条件概率条件概率乘法公式乘法公式全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式1.1.4 4 条件概率与三个概率公式条件概率与三个概率公式一、条件概率一、条件概率 对对概率的概率的讨论总讨论总是相是相对对于某个确定的条件而言于某个确定的条件而言的，但有的，但有时时除了除了这这个确定的条件以外，个确定的条件以外，还还会提出会提出附加的条件，即已知某一事件附加的条件，即已知某一事件B已已经发经发生，要求另生，要求另一事件一事件A发发生的概率。生的概率。 例如，考例如，考虑虑有两个孩子的家庭，假定男女出生有两个孩子的家庭，假定男女出生率相同，率相同，则则两个孩子的性两个孩子的性别为别为( (男男, ,男男),(),(男男, ,女女), (), (女女, ,男男),(),(女女, ,女女) )的可能性是一的可能性是一样样的。的。 若若A记为记为“一男一女一男一女”，则则P( (A) )= =1/21/2； 但如果但如果预预先知道至少有一男孩，先知道至少有一男孩，则则上述事件的上述事件的概率概率应为应为2/3.2/3. 例如，考例如，考虑虑有两个孩子的家庭，假定男女出生有两个孩子的家庭，假定男女出生率相同，率相同，则则两个孩子的性两个孩子的性别为别为( (男男, ,男男),(),(男男, ,女女), (), (女女, ,男男),(),(女女, ,女女) )的可能性是一的可能性是一样样的。的。 若若A记为记为“一男一女一男一女”，则则P( (A) )= =1/2； 但如果但如果预预先知道至少有一男孩，先知道至少有一男孩，则则上述事件的上述事件的概率概率应为应为2/3. . 我们将我们将“已知事件已知事件 B 发生的条件下发生的条件下, ,事件事件 A 发生发生的概率的概率”称为称为条件概率条件概率，记为，记为P (A | B)。若记若记B为为至少有一男孩，至少有一男孩，则则上述上述概率概率为为条件概率的条件概率的计计算公式算公式规定规定如下：如下： 例例1 1 设袋中有设袋中有7 7个黑球，个黑球，3 3个白球，不放回摸取两次，个白球，不放回摸取两次，如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的概率。概率。解解 设设A, ,B分别表示第一、二次摸到白球分别表示第一、二次摸到白球, ,则则 法二：法二：法一法一: :A发生后的缩减发生后的缩减样本空间所含样样本空间所含样本点总数本点总数在缩减样本空在缩减样本空间中间中B所含样所含样本点个数本点个数 例例2 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到20年以上的概年以上的概率为率为0.8，活到，活到25年以上的概率为年以上的概率为0.4. 问现年问现年20岁的岁的这种动物，它能活到这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？岁以上的概率是多少？解解 设设A=能活能活20年以上年以上，B=能活能活25年以上年以上依题意，依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4所求为所求为 P(B|A) .不不难验证难验证条件概率具有以下三个条件概率具有以下三个基本性质基本性质： (1) 非负性非负性(2) 规范性规范性(3) 可加性可加性并由此推出条件概率的其它性并由此推出条件概率的其它性质质： 1.设A与B互不相容,且P(B)0,则P(A|B)=_2.设A与B为两事件,且P(A)=0.7, P(B)=0.6, 练习练习0注：概率注：概率 P(A|B)与与P(AB)的区别与的区别与联系联系联系：事件联系：事件A，B都发生了都发生了 区别：区别： （1）在）在P(A|B)中，事件中，事件A，B发生有时间上的差异，发生有时间上的差异，B先先A后；在后；在P（AB）中，事件中，事件A，B同时发生。同时发生。（2）样本空间不同，在）样本空间不同，在P(A|B)中，事件中，事件B成为样本成为样本空间；在空间；在P（AB）中，样本空间仍为中，样本空间仍为 S 。因而有因而有 作业P:19 习题习题1-4 1二、乘法公式二、乘法公式由条件概率的公式：由条件概率的公式：即若即若P(B) 0, 则则 P(AB)=P(B) P(A|B)若已知若已知P(B), P(A|B)时时, 可以反求可以反求 P(AB).若若P(A) 0, 则则 P(AB)=P(A) P(B|A)推广到三个事件：推广到三个事件： P (A1A2An )=P(A1) P(A2|A1) P(An| A1A2An-1)一般一般,与次序无关。与次序无关。乘法乘法公式公式例例3 3 某厂产品的废品率为某厂产品的废品率为4%,%,而合格品中有而合格品中有75% %是是一等品一等品, ,求一等品率求一等品率. . 解解记记A：合格品；合格品；B：一等品，一等品， 即一等品率为即一等品率为72%. %. 例例4 4例例4 4三、全概率公式三、全概率公式 全概率公式主要用于计算比较复杂事件的全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率概率, 它实质上是可加性和乘法公式的综合运它实质上是可加性和乘法公式的综合运用用. 综合运用综合运用可加性可加性P(A B)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)= P(A) P(B | A)P(A)0( (即每次至多即每次至多发发生其中一个生其中一个) ) ( (即每次至即每次至少少发发生其中一个生其中一个) ) B1B2B3B4B6B7B5B8集合的划分集合的划分AB1B2B3B4B6B7B5B8由概率的由概率的可加性可加性及及乘法公式乘法公式, , 有有 这这个公式称个公式称为为全概率公式全概率公式，它是概率，它是概率论论的基本公式的基本公式. . 全概率公式全概率公式 利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的计算问题，化为若干互不相容的较简单情形，分计算问题，化为若干互不相容的较简单情形，分别求概率然后求和别求概率然后求和 例例5 5 市市场场上上有有甲甲、乙乙、丙丙三三家家工工厂厂生生产产的的同同一一品品牌牌产产品品, ,已已知知三三家家工工厂厂的的市市场场占占有有率率分分别别为为30、20、 50, ,且且三三家家工工厂厂的的次次品品率率分分别别为为 3、3、1，试求：（试求：（1 1）市场上该品牌产品的次品率市场上该品牌产品的次品率. .B1 1、B2 2 、B3 3分别表示买到分别表示买到设设A: :买到一件次品；买到一件次品；解解加权平均加权平均一件甲厂、乙厂、丙厂的产品；一件甲厂、乙厂、丙厂的产品；例例6 6 袋袋中中有有a个个白白球球b个个黑黑球球，不不放放回回摸摸球球两两次次，问问第二次摸出白球的概率为多少？第二次摸出白球的概率为多少？解解分别记分别记A, ,B为第一次、第二次摸到白球，为第一次、第二次摸到白球，由全概率公式由全概率公式, , 例例7 7 设玻璃杯整箱出售，每箱设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含只，各箱含0，1，2只次品的概率分别为只次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购买一，一顾客欲购买一箱玻璃杯，由营业员任取一箱，经顾客开箱随机察看箱玻璃杯，由营业员任取一箱，经顾客开箱随机察看4只，若无次品，则买此箱玻璃杯，否则退回只，若无次品，则买此箱玻璃杯，否则退回. 试求顾试求顾客买下此箱玻璃杯的概率客买下此箱玻璃杯的概率.解解 记记A:顾客买下所察看的一箱玻璃杯，顾客买下所察看的一箱玻璃杯， Bi :箱中有箱中有i件次品件次品(i =0,1,2)， 由由题设题设知，知， 由全概率公式知由全概率公式知 四、贝叶斯公式四、贝叶斯公式 在上面例在上面例5 5中，如中，如买到买到一件次品，一件次品，问问它是甲厂生它是甲厂生产产的概率的概率为为多大？多大？这这就要用到就要用到 . . 在全概率公式的假定下，有在全概率公式的假定下，有 该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出给出. 它是在观它是在观察到事件察到事件A已发生的条件下，寻找导致已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原发生的每个原因因Bk的概率的概率.贝叶斯公式贝叶斯公式 所以这件商品最有可能是甲厂生产的所以这件商品最有可能是甲厂生产的. . 例例5 5已已知知三三家家工工厂厂的的市市场场占占有有率率分分别别为为30、20、50, , 次次品品率率分分别别为为3、3、1. .（2 2）如如果果买买了了一一件件该该商商品品，发发现现是是次次品品，问问它它是是甲甲、乙乙、丙丙厂厂生生产产的概率分别为多少的概率分别为多少? ? 0.3, 0.2, 0.50.45, 0.3, 0.25解解 全概率公式可看成全概率公式可看成“由原因推由原因推结结果果”,”,而而贝贝叶斯公式的作叶斯公式的作用在于用在于“由由结结果推原因果推原因”:”:现现在一个在一个“结结果果”A已已经发经发生了，在生了，在众多可能的众多可能的“原因原因”中中, ,到底是哪一个到底是哪一个导导致了致了这这一一结结果？果？ 故故贝贝叶斯公式叶斯公式也称为也称为“逆概公式逆概公式”。 例例 8 对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时，产品的合格率为 90% , 而当机器发生某一故障时，其合格率为 30% 。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为 75% 。已知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好的概率是多少？ 机器调整得良好 产品合格 机器发生某一故障 解：设解：设A A表示产品合格，表示产品合格，B B表示机器调整良好表示机器调整良好 例例 8 对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时，产品的合格率为 90% , 而当机器发生某一故障时，其合格率为 30% 。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为 75% 。已知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好的概率是多少？ 下面下面举举一个一个实际的实际的医学例子，医学例子，说说明明贝贝叶斯公式在叶斯公式在解决解决实际问题实际问题中的作用中的作用. . 解解 因此，因此，虽虽然然检验检验法相当可靠，但被法相当可靠，但被诊诊断断为为患肝癌患肝癌的人真正患病的概率并不大，其主要原因是人群中的人真正患病的概率并不大，其主要原因是人群中患肝癌的比例相当小。当然，医生在公布某人患肝患肝癌的比例相当小。当然，医生在公布某人患肝癌之前，是不会只做一次或一种癌之前，是不会只做一次或一种检验检验，还还会会辅辅以其以其它它检验检验手段。手段。 思考思考：诊诊断断为为无病无病, ,而确而确实实没有患病的概率没有患病的概率为为多少？多少？ 贝贝叶斯公式在商叶斯公式在商业业决策及其它企决策及其它企业业管理学科中管理学科中也也有重要有重要应应用用. .有人有人依据依据贝贝叶斯公式的思想叶斯公式的思想发发展了一整展了一整套套统计统计推断方法推断方法, ,叫作叫作“贝贝叶斯叶斯统计统计”.”.可可见贝见贝叶斯公式叶斯公式的影响的影响. .作业P:19 习题习题1-4 2, 4, 5, 6