4.1 4.1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合主要内容：主要内容：一、一、n维向量的定义维向量的定义二、向量组的定义二、向量组的定义三、向量组的线性组合三、向量组的线性组合四、向量组等价四、向量组等价五、向量组的线性表示五、向量组的线性表示向量组及其线性表1 1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合定义定义: :n个有次序的数a1 ,a2 , ,an所组成的数组称为n维向量维向量,这 n个数称为该向量的n个分量个分量,第i个数称为第第i个分量个分量.例例 n维向量向量组及其线性表1 1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合定义定义: :给定向量组A:a1 ,a2 , ,am ,对于任何一组实数k1 ,k2 , ,km ,表达式 k1a1 + k2a2 + + kmam 称为向量组的一个线性组合线性组合, k1 ,k2 , ,km称为这个线性组合的系数系数.例例 向量组及其线性表1 1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合定义定义: :给定向量组A:a1 ,a2 , ,am ,和向量b ,如果存在一组数1 , 2 , , m ,使 b =1a1 + 2 a2 + + mam , 则向量b是向量组A的线性组合, 这时称向量向量b能由能由向量组向量组A线性表示线性表示.注意注意: :向量b能由向量组A线性表示,也就是方程组 b =x1a1 + x2 a2 + + xmam 有解.向量组及其线性表1 1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合 向量b能由向量组A线性表示.方程组 有解. 例例向量组及其线性表1 1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合定理定理 向量b能由向量组A:a1 ,a2 , ,am线性表示的充分必要条件充分必要条件是矩阵A=(a1 ,a2 , ,am)的秩等于矩阵B =(a1 ,a2 , ,am ,b)的秩.向量组及其线性表1 1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合例例向量组及其线性表解解 因为因为 向量组及其线性表由此可知，由此可知，R(A) = 3, R(B) = 4，即即 R(A) R(B) ，因此向量，因此向量 b不能由向量不能由向量组组 A 线性表示线性表示.向量组及其线性表1 1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合定义定义: :设有两个向量组A:a1 ,a2 , ,am 及B :b1 ,b2 , ,bm,若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示,则称向量组向量组B能由向量组能由向量组A线性线性表示表示.定义定义: :若向量组A与向量组B能相互线性表示,则称这两个向量组等价两个向量组等价.向量组及其线性表1 1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合例例设有两个向量组A : 及B :则称向量组向量组B能由向量组能由向量组A线性表示线性表示.向量组及其线性表1 1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合例例 设有两个向量组A : 及B :则称向量组向量组A与向量组与向量组B等价等价.向量组及其线性表1 1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合定理定理 向量组B:b1 ,b2 , ,bl,能由向量组A:a1 ,a2 , ,am线性表示的充分必要条件充分必要条件是矩阵A=(a1 ,a2 , ,am)的秩等于矩阵(A,B) =(a1 ,a2 , ,am , b1 ,b2 , ,bl)的秩,即R(A) = R(A,B) .向量组及其线性表1 1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合例例设有两个向量组A : 及B : 向量组B能由向量组A线性表示.向量组及其线性表1 1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合推论推论 向量组A:a1 ,a2 , ,am 与向量组B:b1 ,b2 , ,bl等价的充分必要条件充分必要条件是 R(A) = R(B)= R(A,B) ,其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵.向量组及其线性表1 1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合例例设有两个向量组A : 及B : 向量组B与向量组A等价.向量组及其线性表1 1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合定理定理 设向量组B:b1 ,b2 , ,bl,能由向量组 A:a1 ,a2 , ,am线性表示,则 R(b1 ,b2 , ,bl) R( a1 ,a2 , ,am ) .向量组及其线性表