2(2), 4(2), 5(1)33 二阶及二阶以上的微分方程统称为二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程高阶微分方程高阶微分方程高阶微分方程。二阶微分方程的一般形式：二阶微分方程的一般形式：主要介绍：主要介绍：主要介绍：主要介绍：(1) 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程；(2) 二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程。二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程。34三、三、三、三、 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程35( (一一) )所以所以同理可得同理可得依次通过依次通过n次积分次积分, , 可得含可得含n个任意常数的通解个任意常数的通解. .型的微分方程型的微分方程 36例：例：解：解：解：解：+ C1 ;+ C1 x + C2 ;+ C3 .37方程中不出现未知函数方程中不出现未知函数方程中不出现未知函数方程中不出现未知函数 y y . 解法：解法：解法：解法：变量代换，降阶变量代换，降阶代入方程代入方程：为一阶微分方程为一阶微分方程，解此一阶微分方程解此一阶微分方程，特点：特点：特点：特点：最后得原方程通解：最后得原方程通解：381.变量可分离方程变量可分离方程变量可分离方程变量可分离方程解：解：解：解：P = C1 x , 即即391.解：解：解：解：由初值条件得：由初值条件得：则所求特解为则所求特解为402.解：解：解：解：一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程41 课课课课 外外外外 作作作作 业业业业 习题习题习题习题5-6(3) (5-6(3) (第第第第135135页页页页) ) 1(1, 6), 342 四、四、四、四、二阶线性微分方程解的性质与通解结构二阶线性微分方程解的性质与通解结构 未知函数及其各阶导数都是一次的方程，称未知函数及其各阶导数都是一次的方程，称n n 阶线性微分方程的一般形式是阶线性微分方程的一般形式是阶线性微分方程的一般形式是阶线性微分方程的一般形式是：称其为称其为齐次齐次齐次齐次线性微分方程线性微分方程；称其为称其为非齐次非齐次非齐次非齐次线性微分方程。线性微分方程。为为线性微分方程线性微分方程线性微分方程线性微分方程。43二阶二阶齐次齐次齐次齐次线性微分方程线性微分方程：二阶二阶非齐次非齐次非齐次非齐次线性微分方程线性微分方程：(1)(2) 引进引进记号记号记号记号L L：则则 (1)(2)44定理定理定理定理定理定理1 1 1 1 1 1：设设 y1, y2 是是 L y = 0 (1) 的两个解的两个解，也是也是(1)的解的解，其中其中C1,C2 为任意常数为任意常数。 问题问题问题问题是否就是是否就是(1)的通解的通解？则则齐次线性微分方程解的叠加原理齐次线性微分方程解的叠加原理齐次线性微分方程解的叠加原理齐次线性微分方程解的叠加原理45如：如：设设 y1 是是L y = 0 的解的解，则由定理则由定理1，也是也是 L y = 0 的解的解。但不是但不是 L y = 0 的通解的通解。y y1 1, , y y2 2 究竟满足什么条件究竟满足什么条件究竟满足什么条件究竟满足什么条件，才能使其组合为才能使其组合为才能使其组合为才能使其组合为方程的通解方程的通解方程的通解方程的通解？则则 y2 = 2y1也是其解，也是其解，46定义：定义：定义：定义：定义：定义： n 个函数个函数，如果存在如果存在 n 个不全为零的常数个不全为零的常数使得当使得当 x 在该区间内取值时在该区间内取值时，成立，就称这成立，就称这n 个函数在区间个函数在区间 I 内内线性相关线性相关线性相关线性相关；否则，否则，称称线性无关线性无关线性无关线性无关。47 在任何区间在任何区间a ,b上都是线性无关的上都是线性无关的。 例：例：这三个函数在整个数轴上这三个函数在整个数轴上是线性相关的。是线性相关的。48定理定理定理定理定理定理2 2 2 2 2 2：( (二阶齐次线性微分方程通解的结构定理二阶齐次线性微分方程通解的结构定理二阶齐次线性微分方程通解的结构定理二阶齐次线性微分方程通解的结构定理) )设设 y1与与 y2 是是 (1) 的两个线性无关的特解的两个线性无关的特解，则则(C1, C2 为任意常数为任意常数)就是二阶齐次线性微分方程就是二阶齐次线性微分方程 (1) 的通解的通解。例：对例：对都是方程解都是方程解，49 特解，特解，定理定理定理定理定理定理3 3 3 3 3 3：( (二阶非齐次线性微分方程通解的结构定理二阶非齐次线性微分方程通解的结构定理二阶非齐次线性微分方程通解的结构定理二阶非齐次线性微分方程通解的结构定理) )是二阶非齐次线性微分方程是二阶非齐次线性微分方程(2)的一个的一个是其所对应的齐次线性微分方程是其所对应的齐次线性微分方程的通解，则的通解，则方程方程(2) 的的通解通解通解通解。(1) 非齐次非齐次非齐次非齐次(2)(2)通解通解通解通解 = = 对应齐次对应齐次对应齐次对应齐次(1)(1)通解通解通解通解(2)(2)特解特解特解特解是非齐次线性微分是非齐次线性微分50定理定理定理定理定理定理4 4 4 4 4 4：( (广义迭加原理广义迭加原理广义迭加原理广义迭加原理) )例：例：易证易证51例：例：又显然又显然52习题习题习题习题习题习题 5 6 (2) ( 5 6 (2) ( 5 6 (2) (第第第第第第 132 132 132 页页页页页页) ) )1. 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解:可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程, 分离变量分离变量, 得得两边积分两边积分, 得得即为所求通解即为所求通解.53原方程可化为原方程可化为齐次方程齐次方程,可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程,得得54即为所求通解即为所求通解.553. 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解:一阶非齐次线性微分方程一阶非齐次线性微分方程,所以所求通解为所以所求通解为564. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解:所以通解为所以通解为574. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解:所以通解为所以通解为则所求特解为则所求特解为58习题习题习题习题习题习题 5 6 (3) ( 5 6 (3) ( 5 6 (3) (第第第第第第 135 135 135 页页页页页页) ) )1. 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解:则所求通解为则所求通解为59所求通解为所求通解为原方程可化为原方程可化为6061五、二阶常系数线性齐次微分方程的解法五、二阶常系数线性齐次微分方程的解法五、二阶常系数线性齐次微分方程的解法五、二阶常系数线性齐次微分方程的解法二阶线性微分方程：二阶线性微分方程：齐次齐次齐次齐次：非齐次非齐次非齐次非齐次：(1)(2)称为称为二阶常系数线性微分方程。二阶常系数线性微分方程。62( ( ( ( ( (一一一一一一) ) ) ) ) ) 特征方程特征方程特征方程特征方程特征方程特征方程 求二阶常系数齐次线性微分方程求二阶常系数齐次线性微分方程(1)由由(1)的特点的特点，用指数函数用指数函数 （其中其中 p, q 为常数为常数）的通解的通解。 进行尝试进行尝试，r r = ? = ? 是方程是方程 (1) 的解的解。代入方程代入方程：(*) (*) 称为方程称为方程称为方程称为方程(1) (1) 的特征方程的特征方程的特征方程的特征方程。则则得得：63特点：特点：特点：特点： (*) 中中 r r 2 2 , , r r, , r r 0 0 的系数就是的系数就是 (1) 一元二次方程一元二次方程 (*) 的根的根微分方程微分方程(1)特征方程特征方程特征方程特征方程是两个不相等的实根；是两个不相等的实根；是两个相等的实根；是两个相等的实根；是一对共轭复根是一对共轭复根，64( ( ( (二二二二) ) ) ) 特征方程的根与微分方程解的关系特征方程的根与微分方程解的关系特征方程的根与微分方程解的关系特征方程的根与微分方程解的关系是齐次线性微分方程是齐次线性微分方程(1)的解的解， 常数常数，即即 y1, y2 线性无关。由定理二线性无关。由定理二，(1) 的通解的通解：(a) 当当65(b) 当当y1, y2 线性相关线性相关，另找另找 y2 ，使与使与 y1 线性无关线性无关。(1) 的通解的通解：把把 y2 代入方程代入方程, 得得66(c) 当当由欧拉公式：由欧拉公式：再由解的叠加原理，再由解的叠加原理，也是也是(1)的解的解， (1) 的通解的通解：67通解的步骤通解的步骤：写出对应的特征方程写出对应的特征方程：(1)(2)(3)求出特征根求出特征根：根据下表写出方程根据下表写出方程 (1) 的通解的通解：(1)(实数实数)68例例1： 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解：解：解：解：解：特征方程特征方程：解：解：解：解： 特征方程特征方程：为通解为通解。为通解为通解。693.为通解为通解。为通解为通解。特征方程特征方程：特征方程特征方程：解：解：解：解：解：解：解：解：4.70例例2：解：解：解：解： 特征方程特征方程：为通解为通解。为所求特解为所求特解。71 课课课课 外外外外 作作作作 业业业业 习题习题习题习题11-1 (11-1 (第第第第304304页页页页) ) 1(1, 2, 4), 2(1, 2)72( ( ( (六六六六) ) ) )二阶常系数线性非齐次微分方程的解法二阶常系数线性非齐次微分方程的解法二阶常系数线性非齐次微分方程的解法二阶常系数线性非齐次微分方程的解法一般形式一般形式：（ p, q 为常数为常数 ）对应齐次微分方程对应齐次微分方程：其特征方程其特征方程：(1)(*)由非齐次由非齐次(2)的通解结构知的通解结构知：如何求如何求如何求如何求? ?对两种常见的对两种常见的对两种常见的对两种常见的 f f ( (x x) ), , , ,利用利用利用利用待定系数法待定系数法待定系数法待定系数法求求求求73分析：分析：分析：分析： 如如 y*与与 f (x) 属同一形式函数，就能属同一形式函数，就能使方程成立。使方程成立。 f (x)是是 m 次多项式与指数函数的乘积次多项式与指数函数的乘积，推测推测推测推测 其中其中 Q(x) 是待定的是待定的 x 的多项式的多项式。74()即为即为 Q(x) 所需满足的条件。所需满足的条件。分三种情况讨论分三种情况讨论：不是不是不是不是特征方程特征方程的的根根。要使要使 () 成立成立，必须必须 Q(x) 与与 Pm(x) 同次同次，75()是是是是特征方程特征方程的的单根单根单根单根。( )要使要使 ( ) 成立，必须成立，必须76()( )是是是是特征方程特征方程的的二重根二重根二重根二重根。要使要使 ( ) 成立，必须成立，必须77求其特解求其特解， 当当 不是特征方程的根时，取不是特征方程的根时，取 当当 是特征方程的单根时，取是特征方程的单根时，取 当当 是特征方程的二重根时，取是特征方程的二重根时，取k = 0;k = 1;k = 2.78例例1. 求下列微分方程的一个特解：求下列微分方程的一个特解：解：解：解：解：其对应的齐次方程的特征方程为其对应的齐次方程的特征方程为不是特征方程的根不是特征方程的根，79代入上式代入上式，得得即即80例例2：求下列各方程的通解：求下列各方程的通解：(1)解：解：解：解： 求出对应齐次微分方程的通解求出对应齐次微分方程的通解 求原方程的特解求原方程的特解不是特征方程的根不是特征方程的根，81代入原方程代入原方程: : 比较系数比较系数: :82(2)解：解：解：解：步骤：步骤： 求求 求求 求求 得原方程通解得原方程通解:83 特征方程特征方程： 对对不是不是不是不是特征方程的根，特征方程的根，m = 0 , 对对是是是是特征方程的单根，特征方程的单根，m = 0 ,84 由欧拉公式及类似前述分析，由欧拉公式及类似前述分析，的特解为的特解为：当当不是特征方程的根时不是特征方程的根时， 取取 k = 0;当当是特征方程的根时是特征方程的根时，取取 k = 1.特征方程特征方程85例例：求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解：(1)解：解：解：解：不是不是不是不是特征方程的根特征方程的根，代入方程得代入方程得86比较系数比较系数：代入方程得代入方程得为通解。为通解。87(2)解：解：解：解：代入代入88 代入代入(2)89(2)90 课课课课 外外外外 作作作作 业业业业 习题习题习题习题11-2 (11-2 (第第第第310310页页页页) ) 1(1, 2, 6), 2(1)91