第三讲第三讲 圆锥曲线性质的探讨圆锥曲线性质的探讨时静时静2008年年8月月（一）平行投影（一）平行投影复习与引入复习与引入1、点在直线上的正射影、点在直线上的正射影MNAA2、直线在直线上的正射影、直线在直线上的正射影NMABAB思考：思考：点、直线在平面上的正射影是什么呢？点、直线在平面上的正射影是什么呢？给定一个平面给定一个平面 ，从一点，从一点A作平面作平面 的垂线，的垂线，垂足为点垂足为点A称为点称为点A在平面在平面 上的正射影上的正射影那么，一条直线在平面上的正射影是什么样的图那么，一条直线在平面上的正射影是什么样的图形呢？形呢？AA一个图形上各点在平面上的正射影所组成的图形，一个图形上各点在平面上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面上的正射影称为这个图形在平面上的正射影AABB思考：一个圆所在的平面思考：一个圆所在的平面 与平面与平面 平行时，该平行时，该圆在平面圆在平面 上的正射影上的正射影是什么图形？是什么图形？当平面当平面 与平面与平面 不平不平行时，圆在平面行时，圆在平面 上的上的正射影是什么图形？正射影是什么图形？如果平面如果平面 与平面与平面 垂直时，圆在平面垂直时，圆在平面 上的正射影又是什么图形上的正射影又是什么图形？如果取消如果取消“垂直垂直”的限定，那么正射影的概念的限定，那么正射影的概念可以作进一步推广。可以作进一步推广。设直线设直线l与平面与平面 相交，称相交，称直线直线l的方向为投影方向。过的方向为投影方向。过A点作平行于点作平行于l的直线（称为的直线（称为投影线）必交与一点投影线）必交与一点A称点称点为为A沿沿l的方向在平面的方向在平面 上上的的平行射影。平行射影。AA一个图形上各点在平面上的平行射影所组成一个图形上各点在平面上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影。的图形，叫做这个图形的平行射影。显然，正射影是平行射影的特例。显然，正射影是平行射影的特例。思考：两条相交直线的平行射影是否还是相思考：两条相交直线的平行射影是否还是相交直线？两条平行直线的平行射影是否还是交直线？两条平行直线的平行射影是否还是平行直线？平行直线？将一个放在桌面上的玻璃杯中倒入半杯水，将一个放在桌面上的玻璃杯中倒入半杯水，观察水平面所成的图形观察水平面所成的图形定义：平面上到两个定点的距离之和等于定定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆。长的点的轨迹叫做椭圆。如果将玻璃杯倾斜一定的角度，此时水平面如果将玻璃杯倾斜一定的角度，此时水平面又是一个什么样的图形？又是一个什么样的图形？我们分析一下图中的水平面的结构，水平面我们分析一下图中的水平面的结构，水平面的图形可看成是以杯子（圆柱）的母线为投的图形可看成是以杯子（圆柱）的母线为投影方向，杯口（圆）在水平面所在平面上的影方向，杯口（圆）在水平面所在平面上的射影。射影。其中，点其中，点A的投影为点的投影为点E,点点D的投影为的投影为F，显然，显然EFAD。与杯口（圆）的。与杯口（圆）的直径直径AD垂直的直径垂直的直径在水平面上的射影的在水平面上的射影的长度保持不变，因此长度保持不变，因此，于是杯口（圆），于是杯口（圆）的射影不是一个圆，而是的射影不是一个圆，而是椭圆椭圆AEPHQFGC结论：用一个平面去截一个圆柱，当平面与圆柱结论：用一个平面去截一个圆柱，当平面与圆柱的两底面平行时，截面是一个圆；当平面志圆柱的两底面平行时，截面是一个圆；当平面志圆柱的两底面不平行时，截面是一个椭圆。的两底面不平行时，截面是一个椭圆。（二）平面与圆柱面的截线（二）平面与圆柱面的截线ABCDEFF1F2O1O2G1G2问题：问题：（1）G2F1+G2F2与与AD什么关系？什么关系？（2）AD的长与的长与G1G2什么关系？什么关系？（3）G2F1与与G2E有什么关系？有什么关系？ABCDF1F2O1O2G1G2PK2K1PF1+PF2=PK1+PK2=AD（AD为定值）为定值）定理定理1 ： 圆柱形物体的斜截口是椭圆圆柱形物体的斜截口是椭圆ABCDF1F2O1O2G1G2PK2K1QEF准线准线离心率离心率（三）平面与圆锥面的截线（三）平面与圆锥面的截线ABCPD问题：当问题：当 与与 满足什么满足什么关系时关系时（1） 与与AB（或（或AB的延长线），的延长线），AC都相交都相交（2） 与与AB不相交不相交（3） 与与BA的延长线，的延长线，AC都相交都相交ABCPDFGE(1) , 与与AB(或或AB的延长线的延长线)、AC都相交。都相交。(2) , 与与AB不相交。不相交。(3) , 与与BA的延长线、的延长线、AC都相交。都相交。定理定理2 在空间中，取直线在空间中，取直线 为轴，直线为轴，直线 与与 相交于相交于O点，夹角为点，夹角为 ， 围绕围绕 旋转得到以旋转得到以O为顶点，为顶点， 为母线的圆锥面，任为母线的圆锥面，任取平面取平面 ，若它与轴，若它与轴 的交角为的交角为（当（当 与与 平行时，记平行时，记 ），则），则(1) ,平面平面 与圆锥的交线为椭圆；与圆锥的交线为椭圆；(2) ,平面平面 与圆锥的交线为抛物线；与圆锥的交线为抛物线；(3) ,平面平面 与圆锥的交线为双曲线；与圆锥的交线为双曲线；1 交线为椭圆时的证明交线为椭圆时的证明S1S2F1F2PQ2Q1PF1+PF2=PQ1+PQ2=Q1Q2（Q1Q2为定值）为定值）2 椭圆的性质椭圆的性质五五常考知识点常考知识点1高考高考:无无2模拟考模拟考:3(1)平行投影的性质平行投影的性质4(2)球的切线与切面球的切线与切面5(3)圆柱面的内切球与圆柱面的平面截圆柱面的内切球与圆柱面的平面截线线6(4)圆锥面及其内切球圆锥面及其内切球