实际问题与一元二次方程（二）实际问题与一元二次方程（二）面积、体积问题面积、体积问题1.1.如图如图, ,长方形长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,ABCD,AB=15m,BC=20m,四周四周外围环绕着宽度相等的小路外围环绕着宽度相等的小路, ,已知小路的面已知小路的面积为积为246m246m2 2, ,求小路的宽度求小路的宽度. .ABCD解解: :设小路宽为设小路宽为x x米，米， 则则化简得，化简得，答答:小路的宽为小路的宽为3米米. 变式：变式：要为一幅长要为一幅长29cm29cm，宽为，宽为22cm22cm的照的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度为多少（精确到边的宽度为多少（精确到0.1cm0.1cm）？）？解解: :设设镜框边镜框边宽为宽为x x米，米， 要设计一本书的封面要设计一本书的封面, ,封面封面长长2727, ,宽宽2121, ,正中央是一个与整个封面正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形长宽比例相同的矩形, ,如果要使四周的边如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一衬所占面积是封面面积的四分之一, ,上、上、下边衬等宽下边衬等宽, ,左、右边衬等宽左、右边衬等宽, ,应如何设计应如何设计四周边衬的宽度四周边衬的宽度? ?2721分析分析: :这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9:7,9:7,依题知正中央的依题知正中央的矩形两边之比也为矩形两边之比也为9:79:7解法一解法一: :设正中央的矩形两边分别为设正中央的矩形两边分别为9xcm9xcm，7xcm7xcm依题意得依题意得解得解得 故上下边衬的宽度为故上下边衬的宽度为: :左右边衬的宽度为左右边衬的宽度为: :探究探究3 3 要设计一本书的封面要设计一本书的封面, ,封面长封面长2727, ,宽宽2121, ,正中央是一个与整个封面长宽比例正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形相同的矩形, ,如果要使四周的边衬所占面如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一积是封面面积的四分之一, ,上、下边衬等上、下边衬等宽宽, ,左、右边衬等宽左、右边衬等宽, ,应如何设计四周边衬应如何设计四周边衬的宽度的宽度? ?2721 分析分析: :这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9:7,9:7,正中央的矩形两边之比也为正中央的矩形两边之比也为9:7,9:7,由此判断由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9:79:7解法二解法二: :设上下边衬的宽为设上下边衬的宽为9xcm9xcm，左右边衬宽为，左右边衬宽为7xcm7xcm依题依题意得意得解方程得解方程得( (以下同学们自己以下同学们自己完成完成) )方程的哪个根方程的哪个根合乎实际意义合乎实际意义? ?为什么为什么? ?1.1.学校课外生物小组的实验园地是一块长学校课外生物小组的实验园地是一块长4040米，宽米，宽2626米的米的矩形矩形, ,为便于管理为便于管理, ,现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道道, ,要使种植面积为要使种植面积为864864平方米平方米, ,求小道的宽？求小道的宽？ 解：设小道的宽为解：设小道的宽为x 米。米。 根据题意得根据题意得: :(402x)(26x) = 864（不合题意，舍去）（不合题意，舍去） 答：答：小道的宽为小道的宽为2 2米。米。 小道小道小道小道26404026练习：练习：变式变式1：如果设计方案图变为右图：如果设计方案图变为右图，草，草坪总面积坪总面积540m540m2,2,又应该如何求？又应该如何求？解：设道路宽为解：设道路宽为 m，由题意得：，由题意得：3220解得解得 1 12 2， 2 25050（不合题意舍去）（不合题意舍去）答：道路宽为答：道路宽为2m.变式变式2 2：要设计一幅长为：要设计一幅长为20cm,20cm,宽为宽为10cm10cm的图案，其中有的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2 2：1 1，如果要，如果要使剩下面积为使剩下面积为152cm152cm2,2, 应如何设计彩条的宽度？应如何设计彩条的宽度？2010解：设竖彩条的宽度为解：设竖彩条的宽度为x cm,x cm,则横彩条的宽度为则横彩条的宽度为2x cm2x cm。根据题意得根据题意得解得解得（不符合题意舍去）（不符合题意舍去）所以所以， 答：竖彩条的宽度为答：竖彩条的宽度为 cm,则横彩条的宽度为则横彩条的宽度为1 cm练习：练习：2.2.如图，用长为如图，用长为18m18m的篱笆（虚线部分），两面靠的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃墙围成矩形的苗圃. .要围成苗圃的面积为要围成苗圃的面积为81m81m2 2, ,应该应该怎么设计怎么设计? ?解解:设苗圃的一边长为设苗圃的一边长为xm,则则化简得，化简得，答答:应围成一个边长为应围成一个边长为9米的正方形米的正方形.变式：变式：用用20cm20cm长的铁丝能否折成面积为长的铁丝能否折成面积为30cm30cm2 2的矩的矩形形, ,若能够若能够, ,求它的长与宽求它的长与宽; ;若不能若不能, ,请说明理由请说明理由. .练习：练习：解解:设这个矩形的长为设这个矩形的长为xcm,则宽为则宽为 cm,即即x2-10x+30=0这里这里a=1,b=10,c=30,此方程无解此方程无解.用用20cm长的铁丝不能折成面积为长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形的矩形. 3. 3.有长为有长为2424米的篱笆，一面利用墙（墙长米的篱笆，一面利用墙（墙长a=10a=10米）米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽的宽ABAB为为x x厘米，面积为厘米，面积为S S平方米。平方米。(1)(1)求求S S与与x x的函数关系式的函数关系式（2 2）如果要围成面积为）如果要围成面积为45 45 平方米的花圃，平方米的花圃，ABAB的长的长是多少？是多少？（3 3）能围成面积为）能围成面积为48 48 平方米的花圃吗？如果能，请平方米的花圃吗？如果能，请说明围法，如果不能，说明理由。说明围法，如果不能，说明理由。ABCDa练习：练习：4.4.学校为了美化校园环境，在一块长学校为了美化校园环境，在一块长4040米、宽米、宽2020米的长米的长方形空地上计划新建一块长方形空地上计划新建一块长9 9米、宽米、宽7 7米的长方形花圃米的长方形花圃. .（1 1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1 1平方米，平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案请你给出你认为合适的三种不同的方案. .解解: (1) 方案方案1：长为：长为 米，宽为米，宽为7米米;方案方案2：长为：长为16米，宽为米，宽为4米米;方案方案3：长：长=宽宽=8米米;注：本题方案有无数种注：本题方案有无数种解：（解：（2 2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面积不能增加面积不能增加2 2平方米平方米. .由题意得长方形长与宽的和为由题意得长方形长与宽的和为1616米米. .设长方形花圃的长为设长方形花圃的长为x x米，则宽为（米，则宽为（16-16-x x）米）米. .x x(16-(16-x x)=63+2)=63+2， x x2 2-16-16x x+65=0+65=0，此方程无解此方程无解. .在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加2 2平平方米方米4.4.学校为了美化校园环境，在一块长学校为了美化校园环境，在一块长4040米、宽米、宽2020米的长米的长方形空地上计划新建一块长方形空地上计划新建一块长9 9米、宽米、宽7 7米的长方形花圃米的长方形花圃. .（2 2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加长方形花圃的面积能否增加2 2平方米？如果能，请求出平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由. . 小明把一张长为小明把一张长为1010厘米的正方形纸板的四周各厘米的正方形纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子。如图，体盒子。如图，1.1.设剪去的正方体的边长为设剪去的正方体的边长为X X厘米，把折合成的长方体的底厘米，把折合成的长方体的底面积表示成面积表示成X X的函数。的函数。2.2.设剪去的正方体的边长为设剪去的正方体的边长为X X厘厘米，把折合成的长方体的体积米，把折合成的长方体的体积v v表示成表示成X X的函数。的函数。设底面积为设底面积为S S，则，则S= (10-2x)S= (10-2x)2 2设体积为设体积为V V，则，则V=x(10-2x)V=x(10-2x)2 2 按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么截去的正方形的边长应怎样？折合成的长方体的么截去的正方形的边长应怎样？折合成的长方体的体积应怎样变化？体积应怎样变化？折合成的长方体底面积折合成的长方体底面积正方形的边长正方形的边长折合成的长方体的体积折合成的长方体的体积816449362516941641.5722.5331.541.1.设剪去的正方体的边长为设剪去的正方体的边长为X X厘米，把折合成的长厘米，把折合成的长方体的底面积表示成方体的底面积表示成X X的函数。的函数。0.540.573.5263.5483.516把折合成的长方体的体积把折合成的长方体的体积v v表示成表示成X X的函数。的函数。S= (10-2x)S= (10-2x)2 2V=x(10-2x)V=x(10-2x)2 21.1.折合成的长方体底面积越大，截去折合成的长方体底面积越大，截去的正方形边长越小。的正方形边长越小。2.折合成的长方体体积不随截去的正折合成的长方体体积不随截去的正方形的边长的增大而方形的边长的增大而 增大，有最大值。增大，有最大值。设体积为设体积为V V，则，则V=x(10-2x)V=x(10-2x)2 2设底面积为设底面积为S S，则，则S= (10-2x)S= (10-2x)2 2 现有长方形塑料片一块，现有长方形塑料片一块，19cm,19cm,宽宽15cm,15cm,给你锋利小刀一把，粘胶、直尺、给你锋利小刀一把，粘胶、直尺、你能做一个底面积为你能做一个底面积为77cm77cm2 2的无盖的长方的无盖的长方体水槽吗？说说体水槽吗？说说 你是怎样做的？你是怎样做的？ 1 1某林场计划修一条长某林场计划修一条长750m750m，断面为等腰，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为梯形的渠道，断面面积为1.6m1.6m2 2， 上口宽比上口宽比渠深多渠深多2m2m，渠底比渠深多，渠底比渠深多0.4m0.4m（1 1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2 2）如果计划每天挖土）如果计划每天挖土48m48m3 3，需要多少天才，需要多少天才能把这条渠道挖完？能把这条渠道挖完？分析：分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为为xmxm，则上口宽为，则上口宽为x+2x+2， 渠底为渠底为x+0.4x+0.4，那么，根，那么，根据梯形的面积公式便可建模据梯形的面积公式便可建模解：（解：（1）设渠深为）设渠深为xm 则渠底为（则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（，上口宽为（x+2）m依题意，得：依题意，得：整理，得：整理，得：5x2+6x-8=0 解得：解得：x1=0.8m，x2=-2（不合题意（不合题意,舍去）舍去）上口宽为上口宽为2.8m，渠底为，渠底为1.2m答：渠道的上口宽与渠底深各是答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和和1.2m；需要需要25天才能挖完渠道天才能挖完渠道这里要特别注意这里要特别注意: :在列一元二次方程在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求际问题的要求 1.1.列一元二次方程解应用题的步骤与列一元二次方程解应用题的步骤与 列一元一次方程解应用题的步骤类似列一元一次方程解应用题的步骤类似小结小结即审、设、列、解、检、答即审、设、列、解、检、答