第三节第三节 定积分的计算定积分的计算定积分的换元法定积分的换元法定积分的分部积分法定积分的分部积分法 小结小结 思考题思考题 作业作业定理定理1则有则有定积分换元公式定积分换元公式假设函数假设函数一、定积分的换元法一、定积分的换元法函数函数满足条件满足条件:(1) (2) 具有连续导数具有连续导数,且其值域且其值域证证故有故有则则由于由于N-L公式公式N-L公式公式则则所以存在原函数所以存在原函数原函数原函数,注注(3)换元公式仍成立换元公式仍成立;（1）（2）（换元要换限）例例 解解 在用在用“凑凑”微分的方法微分的方法时时,不明显地写出不明显地写出下限就不要变下限就不要变.定积分的上、定积分的上、新的变量新的变量 t ,注注或或例例 解解原式原式这是半径为这是半径为a的四分之一的圆的面积的四分之一的圆的面积.解解 令令原式原式例例 解解 法一法一法二法二即即解解被积函数中除积分变量被积函数中除积分变量t外还含有变量外还含有变量x,故不能直接应用对积分上限函数的导数的公式故不能直接应用对积分上限函数的导数的公式,应先作换元变换应先作换元变换,则则分析分析 几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分的例子的例子. 换元积分换元积分例例 证证 由于由于由由被积函数的变化和积分区间变化被积函数的变化和积分区间变化来确定变换来确定变换.通常通常作作变换变换,还可以证明一些定积分等式还可以证明一些定积分等式,利用这一结果计算利用这一结果计算:则则可得可得: 由定积分的几何意义由定积分的几何意义(面积的代数和面积的代数和)也可得也可得.奇、偶函数在对称区间上的定积分性质奇、偶函数在对称区间上的定积分性质奇、偶函数在对称区间上的定积分性质奇、偶函数在对称区间上的定积分性质且有且有则则则则例例 奇函数奇函数例例 计算计算解解原式原式偶函数偶函数单位圆的面积单位圆的面积奇奇奇奇偶偶证证 (1)三角函数的定积分公式三角函数的定积分公式三角函数的定积分公式三角函数的定积分公式例例 由此计算由此计算设设证毕证毕.设设证证由此计算由此计算说明说明:尽管尽管但由于它没有但由于它没有初等原函数初等原函数,故此积分无法直接用故此积分无法直接用N-L公式求得公式求得.周期函数的定积分公式周期函数的定积分公式周期函数的定积分公式周期函数的定积分公式这个公式就是说：这个公式就是说： 周期函数在任何长为一周期的周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等区间上的定积分都相等.(留给同学证留给同学证)思考题思考题1 试检查下面运算是否正确试检查下面运算是否正确? 如不正确如不正确,指出原因指出原因.解答解答注意注意必定大于零必定大于零.上述运算的问题在于引进的变换上述运算的问题在于引进的变换不满足换元法则的前提条件不满足换元法则的前提条件.定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式二、定积分的二、定积分的分部积分分部积分法法设设有有连续的导数连续的导数,则则定理定理2推导推导例例 计算计算解解例例 解解 原原式式=例例 解解原原式式=例例 解解无法直接求出无法直接求出所以所以因为因为没有初等原函数没有初等原函数,分析分析被积函数中含有被积函数中含有“积分上限的函数积分上限的函数”,用用分部积分法分部积分法做做.选择选择积分上限的函数积分上限的函数为为注注今后也可将原积分化为二重积分计算今后也可将原积分化为二重积分计算.例例 证明定积分公式证明定积分公式证证设设n为正偶数为正偶数n为大于为大于1的正奇数的正奇数 J.Wallis公式公式十七世纪的英国数学家十七世纪的英国数学家 John Wallis 给出给出.积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式直到下标减到直到下标减到0或或1为止为止因为因为所以所以,当当n为正偶数时为正偶数时,当当n为大于为大于1的正奇数时的正奇数时,例例 为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数上公式在计算其它积分时可以直接引用上公式在计算其它积分时可以直接引用.注注例例 解解用公式用公式n为正偶数为正偶数解解用定积分的分部积分公式用定积分的分部积分公式思考题思考题解答解答三、小结三、小结定积分的换元法：定积分的换元法：1 1、换元要换限、换元要换限2 2、利用被积函数的奇、利用被积函数的奇偶性、周期性等简化偶性、周期性等简化积分。积分。3 3、被积函数开平方后、被积函数开平方后加绝对值。加绝对值。定积分的分部积分定积分的分部积分作业作业2626